第四章评估测试卷
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分)
1．下列各式变形中，是因式分解的是( D )
A．a2－2ab＋b2－1＝(a－b)2－1
B．2x2＋2x＝2x2
C．(x＋2)(x－2)＝x2－4
D．x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)
2．将多项式－6a3b2－3a2b2＋12a2b3分解因式时，应提取的公因式是( A )
A．－3a2b2 B．－3ab C．－3a2b D．－3a3b3
3．分解因式3y4－3x4的结果是( B )
A．3(y2＋x2)(y2－x2)
B．3(y2＋x2)(y－x)(y＋x)
C．3(y2＋x2)(y－x)2
D．3(y＋x)2(y－x)2
4．代数式x4－16，x2－4，x4－8x2＋16的公因式是( C )
A．x＋2 B．x2＋4 C．x2－4 D．x－2
5．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则m的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
6．在一个边长为12.75 cm的正方形内，挖去一个边长为7.25 cm的正方形，则剩下部分的面积是( C )
A．20 cm2 B．200 cm2 C．110 cm2 D．11 cm2
7．下列因式分解不正确的是( C )
A．4m－m2＝－m(m－4)
B．－4b2＋36a2＝4(3a＋b)(3a－b)
C．x2(a－b)－4(b－a)＝(a－b)(x＋2)(x－2)
D．(a2＋1)2－4a2＝(a＋1)2(a－1)2
8．已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为( B )
A．6 B．18 C．28 D．50
9．(2019·株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是( D )
A．x2－1＝(x－1)2
B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)
C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2
10．当n是整数时，两个连续奇数2n＋1和2n－1的平方差是( B )
A．16的倍数
B．8的倍数
C．5的倍数
D．3的倍数
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(2019·十堰中考)分解因式：a2＋2a＝a(a＋2)．
12．(2019·金华中考)当x＝1，y＝－时，代数式x2＋2xy＋y2的值是.
13．边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为70.
14．长方形的面积为2a2－8b2(a>2b>0)，若它的长为2a－4b，则它的宽为a＋2b.
15．已知x－y－z＝4，且x2－(y＋z)2＝20，则x＋y＋z＝5.
16．若|a＋2|＋a2＋2ab＋b2＝0，则a＝－2，b＝2.
三、解答题(第17小题6分，第18,19小题各8分，共22分)
17．分解因式：
(1)－2m2＋8mn－8n2； (2)a2x2＋4a2xy＋4a2y2；
(3)a2(x－1)＋b2(1－x); (4)(m2＋n2)2－4m2n2.
18．简便计算：
(1)运用乘法公式计算982；
(2)运用因式分解计算652×11－352×11.
解：(1)982
＝(100－2)2
＝1002－2×100×2＋22
＝10 000－400＋4
＝9 604.
(2)652×11－352×11
＝(652－352)×11
＝(65＋35)×(65－35)×11
＝100×30×11
＝33 000.
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
解：△ABC是等边三角形，
理由：∵a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
∴a2＋b2＋c2－2ba－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
则a＝b，b＝c，故a＝b＝c，
则△ABC是等边三角形．
四、(每小题8分，共16分)
20．已知a＋b＝2，ab＝2，求a3b＋a2b2＋ab3的值．
解：a3b＋a2b2＋ab3
＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2.
又因为a＋b＝2，ab＝2，
所以原式＝ab(a＋b)2＝×2×22＝4.
21．如图所示，在一块边长为a cm的正方形纸板四角各剪去一个边长为b cm的正方形，利用因式分解计算当a＝16.8，b＝1.6时剩余部分的面积．
解：剩余部分的面积
S＝a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．
当a＝16.8，b＝1.6时，
S＝(16.8＋2×1.6)(16.8－2×1.6)＝20×13.6＝272(cm2)．
所以剩余部分的面积为272 cm2.
五、(本题10分)
22．先阅读：分解因式x2－2xy＋y2－z2.
解：x2－2xy＋y2－z2＝(x－y)2－z2＝(x－y＋z)(x－y－z)．
解答下列问题：
(1)分解因式：
①4x2－4xy＋y2－z2；
②1－m2－n2＋2mn；
(2)若a，b，c为△ABC的三边长，判断代数式a2－2ab＋b2－c2的值的正负．
解：(1)①4x2－4xy＋y2－z2＝(2x－y)2－z2＝
(2x－y＋z)(2x－y－z)．
②1－m2－n2＋2mn＝1－(m2－2mn＋n2)＝
1－(m－n)2＝
(1＋m－n)(1－m＋n)．
(2)a2－2ab＋b2－c2＝(a－b)2－c2＝
(a－b＋c)(a－b－c)，
∵a，b，c为△ABC的三边长．
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，
即：a2－2ab＋b2－c2的值是负数．
六、(本题10分)
23．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)
＝y2＋8y＋16 (第二步)
＝(y＋4)2 (第三步)
＝(x2－4x＋4)2. (第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C(填序号)；
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ 否 .(填“是”或“否”)如果否，直接写出最后的结果(x－2)4；
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．
解：(3)设x2－2x＝y，则(x2－2x)·(x2－2x＋2)＋1＝
y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.
七、(本题12分)
24．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b(a＞b)．
(1)写出AG的长度(用含字母a，b的代数式表示)；
(2)观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；
(3)如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16 cm，它们的面积相差960 cm2，试利用(2)中的公式，求a，b的值．
解：(1)AG＝a－b.
(2)a2－b2或a·(a－b)＋b·(a－b)；
a2－b2＝a·(a－b)＋b·(a－b)＝(a＋b)(a－b)，
即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)由题意，得a－b＝16 ①，
a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝960，
∴a＋b＝60 ②，
由①②方程组解得a＝38，b＝22.
故a的长为38 cm，b的长为22 cm.
八、(本题12分)
25．若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32－12,16＝52－32,24＝72－52，……，我们则称形如8,16,24这样的正整数a为“奇特数”．
(1)请写出最小的三位“奇特数”，并表示成连续的两个奇数的平方差的形式；
(2)求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数；
(3)若一个三位数b为“奇特数”，其百位和个位上的数字相同，十位上的数字比个位上的数字大m(m为正整数)，求满足条件的所有三位“奇特数”．
解：(1)最小的三位奇特数是：104，
104＝272－252.
(2)证明：设a＝(2k＋3)2－(2k＋1)2，
∴a＝(2k＋3＋2k＋1)·(2k＋3－2k－1)＝
(4k＋4)×2＝8(k＋1)，
∴任意一个“奇特数”都是8的倍数；
(3)设个位上的数字为：x，则十位数字为：(m＋x)，百位数字为：x，
则b＝100x＋10(m＋x)＋x＝100x＋10m＋10x＋x＝
111x＋10m.
∵b为奇特数，
∴b是8的倍数，
＝＝13x＋m＋.
又∵是整数，
∴也是整数，且1≤x＜10,1≤(x＋m)＜10，
∴(舍)，
(舍)，(舍)．
∴满足条件的b值为：232,272,464,696.
1．(2019·临沂中考)将a3b－ab进行因式分解，正确的是( C )
A．a(a2b－b) B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1) D．ab(a2－1)
2．若多项式ax2－b可分解为(3x＋5)(3x－5)，则( D )
A．a＝－3，b＝－5 B．a＝3，b＝5
C．a＝－9，b＝－25 D．a＝9，b＝25
3．多项式x2－3x－10分解因式的结果是( B )
A．(x＋2)(x＋5) B．(x＋2)(x－5)
C．(x－2)(x－5) D．(x－2)(x＋5)
4．根据乘法运算(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2，那么a2＋ab－2b2因式分解为(a－b)(a＋2b)．
5．若x＋5，x－3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝－2.
6．(x＋3)(2x－1)是多项式2x2＋5x－3因式分解的结果．
7．已知关于x的二次式x2＋mx＋n，当m＝5，n＝6时(写出一组满足条件的整数值即可)，它在有理数范围内能够进行因式分解．
8．如果把多项式x2－8x＋m分解因式得(x－10)(x＋n)，那么m＋n＝－18.
9．下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
(1)a(x＋y)＝ax＋ay；
(2)x2＋2xy＋y2－1＝x(x＋2y)＋(y＋1)(y－1)；
(3)ax2－9a＝a(x＋3)(x－3)；
(4)x2＋2＋＝2；
(5)2a3＝2a·a·a.
解：(1)是整式的乘法，故(1)不是因式分解．
(2)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(2)不是因式分解．
(3)一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3)是因式分解．
(4)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(4)不是因式分解．
(5)乘方的意义，左边是单项式，故(5)不是因式分解．
10．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x＋n)，得
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴
解得：n＝－7，m＝－21，
∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21.
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是(2x－5)，求另一个因式以及k的值．
解：设另一个因式为(x＋a)，得
2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，
则2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，
∴
解得：a＝4，k＝20.
故另一个因式为(x＋4)，k的值为20.
11．因式分解x2＋ax＋b时，小明看错了a的值，因式分解的结果是(x＋6)(x－1)；小亮看错了b的值，因式分解的结果是(x－2)(x＋1)，求a，b的值．
解：因为(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，所以b＝－6；
又因为(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，所以a＝－1.
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1．下列各组中，没有公因式的是( B )
A．3a－3b与b－a
B．mx＋y与x＋my
C．(m－1)3与－(1－m)3
D．a＋b与－(b＋a)
2．把2(x－3)＋x(3－x)提取公因式(x－3)后，另一个因式是( C )
A．x－2 B．x＋2
C．2－x D．－2－x
3．利用分解因式简便计算57×99＋44×99－99正确的是( B )
A．原式＝99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．原式＝99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．原式＝99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．原式＝99×(57＋44－99)＝99×2＝198
4．计算(－2)2 018＋(－2)2 019等于( C )
A．－24 037 B．－2
C．－22 018 D．22 018
5．如图，矩形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为( B )
A．60 B．30
C．15 D．16
6．△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( B )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．(2019·赤峰中考)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝x(x－y)2.
8．已知m，n互为相反数，则3m3＋3m2n＋2的值为2.
9．利用简便方法计算：
(1)1.992＋1.99×0.01；
解：1.992＋1.99×0.01
＝1.99×(1.99＋0.01)
＝3.98.
(2)5.12×68.4－4.8×68.4＋9.68×68.4.
解：5.12×68.4－4.8×68.4＋9.68×68.4
＝68.4×(5.12－4.8＋9.68)
＝68.4×10
＝684.
10．把下列各多项式因式分解：
(1)－4x3＋16x2－24x；
解：－4x3＋16x2－24x＝－4x(x2－4x＋6)．
(2)m(a－3)＋2(3－a)；
解：m(a－3)＋2(3－a)＝m(a－3)－2(a－3)＝
(a－3)(m－2)．
(3)(a＋5b)(a－b)2－2(b－a)3；
解：(a＋5b)(a－b)2－2(b－a)3
＝(a＋5b)(a－b)2＋2(a－b)3
＝(a－b)2[(a＋5b)＋2(a－b)]
＝(a－b)2(3a＋3b)
＝3(a－b)2(a＋b)．
(4)(m－n)(2m＋n)＋(m－n)(4m＋3n)．
解：(m－n)(2m＋n)＋(m－n)(4m＋3n)
＝(m－n)(2m＋n＋4m＋3n)
＝(m－n)(6m＋4n)
＝2(m－n)(3m＋2n)．
11．已知：a＋b＝12，ab＝20，求a2b＋ab2－2a－2b的值．
解：a2b＋ab2－2a－2b
＝ab(a＋b)－2(a＋b)
＝(a＋b)(ab－2)．
因为a＋b＝12，ab＝20，
所以原式＝(a＋b)(ab－2)＝12×(20－2)＝216.
12．已知求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3
＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(2x＋y)，
∵
∴原式＝(x－3y)2(2x＋y)＝12×6＝6.
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1．(2020·天津模拟)多项式4a－a3分解因式的结果是( B )
A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a)
C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
2．分解因式(x－1)2－9的结果是( B )
A．(x＋8)(x＋1) B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8)
3．将(x＋3)2－(x－1)2分解因式的结果是( C )
A．4(2x＋2) B．8x＋8
C．8(x＋1) D．4(x＋1)
4．把多项式ac－bc＋a2－b2因式分解的结果是( A )
A．(a－b)(a＋b＋c) B．(a－b)(a＋b－c)
C．(a＋b)(a－b－c) D．(a＋b)(a－b＋c)
5．把多项式a5－16a因式分解为( C )
A．a(a4－16)
B．a(a2－4)2
C．a(a＋2)(a2＋4)(a－2)
D．a(a2－4)(a2＋4)
6．若3x－2y＝40，x－4y＝－50，则(x＋y)2－(2x－3y)2的值是( A )
A．2 000 B．－2 000
C．200 D．－200
7．若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( A )
A．11 B．22
C．11或12 D．11的倍数
8．已知xy＝1，则(x＋y)2－(x－y)2等于( B )
A．－4 B．4
C．2 D．－2
9．已知1－xn＝(1＋x2)(1－x)(1＋x)，则n的值是( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
10．分解因式：m4n－4m2n＝m2n(m＋2)(m－2)．
11．在直角三角形中，斜边长与一条直角边长的和是12，差是3，则另一条直角边的长是6.
12．把下列各式分解因式：
(1)－36m2＋4n2；
解：－36m2＋4n2
＝4(n2－9m2)
＝4(n＋3m)(n－3m)．
(2)(2a＋b)2－(a＋2b)2；
解：(2a＋b)2－(a＋2b)2
＝(2a＋b＋a＋2b)(2a＋b－a－2b)
＝3(a＋b)(a－b)．
(3)－2(m－n)2＋32；
解：－2(m－n)2＋32
＝－2[(m－n)2－16]
＝－2(m－n＋4)(m－n－4)．
(4)m6－m4；
解：m6－m4
＝m4(m2－1)
＝m4(m＋1)(m－1)．
(5)9a2(x－y)＋4b2(y－x)．
解：9a2(x－y)＋4b2(y－x)
＝(x－y)(9a2－4b2)
＝(x－y)(3a－2b)(3a＋2b)．
13．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．
(1)求图中阴影部分面积(用含a，b的式子表示)；
(2)用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．
解：(1)2a·a－2b2＝2(a2－b2)．
(2)当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2(a2－b2)＝2(a＋b)(a－b)＝2(15.7＋4.3)(15.7－4.3)＝456.
14．计算：….
解：原式＝·
…＝××××××…××＝×＝.
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练3 公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解课
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1．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B )
A．8 B．16 C．2 D．4
2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有( A )
①a2＋2a＋4；②a2＋2a－1；③a2＋2a＋1；④－a2＋2a＋1；⑤－a2－2a－1；⑥a2－2a－1.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( A )
A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)2
4．分解因式：x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A )
A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1)
C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
5．若4x2＋mxy＋25y2是完全平方式，则m的值是( B )
A．20 B．±20 C．10 D．±10
6．已知x为任意实数，则多项式x－1－x2的值是( B )
A．一定是负数 B．不可能是正数
C．一定是正数 D．以上都有可能
7．(2019·沈阳中考)因式分解：－x2－4y2＋4xy＝ －(x－2y)2.
8．已知x＝y＋95，则代数式x2－2xy＋y2－25＝9_000.
9．多项式16x2＋9加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方式，则加上的单项式可以是24x.(填上一个你认为正确的即可)
10．把下列各式因式分解：
(1)x(x－1)－3x＋4；
解：原式＝x2－x－3x＋4＝x2－4x＋4＝(x－2)2.
(2)1－x2＋6xy－9y2；
解：原式＝1－(x2－6xy＋9y2)＝1－(x－3y)2＝(1＋x－3y)(1－x＋3y)．
(3)(x2＋y2)2－4x2y2；
解：原式＝(x2)2＋2x2y2＋(y2)2－4x2y2＝(x2－y2)2＝(x＋y)2(x－y)2.
(4)m3－2m2－4m＋8；
解：原式＝(m3－2m2)－(4m－8)＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)＝(m－2)2(m＋2)．
(5)a4－a2b2＋b4.
解：原式＝(a2)2－2a2＋2＝2＝
22.
11．给出三个多项式X＝2a2＋3ab＋b2，Y＝3a2＋3ab，Z＝a2＋ab，请你分别计算Y＋Z，X－Z，Y－X.
解：Y＋Z＝(3a2＋3ab)＋(a2＋ab)＝4a2＋4ab＝4a(a＋b)．
X－Z＝(2a2＋3ab＋b2)－(a2＋ab)＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
Y－X＝(3a2＋3ab)－(2a2＋3ab＋b2)＝a2－b2＝
(a＋b)(a－b)．
12．计算下列各题：
(1)(x＋y)2－y(2x＋y)；
(2)分解因式：m2n－6mn＋9n；
(3)先化简，再求值：a(a－2b)＋(a＋b)2，其中a＝－1，b＝.
解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy－y2＝x2.
(2)原式＝n(m2－6m＋9)＝n(m－3)2.
(3)原式＝a2－2ab＋a2＋2ab＋b2＝2a2＋b2，
当a＝－1，b＝时，
原式＝2×(－1)2＋()2＝2＋2＝4.
13．有人说，无论x，y取何实数，代数式x2＋y2－10x＋8y＋45的值总是正数，你的看法如何？请说说你的理由．
解：此代数式的值总是正数．
理由：因为x2＋y2－10x＋8y＋45＝x2－10x＋25＋y2＋8y＋16＋4＝(x－5)2＋(y＋4)2＋4，而无论x，y取何值，(x－5)2≥0，(y＋4)2≥0.故(x－5)2＋(y＋4)2＋4≥4>0，即此代数式的值总是正数．
课件16张PPT。第四章
因式分解课
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练3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解课
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Thanks! 专题训练(四) 因式分解
考查角度(一) 因式分解的定义
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
2．下列等式：
①(x＋2)(x－2)＝x2－4；
②x2＋x－9＝(x－3)(x＋3)＋x；
③a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2；
④6a2b2＝6ab·ab；
⑤2(b＋c)(b－c)＋2＝2(b2－c2＋1)；
⑥3a2－6ab＋a＝3a(a－2b)＋a.
其中从左到右的变形是因式分解的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．如果多项式x2－mx－12可以分解为(x－3)(x＋4)，那么m的值是( B )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
考查角度(二) 多项式的因式分解
4．多项式28x2y－12xy2＋24y3中各项的公因式是( B )
A．4xy B．4y
C．－4y2 D．－4xy2
5．将多项式3a2b－6ab＋3b提公因式后的另一个因式是( D )
A．a2－2a B．a2－6ab＋3b
C．a2－6ab＋1 D．a2－2a＋1
6．多项式(3a－4b)(7a－8b)＋(11a－12b)(8b－7a)因式分解的结果是( C )
A．8(7a－8b)(a－b) B．2(7a－8b)2
C．－8(7a－8b)(a－b) D．－2(7a－8b)
7．将(a－3)2－(2a－6)因式分解，其结果是(a－3)·(a－5)．
8．已知a＋b＝－4，ab＝2，则多项式4ab(a＋b)－4a－4b的值是－16.
9．多项式ax2－a与多项式x2－2x＋1的公因式是x－1.
10．多项式x(x＋4)＋4因式分解的结果是(x＋2)2.
11．把下列多项式因式分解：
(1)xy3－9xy；
解：xy3－9xy＝xy(y2－9)＝xy(y＋3)(y－3)．
(2)ax2－4ax＋4a；
解：ax2－4ax＋4a＝a(x2－4x＋4)＝a(x－2)2.
(3)x2(a－1)＋(1－a)；
解：x2(a－1)＋(1－a)＝x2(a－1)－(a－1)＝
(a－1)(x2－1)＝(a－1)(x＋1)(x－1)．
(4)3x4－6x2＋3；
解：3x4－6x2＋3＝3(x4－2x2＋1)＝3(x2－1)2＝
3(x＋1)2(x－1)2.
(5)16x4－8x2y2＋y4；
解：16x4－8x2y2＋y4＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2.
(6)(x＋2)(x＋3)＋x2－4.
解：(x＋2)(x＋3)＋x2－4＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋2)·(x－2)＝(x＋2)(x＋3＋x－2)＝(x＋2)(2x＋1)．
考查角度(三) 因式分解的综合应用
12．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小明将图①的阴影部分拼成了一个矩形，如图②.这一过程可以验证( D )
A．a2＋b2－2ab＝(a－b)2
B．a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C．2a2－3ab＋b2＝(2a－b)(a－b)
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
13．如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，长和宽分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个无空隙的大正方形，则这个大正方形的边长是a＋3b.
14．A，B两块菜地的形状都是正方形，已知A菜地的周长比B菜地的周长多96 m，两块菜地的面积相差960 m2，求A，B两块菜地的边长．
解：设A菜地的边长为x m，B菜地的边长为y m，且x>y.
根据题意，得
由方程①，得x－y＝24.③
由方程②，得(x＋y)(x－y)＝960. ④
把③代入④，得x＋y＝40. ⑤
解由③⑤组成的方程组，得
答：A菜地的边长为32 m，B菜地的边长为8 m.
考查角度(四) 因式分解的创新题
15．请写一个能先用提公因式法、再运用公式法来因式分解的三项式，并写出这个三项式因式分解的结果2x4－4x2＋2＝2(x＋1)2(x－1)2(答案不唯一)．
16．(2020·青岛模拟)阅读下列题目的解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4， (A)
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， (B)
∴c2＝a2＋b2， (C)
∴△ABC是直角三角形．
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C；
(2)错误的原因为：没有考虑a＝b的情况；
(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
17．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
解：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)．
或(y2＋2xy)＋x2＝x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2.
或(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
或(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(x＋y)(y－x)．
18．通过对因式分解的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1，有1,2,3号卡片各若干张，如果选取1号，2号，3号卡片的数量分别为1张，2张，3张，你能用图2中的卡片通过拼图形象地说明a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)吗？请画出图形．
图1 图2
解：能．如图所示．
由图可知大长方形的面积为a2＋3ab＋2b2或(a＋b)(a＋2b)，所以a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)．
19．日常生活中的取款、上网等都需要密码．小明上网用的是一种用“因式分解”法产生的密码，它的原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．小明的密码是：对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，你能说出小明的密码是什么吗？
解：因为4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)，
取x＝10，y＝10时，2x＋y＝2×10＋10＝30，
2x－y＝2×10－10＝10，
由于x,2x＋y,2x－y的排列顺序有6种，
所产生的密码为101030,301010或103010.
