第六章评估测试卷
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分)
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝( B )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．(2019·北京中考)正十边形的外角和为( B )
A．180° B．360° C．720° D．1 440°
3．已知?ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B的度数是( B )
A．100° B．60° C．80° D．160°
4．(2020·海南模拟)如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为( A )
A．15 B．18 C．21 D．24
5．平行四边形的一条边长是12 cm，那么它的两条对角线的长可能是( B )
A．8 cm和16 cm B．10 cm和16 cm C．8 cm和14 cm D．8 cm和12 cm
6．若三角形的各边长分别是8 cm,10 cm和16 cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为( D )
A．34 cm B．30 cm C．29 cm D．17 cm
7．若一个多边形的边数减少1，则它的内角和( C )
A．不变 B．增加180° C．减少180° D．无法确定
8．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A＋∠B＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )
A．140° B．180° C．220° D．320°
9．如图所示，在△ABC中，∠A＝∠B，点D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O.下列结论中，不一定成立的是( A )
A．AB＝AC B．AC＝DE C．AD＝EC D．OA＝OE
10．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有4对全等三角形．其中正确结论的个数是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．用50 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为15cm.
12．如图，BD是?ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是BE＝DF(答案不唯一)．
13．如图所示，已知AD∥BC，AB∥CD，AB＝4，BC＝6，EF是AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则△CDE的周长是10.
14．四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a与c，b与d分别是对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形是平行四边形．
15．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则2秒后四边形ABQP为平行四边形．
16．在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(－1，－2)，C(2，－2)三点坐标，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是①②③.(填序号)
①(－2,0)；②(0，－4)；③(4,0)；④(1，－4)．
三、解答题(第17小题6分，第18,19小题各8分，共22分)
17．已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
18．已知一个多边形的外角和等于其内角和的，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，
则360°＝(n－2)×180°，解得n＝5.
所以这个多边形的边数是5.
19．如图，在?ABCD中，E，F分别为BC，AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝DC，AD＝BC，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE＝DF，
又∵AD＝BC，
∴AF＝CE.
四、(每小题8分，共16分)
20．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BE.
(1)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(2)当AB＝BC时，若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：(1)证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC.
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形．
(2)∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC.
∵AB＝2DB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝2.
21．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.
(1)求证：BN＝DN；
(2)求△ABC的周长．
解：(1)证明：∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2.
∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.
在△ABN和△ADN中，∵
∴△ABN≌△ADN.∴BN＝DN.
(2)∵△ABN≌△ADN，∴AB＝AD＝10.∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD＝2MN＝6.∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
五、(本题10分)
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．
解：如图，延长AD交BC于点E，
∵∠C＝90°，
∴BC＝＝10，
∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，
∴∠ACD＝∠ECD，∠ADC＝∠EDC＝90°，
∴∠CAD＝∠CED，
∴CA＝CE＝10，
∴AD＝DE，
∵M是边AB的中点，
∴DM＝BE＝×(10－10)＝5－5.
六、(本题10分)
23．(2019·遂宁中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
(1)△ADF≌△ECF；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，∴△ADF≌△ECF(AAS)．
(2)∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
七、(本题12分)
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E，点D是CA延长线上的一点，且AD＝AC，连接DE，AF.
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)若四边形ADEF的周长是24 cm，BC的长为6 cm，求四边形ADEF的面积．
解：(1)证明：∵点F是CB的中点，过点F作FE∥AC，
∴BE＝AE，∴EF＝AC，∵AD＝AC，
∴EF＝AD，∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∵四边形ADEF的周长是24 cm，
∴AD＋AF＝12，∴AF＝12－AD，
∵AC＝2AD，CF＝BC＝3，
∴AC2＋CF2＝AF2，
即(2AD)2＋9＝(12－AD)2，
∴AD＝－4，
∴四边形ADEF的面积＝AD·CF＝3－12.
八、(本题12分)
25．如图所示，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即CM∥AN，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，在△MDE和△NBF中，∠MDE＝∠NBF，∠DEM＝∠BFN＝90°，DM＝BN，
∴△MDE≌△NBF，∴ME＝NF＝3，
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴BN＝DM＝5.
1．在?ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( C )
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶1∶1
C．2∶1∶2∶1 D．2∶2∶1∶1
2．如图所示，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( B )
A．10 B．14
C．20 D．22
3．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与BC，AD分别相交于点E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFDC的周长为( C )
A．16 B．14
C．12 D．10
4．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是( C )
A．12和2 B．3和4
C．14和16 D．4和8
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为( D )
A. B. C. D.
第5题图
第6题图
6．如图，平行四边形ABCD中两个邻角的度数比为1∶3，则其中较小的内角的大小为45°.
7．如图，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAD＝60°，AE＝2 cm，AC＋BD＝14 cm，则△OBC的周长是11cm.
8．(2020·常州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝40°.
9．如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，BE＝2，BF＝3，平行四边形ABCD的周长为20，则平行四边形ABCD的面积为12.
10．已知：如图，?ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥AB于点F.求证：BE＝DF.
证明：∵BE⊥CD于点E，DF⊥AB于点F，
∴∠CEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，
∴△ADF≌△CBE，
∴BE＝DF.
11．如图，在?ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD，BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC＝×26＝13 cm，OB＝OD.
∵BD⊥AB，∴∠ABO＝90°，
在Rt△ABO中，AB＝12 cm，AO＝13 cm，
∴BO＝＝5 cm.∴BD＝2BO＝10 cm.
在Rt△ABD中，AB＝12 cm，BD＝10 cm，
∴AD＝＝2 cm.
12．如图所示，已知在平行四边形形状的土地ABCD上，有一条小路E—F—G，现在想把它改成经过点E的直路，并保持小路两侧土地的面积不变，请在图中画出你设计的小路，并简述理由．
解：如图所示．①连接EG，②过点F作MN∥EG，交AD于点M，交BC于点N，连接EM，EM就是所求的路．
题图
理由：因为MN∥GE，
所以S△EGF＝S△EGM.
答图
所以S五边形ABEFG＝S四边形ABEG＋S△EGF＝S四边形ABEG＋S△EGM＝S四边形ABEM，即路左侧面积未变，则右侧面积也未变．
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1．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AB＝CD
2．在四边形ABCD中，若有下列四个条件：
①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD.
现以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件有( A )
A．3组 B．4组
C．5组 D．6组
3．(2019·湘潭中考)在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件AD＝BC(答案不唯一)，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)
4．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE，FG都垂直于l2，E，G分别为垂足，给出四个论断：①AB＝CD；②CE＝FG；③A，B两点间的距离就是线段AB的长度；④l1与l2之间的距离就是线段CD的长度．其中正确的有①②③.(填入序号)
5．如图，在?ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足AE＝CF，BG＝DH，连接EF，GH.求证：EF与GH互相平分．
证明：连接EG，GF，FH，HE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.
又∵DH＝BG，∴AD－DH＝BC－BG，∴AH＝CG.
又∵AE＝CF，∴△AEH≌△CFG，∴EH＝FG.
同理，HF＝GE，∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
6．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.
(1)求证：△ABC
≌△DEF；
(2)求证：AD与BE互相平分；
(3)若BF＝5，FC＝4，直接写出EO的长．
解：(1)证明：如图，连接BD，AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，
∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
(2)证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
(3)OE＝BE＝7.
7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为多少时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？
(2)当t为多少时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？
解：(1)当四边形ABQD为平行四边形时，AD＝BQ＝8，
∵Q点速度为每秒2个单位长度，
∴16－2t＝8，解得t＝4，
即当t为4时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形．
(2)当四边形ABQP为平行四边形时，AP＝BQ，
∵点P，Q的速度分别为每秒1个单位长度，2个单位长度，AD＝8，BC＝16，∴t＝16－2t，解得t＝，即当t为时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形．
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Thanks! 专题训练(七) 平行四边形中的图形变换
考查角度(一) 折叠与平行四边形
1．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，下列说法中不正确的是( D )
A．EF∥BC B．EF＝AE
C．BE＝CF D．AF＝BC
第1题图
第2题图
2．(2019·海南中考) 如图，在?ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( C )
A．12 B．15
C．18 D．21
3．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝55°.
第3题图
第4题图
4．如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A正好落在CD边的点F处．若△FDE的周长为6，平行四边形ABCD的周长为26，那么CF的长为7.
5．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF.
(1)求证：△ABE≌△AD′F；
(2)连接CF，判断四边形AECF是否为平行四边形？请证明你的结论．
题图
解：(1)证明：如图，由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠DCE＝∠D′AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠DCE＝∠BAD.∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3，∴∠1＝∠3.在△ABE和△AD′F中，∵∠D′＝∠B，AB＝AD′，∠1＝∠3，
答图
∴△ABE≌△AD′F.
(2)四边形AECF是平行四边形．证明：由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵△ABE≌△AD′F，∴AE＝AF，∴AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．
6．如图，在?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′C，B′D，B′C交AD于点E.
(1)求证：B′D∥AC；
(2)若∠B＝45°，AB＝，BC＝3，求△AEC的面积．
题图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB.∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACB′，∴AE＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，B′C＝BC，∴B′C＝AD，∴B′E＝DE.∴∠CB′D＝∠ADB′.∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC，∴B′D∥AC.
答图
(2)如图，作AF⊥BC于点F，作CG⊥AD于点G，∵∠B＝45°，AB＝，∴AF＝BF＝1，CG＝DG＝1.∵BC＝3，∴AG＝2.设AE＝CE＝x.则EG＝2－x.∵CG2＋EG2＝CE2，∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝，∴AE＝.∴△AEC的面积＝AE·CG＝××1＝.
考查角度(二) 平移与平行四边形
7．如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．
① ② ③
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开(E为BD上任意一点)，得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处(边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧)，将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处(边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧)．则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为.
8．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短的直角边长为3.
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由；
(2)如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由．
① ②
解：(1)是．理由：∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)是．理由：∵∠ABD＝∠C1D1B1＝30°，∴AB∥C1D1.
又∵AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形．
9．如图，将?ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连接AD1，BC1.
(1)从线段CA1上找出两对相等的线段；
(2)求证：△A1AD1≌△CC1B.
解：(1)相等的线段有AA1＝CC1，A1C1＝AC.
(2)证明：由题意可得A1D1∥BC，则∠D1A1A＝∠BCC1.
在△A1AD1和△CC1B中，
∵AA1＝C1C，∠D1A1A＝∠BCC1，A1D1＝CB，
∴△A1AD1≌△CC1B.
考查角度(三) 旋转与平行四边形
10．如图，?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C＝( C )
A．155° B．170°
C．105° D．145°
第10题图
11．如图，在面积为8的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB，CD于点E，F，若AE＝2EB，则图中阴影部分的面积等于( C )
第11题图
A. B．1
C. D．2
12．如图，在?ABCD中，∠BAD＝70°，将?ABCD绕点A顺时针旋转到?AEFG的位置，旋转角为α(0°<α<70°)．若BC，GF相交于点P，且∠FPC＝100°，则∠α的度数为30°.
13．如图，点O是△ABC的边AC的中点，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后，得到△CDA.
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由；
(2)若AB＝5，AC＝6，∠BAC＝90°，求四边形ABCD的面积．
解：(1)四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后，得到△CDA，
∴△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，BC＝AD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)在△ABC中，∵AB＝5，AC＝6，∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB·AC＝×5×6＝15.∵四边形ABCD是平行四边形，∴S?ABCD＝2S△ABC＝2×15＝30.
14．如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
解：(1)证明：∵?ABCD中，AB⊥AC，旋转角∠AOF＝90°，
∴AB∥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴四边形ABEF一定为平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO.
∵∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE.
∴AF＝CE，
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为( C )
A．32 B．16 C．8 D．4
第1题图
2．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( D )
第2题图
A．15° B．20°
C．25° D．30°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB＝12，则BF的长为( D )
A．7 B．8
C．10 D．16
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝10，则EF的长是5.
第4题图
5．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若△ABC的周长为12 cm，则△DEF的周长是6cm.
第5题图
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，M，N分别是边AB，BC上的动点，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为5.
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)证明：AF＝CE；
(2)若∠B＝30°，AC＝2，连接BF，求BF的长．
解：(1)证明：∵D，E分别是BC，AB上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，AC＝2DE，
又∵EF＝2DE，
∴EF＝AC，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∴AF＝CE.
(2)∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴BC＝2，DE＝1，∠EDB＝90°，
∵D为BC中点，∴BD＝，
又∵EF＝2DE，
∴EF＝2，∴DF＝3，
在△BDF中，由勾股定理得BF＝＝2.
8．如图所示，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：MN∥BC，且MN＝BC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠MAE＝∠MFB，∠AEM＝∠MBF.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝FB，∴△AEM≌△FBM，∴EM＝BM.
同理EN＝CN.∴MN是△EBC的中位线，
∴MN∥BC，且MN＝BC.
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，H是EF的中点，试说明线段GH与线段EF的位置关系．
解：连接EG，FG，在△ABD中，E，G分别是AD，BD的中点，所以EG是△ABD的中位线．所以EG＝AB.
在△BCD中，G，F分别是BD，BC的中点，所以FG是△BCD的中位线．所以FG＝CD.
因为AB＝CD，所以EG＝FG.所以△GEF是等腰三角形．
又因为H是EF的中点，所以GH⊥EF.
课件16张PPT。第六章
平行四边形课
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1．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是( B )
A B C D
2．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( C )
A．108° B．90°
C．72° D．60°
3．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( C )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
5．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
第5题图
第6题图
6．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，∠1，∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为( B )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( D )
A．5 B．5或6
C．5或7 D．5或6或7
8．从一个多边形的一个顶点出发可以作15条对角线，则这个多边形的内角和是2_880°.
9．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为40°.
10．(2019·枣庄中考)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.图中，∠BAC＝36度．
图1 图2
11．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为π个平方单位．
12．若两个多边形的边数之比为1∶2，两个多边形的内角和共为1 440°，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别为n,2n.
根据题意，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝1 440°，
解得n＝4，所以2n＝8，
故这两个多边形的边数分别为4,8.
13．如图，已知AB∥CD，求图中∠E的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠B＝180°－60°＝120°.∵多边形ABCDE是五边形，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.∴∠E＝540°－∠A－∠B－∠C－∠D＝540°－125°－120°－60°－150°＝85°，故图形中∠E＝85°.
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2.
(1)求证：EF∥BD；
(2)若DB平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度数．
题图
答图
解：(1)证明：如图，∵AD∥BC(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴EF∥BD(同位角相等，两直线平行)．
(2)∵AD∥BC(已知)，∴∠ABC＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠A＝130°(已知)，∴∠ABC＝50°.∵DB平分∠ABC(已知)，∴∠3＝∠ABC＝25°.∴∠2＝∠3＝25°.∵在△CFE中，∠CFE＋∠2＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝70°，∴∠CFE＝85°.
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多边形的内角和与外角和课
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Thanks! 专题训练(八) 平行四边形
考查角度(一) 平行四边形的性质
1．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是( C )
A．红花，绿花种植面积一定相等
B．紫花，橙花种植面积一定相等
C．红花，蓝花种植面积一定相等
D．蓝花，黄花种植面积一定相等
2．如图，在?ABCD中，∠D＝72°，BE平分∠ABC，则∠ABE的度数是 36°.
3．已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10 cm，BD＝18 cm，AD＝12 cm，则△BOC的周长是26cm.
4．如图所示，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.若AC＝12，BD＝10，那么AB的取值范围是 1
5．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OB＝cm.
6．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，求平行四边形ABCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵OE⊥BD，OB＝OD，∴BE＝DE.
∵△CDE的周长为10，即CD＋DE＋EC＝10，
∴?ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝2(BC＋CD)＝2(BE＋EC＋CD)＝2(DE＋EC＋CD)＝2×10＝20.
考查角度(二) 平行四边形的判定
7．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( B )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
8．在平面直角坐标系中，有A(0,1)，B(－1,0)，C(1,0)三点，若点D与A，B，C三点构成平行四边形，则点D的坐标不可能是( C )
A．(0，－1) B．(－2,1)
C．(－2，－1) D．(2,1)
9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E.若AD＝5 cm，BC＝12 cm，则CD的长是7cm.
10．如图所示，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴BE＝CF.
11．(2019·郴州中考)如图，?ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)，
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
12．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)求证：AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
证明：(1)∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF＝BC，AE＝BA，
∴△AFE≌△BCA(HL)，∴AC＝EF.
(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°，
又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．
13．如图所示，在?ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：BD与MN互相平分．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAM＝∠FCN.
∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.
又∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN.
(2)由(1)得△AEM≌△CFN，
∴AM＝CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴BM∥DN，BM＝DN，∴四边形BMDN是平行四边形，
∴BD与MN互相平分．
考查角度(三) 三角形中位线定理的应用
14．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC边延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC.
∵CE＝CD，∴AB∥CE，AB＝CE.
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF＝FC，∴OF是△ABC的中位线，即AB＝2OF.
考查角度(四) 多边形内角和、外角和定理的应用
15．一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8.
16．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．
17．如图，在六边形ABCDEF中，AB∥DE，且∠A＝120°，求∠E＋∠F的度数．
解：连接AD.∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠FAD＋∠ADE＝∠FAD＋∠BAD＝∠BAF＝120°.
∴在四边形ADEF中，∠E＋∠F＝360°－(∠FAD＋∠ADE)＝360°－120°＝240°.
18．已知多边形的一个内角的外角与其他各内角的和为600°，求这个多边形的边数及相应外角的度数．
解：设这个多边形的边数为n，一个外角的度数为x，根据题意，得(n－2)·180°－(180°－x)＋x＝600°，整理，得x＝570°－90°n.∵0°解得4∵n为正整数，∴n可以取5,6.
当n＝5时，x＝120°，当n＝6时，x＝30°.
∴当边数为5时，这个外角为120°；当边数为6时，这个外角为30°.
