第十六章 二次根式 单元测试卷（含解析）
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文档简介
【人教版八年级（下）单元测试卷】
第十六章 二次根式
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列各式中 ， ， ， ， ， ，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若二次根式有意义，则x能取的最小整数值是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．2+5=7 B．32?2=3 C．2+5=10 D．25=105
4．设点P的坐标是（1+，－2+a），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数,满足,则以,的值为两边长的等腰三角形周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
7．下面的计算和推导过程中，
∵， （第一步）
∴， （第二步）
∵， （第三步）
∴， （第四步）
其中首先错误的一步是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
8．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个正方形，则剩余部分的面积为（ ）
A． B．C． D．
9．已知a= ，b=，则a+b+ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式：如果一个三有形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．18 D．15
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．函数的自变量的取值范围是______.
12．化简＝_____．
13．若一个长方体的长为2cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为_____ cm3.
14．下列二次根式：①；②3；③；④；⑤；⑥.
其中是最简二次根式的是__ __．(只填序号)
15．若等式成立，则的值为__________．
16．观察下列各式：＝2；＝3；＝4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_______________．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）把下列根式化成最简二次根式．
（1） （2） （3） （4）
18．（6分）计算.
（1）； （2）.
19．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1．
20．（8分）已知y=++2，求+﹣2的值．
21．（8分）若 ，求（x+1） 的值．
22．（8分）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．
23．（10分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响）
（1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s；
（2）t2 是 t1 的多少倍？
（3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
24．（12分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
（阅读理解）
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件解得：
原式
（启发应用）
（1）按照上面的解法，试化简：；
（类比迁移）
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简；
（3）已知，，为的三边长，
化简：
答案及解析
1．A
【解析】是二次根式；中被开方数3a可能是负数，故不是二次根式；中，=35>0，则是二次根式；中，a2+b2≥0，则是二次根式；中，m2+20≥0，则是二次根式；中，-144是负数，则不是二次根式.
综上，二次根式有4个，
故选A.
2．B
【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
解：∵二次根式有意义，
∴3x﹣2≥0，
解得：x≥，
则x能取的最小整数值是：1．
故选：B．
3．D
【解析】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
解：A.2与5不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B.32?2=3?12=22，所以B错误；
C. 2与5不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
D.25=2×55×5=105，故D正确.
4．D
【解析】由 所以 所以 所以点P在第四象限，
故选D．
5．B
【解析】如果二次根式的被开放式中都不含分母,并且也都不含有能开的尽方的因式,像这样的二次根式叫做最简二次根式，据此判断即可.
解：A. ∵ =2，故不是最简二次根式；
B. ∵ 符合二次根式的定义 ，故是最简二次根式；
C. ∵ = ，故不是最简二次根式；
D. ∵ ，故不是最简二次根式；
故选B.
6．B
【解析】根据绝对值及二次根式的非负性即可得到,的值，再根据三角形的三边关系确定等腰三角形的边即可得到周长.
解：∵，，
∴，
∴，
∵,的值为等腰三角形两边的长
∴等腰三角形的边长为8，8，4或8，4，4
∵当等腰三角形的边长为8，4，4时不符合三角形三边关系，舍去
∴等腰三角形的边长为8，8，4
∴等腰三角形周长是20，
故选：B.
7．C
【解析】根据二次根式的性质与化简即可解答本题．
解：∵
∴首先错误的一步是第三步．
故选：C．
8．D
【解析】根据题意利用正方形的面积公式即可求得大正方形的边长，则可求得阴影部分的面积进而得出答案．
解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
(cm2)．
故选：D．
9．C
【解析】先将a，b中的分母有理化，再代入求解即可．
解：∵a=，b=，
∴．
故选：C．
10．A
【解析】根据题意，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
解：∵a=7，b=5，c=6． ∴p==9， ∴△ABC的面积S==6； 故选：A．
11．x≥0且x≠1．
【解析】根据分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数列式计算即可得解．
解：根据题意得，x≥0且1-x≠0，
解得x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
12．﹣a
【解析】根据二次根式的意义可知a＜0，再根据二次根式的性质化简．
解：原式=--a+
=-a．
故本题答案为-a．
13．12.
【解析】
解：由题意得：=12．故答案为12．
14．①⑥
【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为①⑥.
15．
【解析】将方程变形后两边同时平方即可求出x的值.
解：∵
∴
∴
∴
两边同时平方得，2x-5=27，
解得，x=16.
经检验，x=16是原方程的根.
故答案为：16.
16．
【解析】根据题目中的式子的特点，找到等号左右两边被开方数中的数的规律即可得到第n个式子．
解：题目中的第1个式子即为：＝,，
第2个式子即为：＝，
第3个式子即为：＝，
……
所以第n个式子为：．
故答案为：．
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）先利用完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可得；（2）按顺序先进行二次根式的除法、乘法、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.
解：（1）
=
=；
（2）
=
=.
19．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当a=+1时，
原式=
=
=
=
=2.
20．
【解析】由二次根式有意义的条件可知1﹣8x=0，从而可求得x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可．
解：由二次根式有意义的条件可知：1﹣8x=0，解得：x=．
当x=，y=2时，原式=﹣2=+4﹣2=2．
21．10.
【解析】根据二次根式有意义的条件求出x的范围，化简原式后代入求值即可．
解：∵=?，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x=99，
则原式=（x+1）===10．
22．
【解析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：Sah列式计算即可求解．
解：．
答：这条边上的高为．
23．（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米．
【解析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可．
解：（1）当 h=50 时，t1= =（秒）；
当 h=100 时，t2===2（秒）；
（2）∵=，
∴t2 是 t1 的倍．
（3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25，
∴下落的高度是 11.25 米．
24．(1)1；（2）-a-2b；（3）2a+2b+2c.
【解析】求绝对值题, 要看中a的符号.（1）根据，由隐含条件解得：，再求绝对值化简；（2）根据a,b在数轴上的位置，确定他们的正负，再求绝对值；（3）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.推出各个式子的正负，再分别求绝对值.
解：（1）隐含条件解得：
∴ <0
∴原式=
=
=1 ；
（2）观察数轴得隐含条件：a<0,b>0, ，
∴<0,，
∴原式=
=
= ，
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：
，
∴，
∴原式=
=
= .
第十六章 二次根式
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．下列各式中 ， ， ， ， ， ，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若二次根式有意义，则x能取的最小整数值是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
3．下列计算结果正确的是（ ）
A．2+5=7 B．32?2=3 C．2+5=10 D．25=105
4．设点P的坐标是（1+，－2+a），则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数,满足,则以,的值为两边长的等腰三角形周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
7．下面的计算和推导过程中，
∵， （第一步）
∴， （第二步）
∵， （第三步）
∴， （第四步）
其中首先错误的一步是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
8．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个正方形，则剩余部分的面积为（ ）
A． B．C． D．
9．已知a= ，b=，则a+b+ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式：如果一个三有形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．18 D．15
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．函数的自变量的取值范围是______.
12．化简＝_____．
13．若一个长方体的长为2cm，宽为cm，高为cm，则它的体积为_____ cm3.
14．下列二次根式：①；②3；③；④；⑤；⑥.
其中是最简二次根式的是__ __．(只填序号)
15．若等式成立，则的值为__________．
16．观察下列各式：＝2；＝3；＝4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_______________．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）把下列根式化成最简二次根式．
（1） （2） （3） （4）
18．（6分）计算.
（1）； （2）.
19．（6分）先化简，再求值：，其中a=+1．
20．（8分）已知y=++2，求+﹣2的值．
21．（8分）若 ，求（x+1） 的值．
22．（8分）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．
23．（10分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响）
（1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s；
（2）t2 是 t1 的多少倍？
（3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
24．（12分）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
（阅读理解）
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件解得：
原式
（启发应用）
（1）按照上面的解法，试化简：；
（类比迁移）
（2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简；
（3）已知，，为的三边长，
化简：
答案及解析
1．A
【解析】是二次根式；中被开方数3a可能是负数，故不是二次根式；中，=35>0，则是二次根式；中，a2+b2≥0，则是二次根式；中，m2+20≥0，则是二次根式；中，-144是负数，则不是二次根式.
综上，二次根式有4个，
故选A.
2．B
【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
解：∵二次根式有意义，
∴3x﹣2≥0，
解得：x≥，
则x能取的最小整数值是：1．
故选：B．
3．D
【解析】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
解：A.2与5不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B.32?2=3?12=22，所以B错误；
C. 2与5不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
D.25=2×55×5=105，故D正确.
4．D
【解析】由 所以 所以 所以点P在第四象限，
故选D．
5．B
【解析】如果二次根式的被开放式中都不含分母,并且也都不含有能开的尽方的因式,像这样的二次根式叫做最简二次根式，据此判断即可.
解：A. ∵ =2，故不是最简二次根式；
B. ∵ 符合二次根式的定义 ，故是最简二次根式；
C. ∵ = ，故不是最简二次根式；
D. ∵ ，故不是最简二次根式；
故选B.
6．B
【解析】根据绝对值及二次根式的非负性即可得到,的值，再根据三角形的三边关系确定等腰三角形的边即可得到周长.
解：∵，，
∴，
∴，
∵,的值为等腰三角形两边的长
∴等腰三角形的边长为8，8，4或8，4，4
∵当等腰三角形的边长为8，4，4时不符合三角形三边关系，舍去
∴等腰三角形的边长为8，8，4
∴等腰三角形周长是20，
故选：B.
7．C
【解析】根据二次根式的性质与化简即可解答本题．
解：∵
∴首先错误的一步是第三步．
故选：C．
8．D
【解析】根据题意利用正方形的面积公式即可求得大正方形的边长，则可求得阴影部分的面积进而得出答案．
解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形， 大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
(cm2)．
故选：D．
9．C
【解析】先将a，b中的分母有理化，再代入求解即可．
解：∵a=，b=，
∴．
故选：C．
10．A
【解析】根据题意，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
解：∵a=7，b=5，c=6． ∴p==9， ∴△ABC的面积S==6； 故选：A．
11．x≥0且x≠1．
【解析】根据分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数列式计算即可得解．
解：根据题意得，x≥0且1-x≠0，
解得x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
12．﹣a
【解析】根据二次根式的意义可知a＜0，再根据二次根式的性质化简．
解：原式=--a+
=-a．
故本题答案为-a．
13．12.
【解析】
解：由题意得：=12．故答案为12．
14．①⑥
【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得①⑥是二次根式，故答案为①⑥.
15．
【解析】将方程变形后两边同时平方即可求出x的值.
解：∵
∴
∴
∴
两边同时平方得，2x-5=27，
解得，x=16.
经检验，x=16是原方程的根.
故答案为：16.
16．
【解析】根据题目中的式子的特点，找到等号左右两边被开方数中的数的规律即可得到第n个式子．
解：题目中的第1个式子即为：＝,，
第2个式子即为：＝，
第3个式子即为：＝，
……
所以第n个式子为：．
故答案为：．
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）先利用完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可得；（2）按顺序先进行二次根式的除法、乘法、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可.
解：（1）
=
=；
（2）
=
=.
19．
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当a=+1时，
原式=
=
=
=
=2.
20．
【解析】由二次根式有意义的条件可知1﹣8x=0，从而可求得x、y的值，然后将x、y的值代入计算即可．
解：由二次根式有意义的条件可知：1﹣8x=0，解得：x=．
当x=，y=2时，原式=﹣2=+4﹣2=2．
21．10.
【解析】根据二次根式有意义的条件求出x的范围，化简原式后代入求值即可．
解：∵=?，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x=99，
则原式=（x+1）===10．
22．
【解析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：Sah列式计算即可求解．
解：．
答：这条边上的高为．
23．（1）t1=（秒）；t2=2（秒）；（2）t2 是 t1 的倍；（3）下落的高度是 11.25 米．
【解析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可．
解：（1）当 h=50 时，t1= =（秒）；
当 h=100 时，t2===2（秒）；
（2）∵=，
∴t2 是 t1 的倍．
（3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25，
∴下落的高度是 11.25 米．
24．(1)1；（2）-a-2b；（3）2a+2b+2c.
【解析】求绝对值题, 要看中a的符号.（1）根据，由隐含条件解得：，再求绝对值化简；（2）根据a,b在数轴上的位置，确定他们的正负，再求绝对值；（3）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.推出各个式子的正负，再分别求绝对值.
解：（1）隐含条件解得：
∴ <0
∴原式=
=
=1 ；
（2）观察数轴得隐含条件：a<0,b>0, ，
∴<0,，
∴原式=
=
= ，
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：
，
∴，
∴原式=
=
= .