高中数学人教B版选修2-2 第一章 1.3.2利用导数研究函数的极值 上课课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
旧知回顾



一般地，函数的单调性与导数的关系：
求解函数单调区间的步骤
（1）确定函数y=f(x)的定义域；
（2）求导数f’(x)；
（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内 的部分为增区间；
（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
新课导入



观察下图，点a与点b处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？





a

b


观察下图中的曲线

a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．

观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?
1.3.2 利用导数研究函数的极值



教学目标
知识与能力
理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
过程与方法
结合实例，借助几何直观探索并了解函数的极值与导数的关系.
情感态度与价值观
利用函数图像，观察、分析函数的极值与导函数之间的关系，体会导数在研究函数中的优越性.
教学重难点



重点
函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
难点
求函数的极值.
h
t


o
m


观察




观察上图，可以发现t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在此点的导数是多少？此点附近的图像有什么特点？相应的，导数的符号有什么变化规律？

观察
放大t=a附近函数h(t)的图像，如图所示，可以看出
当t>a时，函数h(t)单调递减，
当t观察

这就是说，在t=a附近，函数值先增后减.这样，当t在a附近从小到大经过a时， 先正后负，且 连续变化，于是 .
















探究 下图中函数y=f(x)在a—j点的函数值与这些点附近的函数值有什么函数关系？y=f(x)在这些点得到数值是多少？在这些点附近，该函数的导数符号有什么规律？





以a，b两点为例，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， 而且在点x=a附近的左侧 ，右侧 .





类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大， ；而且在点x=b附近的左侧 ，右侧
极大值的概念
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x) 如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)我们就说f(x0)是函数f(x)的 一个极小值，记作y极小值=f(x0).
极大值和极小值统称极值
极小值的概念
你知道吗？
思考：极值与我们前面学过的最值的概念有什么区别？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的势函数的局部性质.
例1
例题讲解
下面分两种情况讨论：





因此,当x=-2时有极大值,y极大值=28/3;
当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.




你还能再举例吗？
结论
导数值为0的点不一定是函数的极值点.
例如，函数 ， .虽然 ，但无论x>0，还是x<0，恒有 ，即函数 是单调递增的，所以x=0不是函数 极值点.

知识要点
一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充要条件.

知识要点
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 .当 时：
（1）如果在 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么 是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例2
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．

解：定义域为R，y?＝6x(x2－1)2.由y?＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y?，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂小结



（1）可导函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定都是极值点.
（2）对于一般函数，函数的不可导点也可能是极值点.
（3）极大值与极小值的概念.
（4） 一般地，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
（5）如果函数f(x)在点x0处连续,总结判别f(x0)是极大或极小值的方法：
左负右正为极小，左正右负为极大.
针对性练习
1、 设 ，若函数 有大于零的极值点，则（ ）


C．
A．
B．
D．
B
2、 函数 ，已知 在 时取得极值，则=（ ）



2 B. 3
C. 4 D. 5
B
解析：利用取得极值时的导数条件进行求解.
随堂练习



1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ )
A. y=-x3 B. y=cos2x C. y=tanx-x D. y=1/x
B
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( )
–5 B. –6
C. –7 D. –8
B
3. 下列说法正确的是 （ ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值
D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
C
5.函数y=x3-3x的极大值为_____.
2
6 .对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点___________.
充要条件
4.已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
A. 6 B. 0 C. 5 D. 1
A
7.求函数 的极值.
解:函数的定义域为
令 ,解得x1=-a，x2=a(a>0).
当x变化时, ，f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.
再见