沪科版八下数学17.3一元二次根的判别式教学课件（31张）

(共31张PPT)
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
课堂讲解
课时流程
1
2
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的情况的判别
一元二次方程根的判别式的应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1．一元二次方程的一般形式为：______________。
2．已知方程2x2－3x＋1＝0,则b2－4ac＝_________。
3．方程x2＋5x＋5＝0的根的判别式的值是：______ 。
4．已知关于x的方程x2－mx＋2＝0有两个相等的实数根，那么m的值是：_________。
5．当k等于___时，方程2x2－6x－(k－4)＝0没有实数根。
6．不解方程，判断下列方程根的情况。
(1)2y2＋5y＋6＝0；(2)2x2－3x＝1；
(3)7t2－5t＋2＝0
知1－讲
1
知识点
一元二次方程根的判别式
定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ＝b2－4ac.
知1－练
2
1　方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，
a＝________，b＝________，c＝________，
b2－4ac＝______．
－7
－4
81
知1－练
B
3　方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为(　　)
A．－16　　 　 B．16
C．4　　　 D．－4
知2－讲
2
知识点
一元二次方程根的情况的判别
一元二次方程的根的个数的判断方法：
(1)当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
(2)当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
知2－讲
例1
不解方程，判别下列方程根的情况:
(1)5x2－3x－2＝0；(2)25y2＋4＝20y；
(3)2x2＋ x＋1＝0.
知2－讲
(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0.
因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝ －4×2×l＝－5＜0,
所以原方程没有实数根.
解：
知2－讲
(1)关于一元二次方程根的情况的问题一般都与b2－4ac有关，抓住b2－4ac与零的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解题的关键．
知2－讲
(2)判别方程根的情况的方法：
①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0，则该方程有两个不相等的实数根；③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判别根的情况．
知2－讲
例2
关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实根　　B．总有实根
C．有两个相等的实根 D．没有实根
B
导引：
判别一元二次方程根的情况，主要看根的判别式与零的大小关系．
∵Δ＝(k＋2)2－4×2k＝k2＋4k＋4－8k
＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
∴方程总有实根．
知2－讲
当根的判别式Δ为一个完全平方式时，方程有实数根；当Δ为一个完全平方式加一个正数时，方程有两个不相等的实数根；当Δ为一个完全平方式的相反数加一个负数时，方程没有实数根．
知2－练
1　(中考·昆明)一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
B
知2－练
B
2　(中考·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
知2－练
B
3　(中考·眉山)下列方程中有两个不相等的实数根的是(　　)
A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0
C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝0
3
知识点
一元二次方程根的判别式的应用
知3－讲
要点精析：
(1)利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程中待定字母系数的取值范围；
知3－讲
要点精析：
(2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c的值后再计算；
(3)一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即Δ≥0.
知3－讲
例3
k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？
导引：
已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ＞0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．
知3－讲
解：
∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9
＝144－36k.
由144－36k＞0，求得k＜4，又 k≠0，
∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
知3－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点：
一是该方程是一元二次方程，即二次项系数不为零；二是该方程的Δ＞0.
知3－讲
例4
如果关于x的一元二次方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
导引：
若关于x的一元二次方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，则必有Δ＜0，可得m的取值范围，再判断方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况即可．
知3－讲
解：
∵关于x的一元二次方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，

∴

∴m＞4.
知3－讲
解：
对于关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，
当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，Δ1＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．
∵m＞4，∴3m＋1＞13，
∴Δ1＝4(3m＋1)＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
知3－讲
综上：当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0
有一个实数根；
当m＞4且m≠5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0
有两个不相等的实数根．
知3－练
A
1　(中考·荆门)若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a≥1 　　 B．a＞1　　
C．a≤1 　　D．a＜1
知3－练
B
2　(中考·桂林)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
知3－练
A
3　(中考·张家界)若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是(　　)
A．1 B．0，1
C．1，2 D．1，2，3
知3－练
B
4　(中考·达州)方程(m－2)x2－ ＋ ＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m＞ B．m≤ 且m≠2
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
根的判别式的应用：
(1)直用：不解方程，可以判断方程根的情况．
(2)逆用：已知方程根的情况，判断字母系数的取值范围．
注意：一元二次方程有实数根，包含有两个相等的实数根
和有两个不相等的实数根两种情况．