高中数学人教B版选修2-2 第一章 1.3.1利用导数判断函数的单调性 上课课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
旧知回顾



导数运算法则
旧知回顾



导数的几何意义：
过曲线y=f(x)上 的切线的斜率等于函数在 处的导数.

o
x


1

y


2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 (锐角/钝角)?
3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？
新课导入



函数单调性判定
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
(1)都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是增函数；
(2)都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，
则 f ( x ) 在G 上是减函数.
单调函数的图象特征

y

x
o
a
b






y

x
o
a
b





若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
增函数
减函数
G 称为单调区间


G = ( a , b )
则 f(x) 在G上具有严格的单调性.
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
导数应用的知识网络结构图：
利用导数判断函数的单调性
1.3.1



y
x
0



y
x
0



教学目标
知识与能力
应用导数探索函数的单调性，解决实际问题.
过程与方法
先研究跳水运动，进而从若干个函数的几何图形上，利用导数的几何意义，观察、分析单调性与导函数符号之间的关系，总结出一般规律，并用来解决函数单调性（包括实际问题），求一些简单函数的单调区间.
情感态度与价值观
利用导数的几何意义，观察、分析单调性与导函数符号之间的关系，体会导数在研究函数中的优越性.
教学重难点



重点
利用导数研究函数的单调性.
难点
研究函数的单调性与导数的关系.
h
t


o
m


观察
上面函数图像中，它表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数
的图像.运动员从 起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
h
t


o
m


通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起跳到最高点，离水面高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应的，
（2）从最高点到入水，运动员离水面高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应的，
观察下面函数的图像，
探讨函数的单调性
观察
y




o
x
x
y


o


x

y
o

函数在R上
（-∞，0）


（0，+∞）

函数在R上

（-∞，0）

（0，+∞）




y

o
x




由上面的例子，你能得出函数单调性与导数存在什么样的关系？
函数单调性与导数的关系
在某个区间（a，b）内，
①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.

②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

?思考:
1.如果在某个区间内恒有f’(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
2.回顾一下函数单调性的定义，利用平均变化率的几何意义，研究单调性的定义与其导数正负的关系？
例1
已知导函数f’(x)下列信息：
①当10;
②当x>4,或x<1时，f’(x)<0;
③当x=4,或x=1时，f’(x) =0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
例题讲解





O
1
4
x
y
y=f(x)
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4或x<1时，f′ (x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；
当x=4或x=1时，f′ (x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图像的大致形状如右图所示.
例2
因为
所以
当
函数
单调递增.
当
函数
单调递减.
解：
确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数.
例3
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)

令6x2－12x>0，解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
令6x2－12x<0，解得0∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数.



x
y
o
例4


判断下列函数的单调性，并求出单调区间：








cosx-1
递减






你能小结求解函数单调区间的步骤吗？
（1）确定函数y=f(x)的定义域；
（2）求导数f’(x)；
（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内 的部分为增区间；
（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
例4
如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.











例4表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增与减，还可以看出其增减的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗？




结论
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数的图像就比较“陡峭”，反之，函数的图像就“平缓”一些.如图所示.
课堂小结



一般地,函数的单调性与导数的关系：
利用函数的导数来研究函数的单调性.其基本的步骤为:

①求函数的定义域;
②求函数的导数 ;
③解不等式 >0得f(x)的单调递增区间;
解不等式 <0得f(x)的单调递减区间.
针对性练习
1、如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数
的图象可能是（ ）
A
评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系.
2 、若
上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
C

解析:由条件，函数 上是减函数，则 .
随堂练习



函数
在R上是减函数，则（ ）
1.
D
2.
设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能是（ ）









(A)








(B)




(C)
(D)
D
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____.
随堂练习



3.
1
已知函数 ,则f(x)的单调减区间为____ .
随堂练习



4.
5.
确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解:
由2x-2>0,解得x>1，因此,当 时,f(x)是增函数;
令2x-2<0,解得x<1，因此,当 时,f(x)是减函数.
6.
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0, 解得x>3或x<1, 因此,当 或 时， f(x)是增函数.
令3x2-12x+9<0,解得1再见