2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章3.2　二倍角的三角函数Word版含解析

3.2　二倍角的三角函数
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
倍角公式
(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
思考1：T2α对任意角α都成立吗？
[提示]　不是．所含各角要使正切函数有意义．
思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？
[提示]　倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
1．若sin α＝，则cos 2α＝________.
　[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α＝，
∴cos 2α＝1－2×＝.]
2．若tan α＝3，则tan 2α＝________.
－　[∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝＝－.]
3．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________.
－　[∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴2sin αcos α＝－sin α，
又sin α≠0，∴cos α＝－.]
直接应用二倍角公式求值
【例1】　已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
思路点拨：先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．
[解]　由＜α＜，得＜2α＜π.
又因为sin 2α＝，
所以cos 2α＝－
＝－＝－.
于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α
＝2××＝－；
cos 4α＝1－2sin22α
＝1－2×2＝；
tan 4α＝＝＝－.
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；是
1．求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
[解]　(1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos
＝·2sincos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°
＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝×
＝tan 60°＝.
逆用二倍角公式化简求值
【例2】　化简：.
思路点拨：→→

[解]　原式＝
＝
＝＝＝1.
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
2．求下列各式的值：
(1)2sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)coscos.
[解]　(1)原式＝sin＝sin＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(4)原式＝coscos＝cossin
＝＝sin＝×＝.
活用“倍角”关系巧解题
[探究问题]
1．已知cos的值，如何求sin 2x的值？
提示：可利用sin 2x＝cos＝2cos2－x－1求解．
2．当题设条件中含有“±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？
提示：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．
【例3】　已知sin＝，0＜x＜，求的值．
思路点拨：先由sin求cos，再求sin即可．
[解]　∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
又0＜x＜，∴＜x＋＜，
∴sin＝.
∴＝
＝
＝2sin＝.
1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x.
[解]　∵0∴0<－x<，由sin＝，
得cos＝，
cos 2x＝sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝.
2．(变结论)本例条件不变，求的值．
[解]　∵＋＝，
∴cos＝sin＝.
∵＝
＝＝2sin xcos x＝sin 2x，
又sin 2x＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝.
当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sin－x·cos.类似这样的变换还有：
(1)cos 2x＝sin＝2sincos＋x；
(2)sin 2x＝cos＝2cos2－1；

提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.
教师独具
1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．
2．要掌握二倍角公式的三个应用
(1)解决化简求值问题；
(2)解决条件求值问题；
(3)倍角公式的综合应用．
3．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
(2)cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos；
(3)cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
1．若sin＝，则cos α＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
B　[cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.]
2．cos2－sin2＝________.
　[原式＝cos＝cos ＝.]
3.＝________.
　[原式＝·＝×tan 15°＝×tan(60°－45°)＝×
＝×＝×＝.]
4．已知cos 2θ＝，＜θ＜π.
(1)求tan θ；(2)求.
[解]　(1)由cos 2θ＝，得1－2sin2θ＝，sin2θ＝，
∵＜θ＜π，
∴sin θ＝，cos θ＝－，
∴tan θ＝＝－.
(2)＝＝2.