2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.12.1.4　两条直线的交点Word版含解析

2.1.4　两条直线的交点
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．(重点、难点)
2．会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．(重点)
3．会利用直线系方程解决相关问题．(难点)
通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养.
1．二元一次方程组解的个数与两直线交点个数的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1，l2的公共点个数
一个
无数个
零个
直线l1，l2的位置关系
相交
重合
平行
2.直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.(注意：该直线不包括直线l2)
1.思考辨析
(1)任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示． (　　)
(2)直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上． (　　)
(3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　)
(4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．直线x＋2y－1＝0与直线x＋y－5＝0的交点坐标为________．
(9，－4)　[联立方程组解得所以交点坐标为(9，－4)．]
3．已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0交点在x轴上，则m＝________．
3　[直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0)，则(－1，0)在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×(－1)＋5×0＋m＝0，∴m＝3.]
4．过点(1，1)与直线2x＋y＝4平行的直线方程为________．
2x＋y－3＝0　[设所求直线方程为2x＋y＝m，
将点(1，1)代入方程得m＝3，
∴所求直线方程为2x＋y－3＝0.]
两直线位置关系的判定
【例1】　判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.
思路探究：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．
[解]　(1)由方程组
得
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)解方程组
①×2－②得：1＝0矛盾，∴方程组无解．
∴两直线无公共点，l1∥l2.
(3)解方程组
①×2得4x－6y＋10＝0，
∴①和②可以化为同一方程，
即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．
判定直线的位置关系有以下两种方法
(1)利用方程组解的个数判断．
(2)利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0(或A1C2－A2C1＝0)时，两直线重合；③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)时，两直线平行；④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直．
1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．
①y＝x＋2和y＝1；②x－y＋1＝0和y＝x＋5；③x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0；④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.
①③　[①显然相交；②平行；③直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；④两直线平行．]
2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是________．
－24　[在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝；在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.由题意知＝－12，故m＝－24.]
直线交点的应用
【例2】　当k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？
思路探究：在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k的不等式组求解．
[解]　当k＝－时，l1与l2平行，不符合题意．
当k≠－时，由得
∵点P在第一象限，∴
∴已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．
3．如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
[证明]　以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b，0)，B(0，0)，
E(－a，a)，F(b，－b)．
直线AF的方程是＝，
即(a＋b)x＋by－ab＝0.
直线EC的方程是
＝，
即ax＋(a＋b)y－ab＝0.
解方程组
得
即M点的坐标为
，
故kBM＝，又kAC＝＝－，
所以kBM·kAC＝－1.
因此BM⊥AC.
过两直线交点的直线系方程的应用
[探究问题]
1．过原点(0，0)且过直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点的直线方程怎样求？有几种方法？
[提示]　有两种方法，法一，先求直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．
法二，设所求直线为x＋y－2＋λ(x－y＋3)＝0，
将点(0，0)代入得3λ－2＝0，∴λ＝，
所求直线为x＋y－2＋(x－y＋3)＝0，
即5x＋y＝0.
2．过点M(2，0)，与直线x＋2y－b＝0(b≠2)平行的直线怎样求？
[提示]　设所求直线为x＋2y＋m＝0，将点(2，0)代入方程，求出m的值即可，直线为x＋2y－2＝0.
【例3】　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
思路探究：可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；或利用过两直线交点的直线系方程求解．
[解]　法一：解方程组
得P(0，2)．
∵k＝，且l⊥l3，∴kl＝－.
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．
4．求经过两条直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程．
[解]　法一：由解得
由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为＋＝1.
所以
解得或
所以所求的直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
法二：易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×≠，
所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.
故可设所求的直线的方程为(2x＋y－8)＋λ(x－2y＋1)＝0(λ为任意实数)，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋(λ－8)＝0.
由题意得(2＋λ)·(1－2λ)·(λ－8)≠0，
令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.
所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为··＝，
所以(λ－8)2＝|(1－2λ)(2＋λ)|.
解得λ＝3或λ＝－22.
当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.
故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.
1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法．
(2)经过两直线交点的直线系方程：
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；
③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．
当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为l1；
当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为l2.
1．直线l1：2x－y＝7与l2：3x＋2y－7＝0的交点坐标为(　　)
A．(－3，1)　　　　　 B．(3，－1)
C．(6，－2) D．(4，1)
B　[由解得
∴交点为(3，－1)．]
2．已知直线l：2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(－2，＋∞)　[若m＝0，两直线显然相交；
若m≠0，则－≠1，即m≠－2.
故m的取值范围为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．]
3．过l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直线方程为________．
8x＋16y＋21＝0　[由解得交点坐标为，故所求直线过点且与x＋2y－5＝0平行，可设直线方程为x＋2y＋C＝0，
所以＋2×＋C＝0，故C＝，所以所求直线方程为x＋2y＋＝0，即为8x＋16y＋21＝0.]
4．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求m的取值范围．
[解]　由得
∴交点M的坐标为.
∵交点M在第四象限，
∴
解得－1