第十八章 平行四边形 单元测试卷（含解析）

【人教版八年级（下）单元测试卷】
第十八章 平行四边形
说明：全卷满分120分，有三大题，共24小题.
班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________
一、填空题（本题有10小题，每题3分，共30分. 请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
3．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．AC⊥BD B．AD∥BC C．AC＝BD D．AB＝CD
4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点,为垂足，连结，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的对角线，交于点，，，，那么的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．3 B．23 C．26 D．6
9．如图，矩形的面积为28，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…依此类推，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列三个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为____________．
12．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是____．
13．如图，是四边形的对角线，平分，，点，分别为，的中点，连接，，，则的大小为________度．
14．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB:AD=___________时，四边形MENF是正方形．
15．如图，在正方形的右侧作等边三角形，分别连接 交于点，连接，则________.
16．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______．
三、解答题（本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC, DF⊥AC垂足分别为E. F,求证: AF=CE.
18．（6分）如图，在平行四边形AECF中，B，D是直线EF上的两点，BE=DF，连接AB,BC,AD,DC.求证：四边形ABCD是平行四边形.
19．（6分）已知：如图，平行四边形各角的平分线分别相交于点．
求证：四边形是矩形．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．
（1）求BC的长；
（2）若∠CBE＝36°，求∠ADC．
21．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AF=DE，连接BF、CE．
（1）求证：∠CBF=∠BCE；
（2）若点G、M、N在线段BF、BC、CE上，且 FG=MN=CN．求证：MG=NF；
（3）在（2）的条件下，当∠MNC=2∠BMG时，四边形FGMN是什么图形，证明你的结论．
23．（10分）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）①当t为　 时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）；
②当t为　 时，四边形ACFE是菱形．
24．（12分）如图①，四边形和四边形都是正方形，且，，正方形固定，将正方形绕点顺时针旋转角()．
（1）如图②，连接、，相交于点，请判断和是否相等？并说明理由；
（2）如图②，连接，在旋转过程中，当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数；
（3）如图③，点为边的中点，连接、、，在正方形的旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
答案及解析
1．D
【解析】平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的对称中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．
解：∵平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分平行四边形的面积，
∴这样的折纸方法共有无数种．
故选D．
2．D
【解析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可;
1、两组 对边分别平行的四边形是平行四边形;
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形;
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;5、两组对角分别相等 的四边形是平行四边形.
解：A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；
B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；
C、由AB∥CD可得出∠BAO＝∠DCO、∠ABO＝∠CDO，结合OA＝OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB＝CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB∥CD、AD＝BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选D．
3．A
【解析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
解：∵点E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC；同理可证FG∥BD，
∵四边形EFGH为矩形，
∴∠HEF=∠EFG=∠OKF=90°，
∴∠OKF=∠BOC=90°，
∴∠EFG＝90°，
即AC⊥BD，
故选：A．
4．D
【解析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．
解：如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，
∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°，
故选：D．
5．D
【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误．D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确．故选：D．
6．D
【解析】A选项中，根据对顶角相等，得∠1与∠2一定相等；B、C项中无法确定∠1与∠2是否相等；D选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1．
7．D
【解析】根据平行四边形的性质可知，OA＝OC，OB＝OD，由AC⊥AB，，BO＝3，在Rt△AOB中利用勾股定理即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，，BO＝3，∴OB2＝AB2＋OA2，即32＝（）2＋OA2，∴OA2＝4，∵OA＞0，∴OA＝2，∴AC＝2OA＝4．故选：D．
8．B
【解析】由题意，可得BE与AC交于点P．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=23．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=23．
故所求最小值为23．
故选B．
9．C
【解析】设矩形ABCD的面积为S，则平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=S，平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=，…，平行四边形AOn-1CnB的面积= ，平行四边形AOnCn+1B的面积=，即可得出结果．
解：设矩形ABCD的面积为S
根据题意得：平行四边形AOC1B的面积=矩形ABCD的面积=S
平行四边形AO1C2B的面积=平行四边形AOC1B的面积=，…
平行四边形AOn-1CnB的面积=
∴平行四边形AOnCn+1B的面积=
∴平行四边形的面积=
故选C.
10．B
【解析】连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，于是得到结论．
解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；
故选：B．
11．2
【解析】根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，则AE＝AB，从而求出DE．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∵AB＝3，BC＝5，∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝2．故答案为2．
12．
【解析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=AC，∠BAC=∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×4=2，∠BAC=∠BAD=×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=，
∴BD=2OB=，∴该菱形的面积是：AC?BD=×4×=，
故答案为：.
13．64
【解析】根据三角形中位线定理得到EF∥AD，得到∠CEF=∠CAD，根据直角三角形的性质得到EA=EB，得到∠EAB=∠EBA，根据角平分线的定义、直角三角形的性质计算即可．
解：∵点E，F分别为AC，CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠CAD，
∵∠ABC=90°，点E为AC的中点，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠CEB=2∠EAB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠EAB，
∴3∠DAC=78°，
解得，∠DAC=26°，
∵∠ACD=90°，
∴∠D=90°-26°=64°，
故答案为：64．
14．1:2
【解析】当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
15．45°
【解析】证明，求出和的度数，求出的度数
解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴.
16．
【解析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点,又为直角三角形,得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解.
解：,
.
∴∠BEA=∠AFD，
又∵∠AFD＋∠EAG=90°，
∴∠BEA＋∠EAG=90°，
∴∠BGF=90°.
H为BF的中点,又为直角三角形,
.
∵DF=2，
∴CF=5-2=3.
∵为直角三角形.
∴BF===．
17．见解析
【解析】易证△ABE≌△CDF，即可得证.
解：在平行四边形ABCD中，∵AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
又BE⊥AC, DF⊥AC
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AF=AE+EF=FC+EF=CE
故AF=CE.
18．见解析.
【解析】连接AC交BD与点O.由四边形AECF是平行四边形，可证OA=OC,OE=OF,又BE=DF，所以OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论成立.
解：证明：连接AC交BD与点O.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC,OE=OF,
∵BE=DF，
∴OE+BE=OF+DF,
∴OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
19．见详解
【解析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA＝90°，再利用三角形内角和定理可知∠H＝90°，同理∠HEF＝∠DEA＝90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，
∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，
∴∠HAB+∠HBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠H＝90°，
同理∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
20．（1）BC＝10；（2）126°．
【解析】（1）依据DC∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，依据AE平分∠DAB，可得∠DAE＝∠EAB，再根据∠DAE＝∠DEA，即可得到AD＝DE＝10，进而得出BC＝10；
（2）依据勾股定理的逆定理即可得出∠BEC＝90°，再根据三角形内角和定理得出∠C的度数，进而得到∠ADC的度数．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝10，
∴BC＝10；
（2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10，
∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°，
∵AD∥BC，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°．
21．（1）证明见解析；
（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．
【解析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．
解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵?ABDE中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在△ADC和△ECD中，AC=DE∠EDC=∠ACBDC=CD，
∴△ADC≌△ECD（SAS）．
（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，
∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形FGMN是矩形，见解析
【解析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCE，可得∠ABF＝∠DCE，可得结论；
（2）通过证明四边形FGMN是平行四边形，可得MG＝NF；
（3）过点N作NH⊥MC于点H，由等腰三角形的性质可证∠BMG＝∠MNH，可证∠GMN＝90°，即可得四边形FGMN是矩形．
解：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，且AF＝DE
∴△ABF≌△DCE（SAS）
∴∠ABF＝∠DCE，且∠ABC＝∠DCB＝90°
∴∠FBC＝∠ECB
（2）∵FG＝MN＝CN
∴∠NMC＝∠NCM
∴∠NMC＝∠FBC
∴MN∥BF，且FG＝MN
∴四边形FGMN是平行四边形
∴MG＝NF
（3）四边形FGMN是矩形
理由如下：
如图，过点N作NH⊥MC于点H，

∵MN＝NC，NH⊥MC
∴∠MNH＝∠CNH＝∠MNC，NH⊥MC
∴∠MNH+∠NMH＝90°
∵∠MNC＝2∠BMG，∠MNH＝∠CNH＝∠MNC
∴∠BMG＝∠MNH，
∴∠BMG+∠NMH＝90°
∴∠GMN＝90°
∴四边形FGMN是矩形
23．(1)见解析 (2)①或8； ②8.
【解析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；
②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=8，由E的速度求出E运动的时间即可．
解：（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=8-2t，
解得：t=；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-8（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-8，
解得：t=8；
综上可得：当t=或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
②若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=8，
则此时的时间t=8÷1=8（s）．
24．（1）相等，理由见解析；（2）和；（3）存在，最大值为．
【解析】（1）由四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形知BC＝CD，CF＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，从而得∠BCG＝∠DCE，证△BCG≌△DCE得BG＝DE；（2）分两种情况求解可得；（3）由，知当点P到BD的距离最远时，△BDP的面积最大，作PH⊥BD，连接CH、CP，则PH≤CH＋CP，当P、C、H三点共线时，PH最大，此时△BDP的面积最大，据此求解可得．
解：（1）证明：相等
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即，
∴；
∴BG=DE
（2）如图1，∠ACG=90°时，旋转角；
如图2，当∠ACG=90°时，旋转角；
综上所述，旋转角的度数为45°或225°；
（3）存在
∵如图3，在正方形中，，
∴，
∴当点到的距离最远时，的面积最大，
作，连接，，则
当三点共线时，最大，此时的面积最大．
∵，点为的中点，
∴
此时，，
∴．