备考2020中考数学一轮专题复习学案15 反比例函数及其应用（含答案）

备考2020中考数学一轮专题复习学案15
反比例函数及其应用
考点
课标要求
考查角度
1
反比例函数的意义和函数表达式
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式
常以选择题、填空题的形式考查反比例函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查
2
反比例函数的图象和性质
能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y＝(k≠0)探索并理解其性质(k>0或k<0时，图象的变化情况)
常以选择题、填空题和解答题的形式考查反比例函数的图象和性质，部分地市注重分类讨论和数形结合数学思想的考查
3
反比例函数的应用问题
能用反比例函数知识解决某些实际问题
多以选择题、填空题、解答题的形式考查反比例函数在实际生活中的应用
1.反比例函数的概念：
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成或xy=k(k≠0)的形式.自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.
2.反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称.关于直线y=x，y=-x成轴对称.由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.
3.反比例函数的性质：
(1)当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.在两支上，第一象限y值大于第三象限y值.
(2)当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，随x的增大而增大.在两支上，第二象限y值大于第四象限y值
【注意】(1)反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；(2)反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题
4.反比例函数中反比例系数的几何意义：
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=.
.
5.常见的与反比例函数有关的图形面积：
【例1】（2019·海南）如果反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是(　　)
A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a>2
【答案】D
【分析】根据：反比例函数y=(k≠0)，当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限，列出不等式，解答即可.
【解答】∵反比例函数y＝(a是常数)的图象在第一、三象限，
∴a-2>0，
即：a>2.
故答案为：D.
【例2】（2019·天津市10/25）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
【例3】（2019?赤峰11/26）如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解答】解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：A．
1.反比例函数解析式的确定：
确定的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
2.求反比例函数表达式的一般步骤：
(1)设出函数的一般形式．
(2)根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于k的方程．
(3)解方程，求得k的值．
(4)将所求得的k的值代入到函数表达式中．
【例4】（2019·安徽省5/23）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
【答案】A．
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
1.反比例函数应用问题的求解思路：
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：
建立函数模型的思路主要有两种：
(1)已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；
(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式.
【例5】（2019·河北省24/26）长为300 m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．

（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2 m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间（总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间），于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程＝队伍速度×返回时间．
【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600 m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×＝400；
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m．


1.（2019?保定定州期末）点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是(　　)
A. 4 B. －4 C. 2 D. ±2
2.（2019?河北省12/26）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3.（2019?通辽9/26）关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（　　）
A． B． C． D．
4.（2018?包头19/26）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y＝（x＞0）经过点D，则OB?BE的值为 ．
5.（2019?北京市13/28）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
6.（2018?赤峰16/26）如图，已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b＝的解是 ．

7.（2019?呼和浩特23/25）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB（OC＞OB）的对角线长为5，周长为14．若反比例函数y＝的图象经过矩形顶点A．
（1）求反比例函数解析式；若点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象过点A并与x轴交于点（﹣1，0），求出一次函数解析式，并直接写出kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围．
8.（2019?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋5和y＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
9.红星粮库需要把晾晒场上的k吨玉米入库封存．已知该粮库有职工60名，入库所需的时间t(单位：天)与入库速度y(单位：吨/天)之间的关系如图所示．
(1)求时间t与入库速度y之间满足的函数关系式；
(2)若粮库工人用4天时间能将玉米全部入库，求每名工人每天能入库几吨；
(3)在（2）的条件下，粮库的职工连续工作了两天后，天气预报报道在未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，需要增加多少名职工才能完成任务．
1. 【解答】∵点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，∴2a＝.解得a＝±2，故选D.
2. 【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
故选：A．
3. 【分析】关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定图象即可．
【解答】解：二元一次方程组中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线y＝的两个分支位于一三象限，B选项符合，
故选：B．
4. 【分析】由双曲线y＝（x＞0）经过点D知S△ODF＝k＝，由矩形性质知S△AOB＝2S△ODF＝，据此可得OA?BE＝3，根据OA＝OB可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴S△ODF＝k＝，
则S△AOB＝2S△ODF＝，即OA?BE＝，
∴OA?BE＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∴OB?BE＝3，
故答案为：3．
5. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
6. 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y＝﹣x+b与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点P（1，2），
把P点坐标代入函数解析式，得
﹣1+b＝2，k＝1×2＝2，
解得b＝3，k＝2
关于x的方程﹣x+b＝，即﹣x+3＝，
解得x1＝1，x2＝2，
故答案为：x1＝1，x2＝2．
7. 【解答】解：（1）根据题意得：OB+OC＝7，OB2+OC2＝52，
∵OC＞OB，
∴OB＝3，OC＝4，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数y＝中，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数为：y＝，
∵点（﹣a，y1）和（a+1，y2）在反比例函数的图象上，
∴﹣a≠0，且a+1≠0，
∴a≠﹣1，且a≠0，
∴当a＜﹣1时，﹣a＞0，a+1＜0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，于是有y1＞y2；
当﹣1＜a＜0时，﹣a＞0，a+1＞0，若﹣a＞a+1，即﹣1＜a＜时，y1＜y2，若﹣a＝a+1，即a＝时，y1＝y2，若﹣a＜a+1，即＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，﹣a＜0，a+1＞0，则点（﹣a，y1）和（a+1，y2）分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，于是有y1＜y2；
综上，当a＜﹣1时，y1＞y2；当﹣1＜a＜时，y1＜y2；当a＝时，y1＝y2；当＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，y1＜y2．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，4）并与x轴交于点（﹣1，0），
∴，解得，，
∴一次函数的解析式为：y＝x+1；
解方程组，得，，
∴一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于两点（﹣4，﹣3）和（3，4），
当一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝的图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜3，
∴kx+b﹣＜0成立时，对应x的取值范围：x＜﹣4或0＜x＜3．
8. 【解答】解：(1)联立一次函数y＝x＋5与正比例函数y＝－2x得，解得，
∴点A的坐标为(－2，4)．
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝－2×4＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－；
(2)如解图，设直线AB与x轴交于点C，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足记为E，D.
联立得，
解得或，
∴点B的坐标为(－8，1)．
∴AE＝4，BD＝1.
令y＝x＋5＝0，解得x＝－10，
∴点C的坐标为(－10，0)．
∴CO＝10.
∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC
＝OC·AE－OC·BD
＝×10×4－×10×1
＝15.
9. 【解答】解：(1)设入库时间t与入库速度y的函数关系为：y＝，
代入可得60＝，解得k＝1200，
∴t与y之间的函数关系式为y＝；
(2)当t＝4时，y＝＝300吨/天，
∴每名工人每天入库为＝5吨；
(3)设需要增加x名职工才能完成任务，
根据题意可列方程为：300÷60×(60＋x)＝1200－300×2，
解得：x＝60.
答：需要增加60名职工才能完成任务．