2020年中考数学几何最值问题专题复习讲义（含答案）

几何最值问题复习
本内容全部需要在做讲义题目之前进行
读一读下面的内容，想一想
解决几何最值问题的理论依据
①两点之间，线段最短（已知两个定点）；
②_______________（已知一个定点、一条定直线）；
③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）．
几何最值问题常见的基本结构
①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P的位置

求，异侧和最小

MN为固定线段长，求

求，同侧差最大
②利用图形性质进行转化

求
不变特征：Rt△AOB中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．
还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方．
①研究背景图形，相关信息进行标注；
②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析；
③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．



根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别和联系，简要写一写你的看法．
答：











下面是小明的看法：
①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；
②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有
标注；
③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理
及公理．
如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．




借助对上述问题的思考，做讲义的题目．
几何最值问题（讲义）
一、知识点睛
解决几何最值问题的通常思路：
分析定点、动点，寻找不变特征．
若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．
二、精讲精练
如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．

第1题图 第2题图
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC边上，则以AC为对角线的所有□ADCE中，DE长度的最小值为_____________．
若点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，)是一平行四边形的四个顶点，则CD长度的最小值为_____________．
如图，已知AB=2，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则DE长度的最小值为_____________．

第4题图 第5题图
如图，已知AB=10，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形ACP和等边三角形BCQ，则PQ长度的最小值为_____________．
动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________________．

如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点记为P．
（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是_______．
（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD长度的最小值为_____________．


如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．

如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在点A下方的y轴上，E是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE长度的最小值为_________．

探究：如图1，在等边三角形ABC中，AB=6，AH⊥BC于点H，则AH=_______，△ABC的面积__________．
发现：如图2，在等边三角形ABC中，AB=6，点D在AC边上（可与点A，C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为点E，F，设BD=x，AE=m，CF=n．







图1 图2
（1）用含x，m，n的代数式表示及；
（2）求()与x之间的函数关系式，并求出()的最大值和最小值．


应用：如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是BC边上的任一点（可与点B，C重合），分别过点B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．

三、回顾与思考
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
【参考答案】
精讲精练
1．
2．3
3．
4．1
5．5
6．2
7．（1）；（2）
8．6
9．
10．探究：，
发现：（1），
（2）；m+n的最大值为6，最小值为
应用：2，

7