2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第1章1.31.3.2 　正切函数的图象与性质Word版含解析

第3课时　正切函数的图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．(重点)
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域

值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
无对称轴，对称中心为(k∈Z)
思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？
[提示]　不是．
1．思考辨析
(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．(　　)
(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z.(　　)
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.(　　)
[解析]　(1)×.正切函数在，k∈Z上是单调递增函数．
(2)×.正切函数不是轴对称图形．
(3)×.正切函数的对称中心为，k∈Z.
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
　　[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，
且f＝tan＝.]
3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
(k∈Z)　[因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)．]
正切函数的定义域
【例1】　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝.
思路点拨：(1)分母不为0，且tan有意义；
(2)被开方数非负，且tan x有意义．
[解]　(1)若使得y＝有意义，
则
∴
∴函数y＝的定义域为
.
(2)由题意得tan x－3≥0，
∴tan x≥，
∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
∴y＝的定义域为
.
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.
1．求函数y＝的定义域．
[解]　要使函数y＝有意义，
则有
∴
∴
∴函数y＝的定义域为
.
正切函数的单调性及应用
【例2】　(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．
①tan ________tan ；
②tan ________tan.
(2)求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
思路点拨：(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．
(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把x－看作一个整体，利用y＝tan x的单调区间求解．利用T＝求周期．
①＜　②＜　[(1)①tan ＝tan＝tan ，
∵0＜<＜，且y＝tan x在上是增函数，
∴tan ②tan ＝tan＝tan ，tan＝tan ，
∵0＜<＜，且y＝tan x在上是增函数，
∴tan (2)[解]　y＝tan
＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－所以函数y＝tan的单调减区间是，k∈Z，无增区间．
最小正周期T＝＝2π.
1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
2．(1)求函数y＝3tan的单调区间；
(2)比较tan 与tan的大小．
[解]　(1)y＝3tan＝－3tan，令－＋kπ<2x－<＋kπ，则－＋(2)因为tan ＝－tan，
tan＝－tan，
又0＜＜＜，
y＝tan x在内单调递增，
所以tan＞tan，
所以－tan＜－tan，
即tan ＜tan.
正切函数的图象及应用
[探究问题]
1．如何由y＝tan x的图象画出y＝|tan x|的图象．
提示：只需保持y＝tan x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan x|的图象．
2．如何由y＝tan x的图象画出y＝tan|x|的图象．
提示：把y＝tan x(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．
【例3】　根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．
思路点拨：→→
[解]　由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|，解答同样的问题．
[解]　由y＝tan |x|得
y＝
根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，单调增区间为，(k＝0,1,2，…)；
单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法：
?1?直接描点法，要注意定义域；
?2?图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.
教师独具
1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．
2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象
类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋(k∈Z)，直线x＝kπ－(k∈Z)．
3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题
(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．
(2)正切函数的单调性及应用．
(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．
4．本节课的易错点有两处
(1)易忽视正切函数y＝tan x的定义域为
.
(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴.
1．函数y＝4tan的最小正周期为(　　)
A.　　　　B．π　　　　C.　　　　 D．2π
D　[T＝＝2π.]
2．函数y＝tan的定义域是________．
　[解x－≠kπ＋(k∈Z)得
x≠kπ＋π(k∈Z)．]
3．函数y＝tan x在上的值域为________．
[－1，]　[∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤.]
4．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
[解]　定义域为；
值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为；
对应图象如图所示：