(共20张PPT)
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 配方法—直接开平方法
课堂讲解
课时流程
1
2
形如x2＝p(p≥0)型方程的解法
形如(mx＋n)2＝p(p≥0)型方程的解法
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
填空：
1. 4的平方根是________；
2的平方根是 ________。
2. 如果x2＝4，则x＝ ________；
如果x2＝2，则x＝ ________。
知1－导
1
知识点
形如x2＝p(p≥0)型方程的解法
1．定义：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
2．直接开平方法求方程的解的方法：
x2＝p(p≥0)→x＝
知1－导
(1)移项，得x2＝81，于是x＝±9，
即x1＝9，x2＝－9.
(2)移项，得4x2＝64，于是x2＝16，
所以x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.
解：
用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－81＝0；(2)4x2－64＝0；
例1
知1－讲
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解． 当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
知1－讲
(济宁)若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则 ＝________．
例2
4
利用直接开平方法得到 ，得到方程的两个根
互为相反数，故可求出m的值．根据m的值再求 的值．
∵x2＝ (ab＞0)，∴
∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，
∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，
∴
导引：
知1－讲
已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最高次数是2.当二次项系数是待定系数时，还要考虑二次项系数不等于0.
知1－练
1 直接开平方解下列方程:
(1) x2＝25； (2) x2－0.81＝0；
知1－练
＞1
2 对于方程x2＝m－1，
(1)若方程有两个不相等的实数根，则m________；
(2)若方程有两个相等的实数根，则m________；
(3)若方程无实数根，则m________．
＝1
＜1
知1－练
C
3 一元二次方程4x2－9＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x1＝ ，x2 ＝ D．x1＝ ，x2＝
知1－练
D
4 若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C. D.
2
知识点
一元二次方程的一般形式
知2－讲
直接开平方法求方程的解的方法：
(1)(x＋a)2＝p(p≥0)→x＝
(2)(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)→x＝
知2－讲
(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
(2)2y－3＝±4，于是y1＝ ，y2＝－ .
例3
用直接开平方法解下列方程：
(1)(x－3)2＝25； (2)(2y－3)2＝16.
解：
知2－讲
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
知2－练
直接开平方解下列方程:
(1) 3(x＋1)2＝48;
(2) 2(x＋2)2－4 = 0.
知2－练
C
2 下列方程中，适合用直接开平方法解的个数为( )
① x2＝1； ②(x－1)2＝3；③ (x－3)2＝2；
④y2－y－3＝0；⑤x2＝x＋2； ⑥3x2＋2＝x2＋3.
A．2 B．3 C．4 D．5
知2－练
C
3 (中考·鞍山)已知b＜0，关于x的一元二次方程
(x－1)2＝b的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
知2－练
C
4 一元二次方程(x－2)2＝1的根是( )
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”：
1.变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
2.开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
3.求解：解一元一次方程，得出方程的根．
(共23张PPT)
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方后解一元二次方程
课堂讲解
课时流程
1
2
一元二次方程配方的方法
用配方法解一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1.某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2017年无公害蔬菜的产量比2015年翻一番，要实现这一目标，2016年和2017年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
解：设无公害蔬菜产量的年增长率为x，2015年的产量为a ，则可得方程：_______________
2.用直接开平方法解下列方程：
(1) x2＝2 (2) 3(x＋1)2＝75
知1－讲
1
知识点
一元二次方程配方的方法
配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1)．
知1－导
配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构
特征，当二次项系数为1时，常数项是一次项系数
一半的平方．
导引：
填空：
(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2＋(________)x＋ 36＝[x＋(________)]2；
(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．
例1
25 5
±12 ±6
2 9
知1－讲
(1)当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．
(2)当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．
知1－讲
求代数式的最小值，先将代数式配方成a(x＋m)2＋n的形式，然后根据完全平方的非负性求代数式的最小值．
导引：
当x取何值时，代数式2x2－6x＋7的值最小？并求出这个最小值．
例2
知1－讲
2x2－6x＋7＝2(x2－3x)＋7
即当x＝ 时，2x2－6x＋7的值最小，最小值为 .
解：
知1－讲
代数式ax2＋bx＋c(a≠0)配方成a(x＋m)2＋n后，若a>0，则当x＝－m时，代数式取最小值n；若a<0，则当x＝－m时，代数式取最大值n.
知1－练
1 填空：
(1)x2－8x＋( )2＝（x－ )2 ；
(2) y2＋5y＋( ) 2 ＝(y＋ ) 2；
(3) x2－ x＋( ) 2 ＝(x－ ) 2 ；
(4) x2＋px＋( )2＝(x＋ ) 2 .
4 4
知1－练
（x＋2）2＋1
2 (中考·荆州)将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为______________．
知1－练
B
3 对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是( )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定
4 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
C
知1－练
B
5 若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的左边是一个完全平方式，则m等于( )
A．－2 B．－2或6
C．－2或－6 D．2或－6
2
知识点
用配方法解一元二次方程
知2－讲
1．定义：先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法．
知2－讲
2．用配方法解一元二次方程的步骤：
简言之：一化二移三配四开方，即
(1)化：①将方程化成一般形式；②将二次项系数化为1.
(2)移：将常数项移到方程的另一边．
(3)配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方
程变为(x±m)2＝n的形式．
(4)开方：如果n为非负数，直接开平方求根．
知2－讲
(1)移项，得 x2－4x＝1.
配方，得 x2－2×2x＋_____＝1＋______,
即 (x－_______)2＝_________.
开平方，得 ____________________.
所以原方程的根是
x1＝________, x2＝_________.
例3
用配方法解下列方程：
(1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－3x－1＝0.
知2－讲
(2)先把x2的系数变为1，即把原方程两边同除以2，
得x2－ x－ ＝0.
移项，得 x2－ x＝ .
下面的过程由你来完成：_________________
__________________________________________________________________________________________________________________________
知2－讲
方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤的重要前提．
知2－练
A
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
知2－练
D
2 (中考·随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝
0，下列变形正确的是( )
A．(x－6)2＝－4＋36
B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9
D．(x－3)2＝4＋9
知2－练
C
3 把方程2x2－3x＋1＝0化为(x＋a)2＝b的形式，
正确的结果为( )
A. B．
C. D．以上都不对
二次三项式的配方过程与一元二次方程的配方过程有两大区别：
一是二次项系数化为1，二次三项式是提出二次项的系数，一元二次方程是两边除以二次项的系数；
二是配方，二次三项式是先加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方，一元二次方程是两边同时加上一次项系数一半的平方．
(共25张PPT)
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第3课时 公式法
课堂讲解
课时流程
1
2
一元二次方程的求根公式
用求根公式解方程
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1.用配方法解下列方程 ：
(1)x2－6x－7＝0；
(2) 2x2＋5x＝6.
2. 用配方法解一元二次方程的步骤是怎样的?
知1－讲
1
知识点
一元二次方程的求根公式
求根公式的定义：
当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数
根可写为x ，这个式子叫做一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
知1－练
1 把下列方程化成ax2＋bx＋c＝0的形式，并写出其中a,b,c的值:
(1)x2－5x＝2； (2)3x2－1＝2x；
(3)2x(x－1)＝x＋4； (4)(x＋1)2＝3x－ 2.
（1）x2－5x－2＝0
（2）3x2－2x－1＝0
（3）2x2－3x－4＝0
（4）x2－x＋3＝0
知1－练
2 方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为( )
A．3、1、4 B．3、－1、－4
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4
B
知1－练
A
3 一元二次方程 中，b2－4ac的值应是( )
A．64 B．－64 C．32 D．－32
知1－练
D
4 以x＝ 为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
2
知识点
用求根公式解方程
知2－讲
用求根公式解一元二次方程的一般步骤：
(1)把一元二次方程化成一般形式；
(2)确定公式中a，b，c的值；
(3)求出b2－4ac的值；
(4)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解．
知2－讲
例1
用公式法解下列方程：
(1)2x2＋7x－4＝0； (2)x2＋3＝
a＝2,b＝7, c＝－4,
b2－4ac＝72－4×2 ×(－4)
＝81＞ 0.
代入求根公式，得
解：
知2－讲
(2)将原方程化为标准形式，得
x2－ ＋3＝0.
a＝1,b＝ , c＝3,
b2－4ac＝
＝ 0.
代入求根公式，得
解：
知2－讲
用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．
知2－讲
例2
解方程：x2＋x－1＝0.(精确到0.001)
解：
a＝1,b＝1, c＝－1,代入求根公式，得
用计算器求得 ≈2.2361.
∴x1≈0.618，x2≈－1.618.
知2－讲
本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，解题关键是求出方程的解和估算无理数的大小．
知2－讲
例3
解关于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．
导引：
先将该方程通过去括号化成一般形式，然后将m，n看成已知数，找出a，b，c的值，再利用公式法求解．
知2－讲
解：
将原方程化成一般形式为
x2－3mx＋(2m2－mn－n2)＝0.
∵a＝1，b＝－3m，c＝2m2－mn－n2，
∴b2－4ac＝(－3m)2－4×1×(2m2－mn－n2)
＝m2＋4mn＋4n2＝(m＋2n)2≥0，
∴
∴x1＝2m＋n，x2＝m－n.
知2－讲
解含字母系数的一元二次方程与解一般的一元二次方程一样，先将方程化成一般形式，然后利用公式法求出方程的解．
知2－讲
例4
利用公式法因式分解：
(1)6x2－7x＋1；(2)4x2－x－5.
导引：
构造一元二次方程6x2－7x＋1＝0和4x2－x－5＝0，
分别求出方程的两个解x1和x2，然后将两个解代入
a(x－x1)(x－x2)中，即可得到因式分解的结果．
知2－讲
解：
(1)构造一元二次方程为6x2－7x＋1＝0.
∵a＝6，b＝－7，c＝1，
∴b2－4ac＝49－4×6×1＝25＞0.
∴ ∴x1＝1，x2＝
∴
知2－讲
(2)构造一元二次方程为4x2－x－5＝0.
∵a＝4，b＝－1，c＝－5，
∴b2－4ac＝1－4×4×(－5)＝81＞0.
∴
∴x1＝ x2＝－1.
∴
知2－讲
利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则方程可化成a(x－x1)(x－x2)＝0(a≠0)的形式，因此ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，所以利用公式法进行代数式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解时，
知2－讲
可以先构造一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，然后求出一元二次方程的两解，再代入a(x－x1)(x－x2)(a≠0)完成因式分解．
知2－练
C
1 (中考·淄博)一元二次方程x2＋ －6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝ B．x1＝0，x2＝－
C．x1＝ ，x2＝－
D．x1＝－ ，x2＝
知2－练
B
2 下若方程(m－2)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，
则方程的根是( )
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：
(1)把一元二次方程化为一般形式；
(2)确定a，b，c的值；
(3)计算b2－4ac的值；
(4)当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，
求出方程的两个实数根；
当b2－4ac<0时，方程无实数根．
(共27张PPT)
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法
课堂讲解
课时流程
1
2
用因式分解法解一元二次方程
用适当的方法解一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1.将下列各式分解因式.
(1)x2－3x； (2)2x(5x－1)－3(5x－1)；
(3)x2－4； (4)x2－10x＋25.
2.若ab＝0，则______＝0或______＝0，若x(x－3)＝0,则______＝0 ，或______＝0.
3.试求下列方程的根
(1)x(x－7)＝0； (2)(x＋1＋2)(x＋1－2)=0.
知1－讲
1
知识点
用因式分解法解一元二次方程
对于 (x－3)(x＋3)＝0.
我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两
个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式
中有一个等于 0，那么它们的积就等于0.因此，有
x—3＝0或x＋3＝0.
知1－练
A
1 (中考·山西)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
知1－练
C
2 解方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是( )
A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1)
B．化为一般形式为13x2＋5＝0
C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－
2(x－1)]＝0
D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
知1－讲
1．定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．
2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
知1－讲
3．常用的因式分解的方法：
(1)提公因式法；
(2)公式法；
(3)x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
知1－讲
把方程左边因式分解，得
(x－2)(x－3)＝0.
因此，有
x－2＝0或x－3＝0.
解方程，得
x1＝2, x2＝3.
例1
解方程：x2－5x＋6＝0.
解：
知1－讲
用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程化为一般形式，要结合方程特点适当变形，然后提取公因式或运用公式．
知1－讲
例2
解方程：(x＋4)(x－1)＝6.
解：
将原方程化为标准形式，得
x2＋3x－10＝0.
把方程左边分解因式，得
(x＋5)(x－2)＝0.
∴x＋5＝0或x－2＝0.
解方程，得 x1＝－5，x2＝2.
知1－讲
采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：
右化零，左分解，两因式，各求解．
知1－练
用因式分解法解下列方程:
(1) (x－ )(x－ )＝0; (2) 4x2－3x＝0；
(3) 3(x＋1)＝x(x＋1); (4) x2－6x－7＝0；
(5) t(t＋3)＝28； (6) (x＋1)(x＋3)＝15.
知1－练
解：
知1－练
解：
知1－练
2 (中考·沈阳)一元二次方程x2－4x＝12的根是( )
A．x1＝2，x2＝－6 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝－2，x2＝－6 D．x1＝2，x2＝6
B
知1－练
3 (中考·雅安)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是( )
A．5 B．7 C．5或7 D．10
B
知1－练
4 (中考·广安)一个等腰三角形的两边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9
C．13 D．12或9
A
知1－练
5 △ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是( )
A．10 B．12
C．6或10或12 D．6或8或10或12
C
2
知识点
用适当的方法解一元二次方程
知2－讲
例3
用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2－2x－3＝0；(2)2x2－7x－6＝0；
(3)(x－1)2－3(x－1)＝0.
导引：
方程(1)选择配方法；
方程(2)选择公式法；
方程(3)选择因式分解法．
知2－讲
解：
(1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
知2－讲
解：
(2)2x2－7x－6＝0，
∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴b2－4ac＝97＞0，
∴x1＝ x2＝
知2－讲
(3)(x－1)2－3(x－1)＝0，
(x－1)(x－1－3)＝0，
∴x－1＝0或x－4＝0，
∴x1＝1，x2＝4.
知2－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，
首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．当系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.
知2－练
D
1 解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)移项，将方程的右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程；
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(4)解这两个一元一次方程，得方程的两个根．
用因式分解法解方程的关键是将方程左边因式分解.
常用到的因式分解的方法是：提公因式法、公式法、
x2－(a＋b)x＋ab型的因式分解(即十字相乘法)．
