2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第1章1.31.3.2 　正弦、余弦函数的图象Word版含解析

1.3.2　三角函数的图象与性质
第1课时　正弦、余弦函数的图象
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解正弦函数、余弦函数的图象．
2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)
通过学习本节内容培养学生的直观想象数学核心素养.
正弦曲线、余弦曲线
(1)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)．
(2)“五点法”画图
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
(3)正弦、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可．
思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？
[提示]　作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
1．思考辨析
(1)正弦曲线的图象向左右无限延展．(　　)
(2)y＝sin x与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同．(　　)
(3)函数y＝cos x的图象与y轴只有一个交点．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________．
[答案]　0，，，，π
3．不等式cos x＜0，x∈[0,2π]的解集为________．
[答案]　
利用“五点法”作简图
【例1】　用“五点法”作出下列函数的图象．
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]；
(3)y＝－1－cos x，x∈[0,2π]．
思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线．
[解]　(1)列表如下：
x
0

π
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，如图①所示．
①
(2)列表如下：
x
0

π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图②所示．
②
(3)列表：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图③所示：
③
用五点法画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下
(1)列表：
x
0

π

2π
sin x(或cos x)
y
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连结起来，不要用线段进行连结．
提醒：对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
1．用“五点法”作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
[解]　按五个关键点列表；描点并将它们用光滑的曲线连结起来．
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
3＋2cos x
5
3
1
3
5
利用正、余弦曲线解三角不等式
【例2】　利用正弦曲线，求满足＜sin x≤的x的集合．
思路点拨：作出正弦函数y＝sin x在一个周期内的图象，然后借助图象求解．
[解]　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤，或≤x＜时，不等式＜sin x≤成立，
所以＜sin x≤的解集为.
利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤：
?1?画出正弦函数y＝sin x或余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的图象；
?2?写出适合不等式的在区间[0，2π]上的解集；
?3?把此解集推广到整个定义域上去.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
[解]　(1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－.
结合正弦曲线或三角函数线，
如图所示，知函数y＝的定义域为
.
(2)要使函数有意义，必须满足sin x－cos x≥0.
在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图象，知所求定义域为

正、余弦函数图象的应用
[探究问题]
1．你能借助图象的变换作出y＝|sin x|的图象吗？试画出其图象．
提示：先画出y＝sin x的图象，然后将其x轴下方的对称到x轴的上方(x轴上方的保持不变)即可得到y＝|sin x|的图象，如图．
2．方程|sin x|＝a，a∈R在[0,2π]上有几解？
提示：当a＜0时，方程|sin x|＝a无解；
当a＝0时，方程|sin x|＝a有三解；
当0＜a＜1时，方程|sin x|＝a有四解；
当a＝1时，方程|sin x|＝a有两解；
当a＞1时，方程|sin x|＝a无解．
【例3】　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
思路点拨：―→―→
―→
[解]　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连结得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数?或两函数图象的交点个数?求参数的范围问题.
3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解]　f(x)＝的图象如图所示，故由图象知1＜k＜3.
教师独具
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用．
2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题
(1)正、余弦函数图象的画法．
(2)利用正、余弦函数的图象解不等式．
(3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题．
3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定
y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象与x轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0,2π]与x轴有三个交点：(0,0)，(π，0)，(2π，0)，图象上有一个最高点，一个最低点；y＝cos x，x∈[0,2π]与x轴有两个交点：，，图象上有两个最高点：(0,1)，(2π，1)，一个最低点(π，－1)．
1．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是________(填序号)．
①(π，－1)；②(0,2)；③；④(π，4)；⑤.
①⑤　[由五点作图法知五个关键点分别为(0,2)，，(π，4)，，(2π，2)，故①⑤不是关键点．]
2．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于________对称．
x轴　[在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(略)，可知它们关于x轴对称．]
3．sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是________．
(0，π)　[如图所示是y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，
由图可知满足sin x＞0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．]
4．用“五点法”作出y＝(0≤x≤2π)的简图．
[解]　y＝＝|cos x|(x∈[0,2π])．
列表：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
|cos x|
1
0
1
0
1

1
0
1
0
1
描点作图，如图．