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第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 列一元二次方程解实际应用问题
1．平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，每次的增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长是以a(1＋x)为基数的，第二次增长后的数量为________；当问题变为下降(或减产)率为x，则第二次下降(或减产)后的数量为a(1－x)2.
2．一元二次方程的应用应注意的一些问题：①注意各类应用题中常用的等量关系以及题目中隐含的等量关系．②注意语言与代数表达式的互化．③注意单位问题：一是在设元时必须写清单位；二是在列方程时，方程两边的单位必须一致．
1．(中考·宁夏)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x，应列方程是( )
A．300(1＋x)＝507 B．300(1＋x)2＝507
C．300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
D．300＋300(1＋x)＋300(1＋x)2＝507
B
1
知识点
增长率问题
2．为了提倡低碳出行，某市引进共享单车，2018年第一季度投放了20万辆，到第三季度结束计划共投放24.2万辆，求该市第二、三季度投放共享单车的平均增长率，按照这样的增长速度，预计到2018年底共投放共享单车多少辆？
解：设该市第二、三季度投放共享单车的平均增长率为x，由题意，得20(1＋x)2＝24.2，
解得：x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意舍去)，
则x＝10%，24.2×(1＋10%)＝26.62(万辆)，
答：该市第二、三季度投放共享单车的平均增长率为10%，按照这样的增长速度，预计到2018年底共投放共享单车26.62万辆．
3．早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝．在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
D
2
知识点
传播问题
4．(中考·贺州)某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮培植中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
2
知识点
形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的解法
解：(1)设每轮培植中每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得
60(1＋x)2＝24 000.
解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．
答：每轮培植中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2)60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．
答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
5．(含山月考)某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
B
3
知识点
计数问题
6．(中考·新疆)某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设应邀请x支球队参加比赛，
根据题意，可列出方程 ＝28.解这个方程，得 x1＝8，x2＝－7(舍去)．
答：应邀请 8支球队参加比赛．
7．已知两个连续奇数的乘积比它们的和大119，则这两个数是________________ .
4
知识点
计数问题
点拨：
设两个连续奇数为x和x＋2，由题意得x(x＋2)－(x＋x＋2)＝119，解得x1＝－11，x2＝11，所以这两个数是－11，－9或11，13.
8．一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把这两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，求原两位数．
解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为x＋4，根据题意得(10x＋x＋4)[10(x＋4)＋x]＝765，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，则x＋4＝5，故原两位数为10x＋x＋4＝10×1＋5＝15.
9．(阜南月考)明德中学2015年在校学生人数为1 200 人，2017 年在校学生人数达到1 500 人．
(1)求2015年至2017年该校在校学生人数的年平均增长率；
(2)该校的办学规模是在校学生人数为1 900人，按照这个增长速度，2019年该校在校学生人数是否超过办学规模的学生人数？(参考数据： ≈1.12 )
解：(1)设2015年至2017年该校在校学生人数的年平均增长率为x，由题意，得1 200(1＋x)2＝1 500，解得，x1≈0.12，x2≈－2.12(不合题意，舍去)．
答：2015年至2017年该校在校学生人数的年平均增长率为12%.
(2)1 500(1＋12%)2≈1 882(人)＜1 900(人)．答：2019年该校在校学生人数没有超过办学规模的学生人数．
10．(中考·西宁)青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车，预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2 205辆公共自行车．
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
解：(1)设每个站点的造价为x万元，公共自行车的单价为y万元．根据题意可得
解得
答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得 720 ＝2 205.
解得a1＝ ＝75%，a2＝－ (不符合题意，舍去)．
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.
11．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来
参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文
物会产生不利影响，因此博物馆采取了
提高门票价格的方法来控制参观人数，
在该方法的实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这种情况下，如果要保证每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数为多少？门票价格应是多少？
解：设每周参观人数y(人)与票价x(元)之间的一次函数表达式为y＝kx＋b(x＞0)，
根据题意，得 解得
∴y＝－500x＋12 000(x＞0)．
∵xy＝40 000，即x(－500x＋12 000)＝40 000，整理得x2－24x＋80＝0，解得x1＝20，x2＝4.
把x1＝20，x2＝4分别代入y＝－500x＋12 000，得y1＝2 000，y2＝10 000.
∵要控制参观人数，∴取x＝20，此时，y＝2 000.
答：每周应限定参观人数为2 000人，门票价格应是20元．
12．(中考·德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，该公司若想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，将数据代入可得
解得
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式是y＝－10x＋1 000；
(2)此设备的销售单价是x万元，成本价是30万元，则该设备的单台利润为(x－30)万元，
由题意得(x－30)(－10x＋1 000)＝10 000，解得x1＝80，x2＝50，
∵销售单价不得高于70万元，即x≤70，
∴x1＝80不合题意，故舍去，
∴x＝50.
答：该公司若想获得10 000万元的年利润，该设备的销售单价应是50万元．
(共27张PPT)
第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
第2课时 建立一元二次方程解几何问题
课堂讲解
课时流程
1
2
规则图形的应用
不规则图形的应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
学生自主预习教材，完成下列各题.
1．一元二次方程有哪些解法？
2．我们学过的列方程解应用题，有哪些基本步骤?
知1－讲
1
知识点
规则图形的应用
解决这类问题要将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积计算公式列出方程求解．
知1－讲
例1
正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20 cm，容积为2 880 cm3的开口方盒．问原金属片的边长是多少？
知1－讲
设原金属片的边长为x cm,则方盒的底边长是
(x－40) cm.
根据题意，得 20(x－40)2＝2 880.
整理，得 (x－40)2＝144.
解方程，得 x1＝52，x2＝28.
x2＝28不合题意，所以x＝52.
答：原金属片的边长是52 cm.
解：
知1－讲
利用长方体的容积为2880cm3列出方程是解决问题的关键.
知1－讲
例2
〈武汉模拟〉如图，利用一面墙(墙EF最长可利用25米)，围成一个长方形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口(图中MN所示，不用砌墙)，若砌墙的材料长46米，
当长方形花园的一边长BC为多少
米时，围成的长方形花园的面积
为299平方米？
知1－讲
导引：
设BC＝x米，则AB＝ (46－x＋3)米，根据长方形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
知1－讲
设BC＝x米，则AB＝ (46－x＋3)米，
依题意列方程得 (46－x＋3) x＝299，
整理，得x2－49x＋598＝0，
解这个方程，得x1＝26，x2＝23.
∵25＜26，∴x1＝26不符合题意，
∴x＝23.
答：当长方形花园的一边长BC为23米时，围成的
长方形花园的面积为299平方米．
解：
知1－讲
本题考查了一元二次方程的应用，体现了建模思想，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出合适的等量关系列方程求解．注意根据“墙EF最长可利用25米”舍掉不符合题意的解．
知1－练
1
一根水管因使用日久，内壁均匀地形成一层厚3 mm的附着物，而导致流通截面减少至原来的 .求这根水管原来的内壁直径.
知1－练
C
2 (中考·黔西南州)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
知1－练
B
3 一个直角三角形的两条直角边的和是17 cm，面积是30 cm2，则斜边长为( )
A．12 cm B．13 cm
C．14 cm D．15 cm
知1－练
A
4 等腰梯形的面积为160 cm2，上底比高多4 cm，下底比上底多16 cm，则这个梯形的高为( )
A．8 cm B．20 cm
C．8 cm或20 cm D．以上都不对
知2－讲
2
知识点
不规则图形的应用
〈天津〉注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
例3
知2－讲
如图①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何
设计每个彩条的宽度？
知2－讲
导引：
由横、竖彩条的宽度比为2∶3，所以可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm，为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD.
知2－讲
结合以上分析完成填空：
如图②，用含x的代数式表示：
AB＝______________cm；
AD＝______________cm；
长方形ABCD的面积为
__________________cm2；列出方程并完成本题解答．
(20－6x)
(30－4x)
(24x2－260x＋600)
知2－讲
根据题意，得
24x2－260x＋600＝(1－ )×20×30.
整理，得 6x2－65x＋50＝0.
解方程，得x1＝ x2＝10(不合题意，舍去)，
则2x＝ 3x＝
答：每个横、竖彩条的宽度分别为
解：
知2－讲
解决此类题型的方法是先通过平移，再利用面积公式计算．
知2－讲
例4
〈新疆〉如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的长方形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．
导引：
设AB的长度为x米，则BC
的长度为(100－4x)米，然
后根据长方形的面积公式
列出方程求解．
知2－讲
解：
设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．
根据题意得 (100－4x)x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5.
则100－4x＝20或100－4x＝80.
∵80＞25，∴x2＝5舍去．
∴AB＝20米，BC＝20米．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
知2－讲
解决此类问题，建设的图形的面积是列方程的依据，墙长是关键，它决定方程的根的取舍．
知2－练
1 (中考·佛山)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为( )
A．7 m
B．8 m
C．9 m
D．10 m
A
建立一元二次方程解决几何图形问题应注意三点：
一是图形的面积公式是基本的等量关系；
二是利用平移的性质(图形的面积不变)将零散的图形拼聚在一起；
三是取舍根时，注意条件中对图形边长的限制．
请完成《点拨训练》P33-34对应习题。
(共16张PPT)
第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
第3课时 建立可化为一元二次方程的分式方程解实际应用问题
1．(含山月考)某品牌瓶装饮料每箱的价格为26元，某商店对该饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有________瓶．
10
1
应用
营销问题
点拨：
设该品牌饮料一箱有x瓶，由题意，得 ＝0.6，解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10，经检验：x＝10是原分式方程的解．故答案为10.
2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用200元购进甲种水果，用300元购进乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进20 kg，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出 时，出现滞销，他便按原售价的5折
售完剩下的水果．请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
解：设小明的爸爸购进乙种水果x kg，则购进甲种水果(x－20)kg，所以甲种水果的批发价为每千克 元，乙种水果的批发价为每千克 元．根据题意得
＝0.5.
解得x1＝100，x2＝120.
经检验，x1＝100，x2＝120都是原方程的根．
当x＝100时，乙种水果的批发价为每千克 ＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．
当x＝120时，乙种水果的批发价为每千克 ＝2.5(元)，
符合题意；甲种水果的批发价为每千克 ＝2(元)，
也符合题意．
因此，小明的爸爸购进乙种水果120 kg，购进甲种水果120－20＝100(kg)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：(100×
×2.8＋100× ×2.8× ＋120×2.8)－(200＋300)＝88(元)．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了88元．
3．(中考·青海)穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿线甲、乙两城市相距480 km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4 h到达．已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160 km/h.设普通列车的平均行驶速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
2
应用
行程问题
A. ＝4 B. ＝4
C. ＝4 D. ＝4
√
4．某市为处理污水，需要铺设一条长为4 000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时×××××.设原计划每天铺设管道x米，则可得方程
＝20.根据此情境，题中用“×××××”表示的缺失的条件应为( )
3
应用
工程问题
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成任务
√
5．某公司开发生产的1 200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
解：设甲工厂每天能加工x件新产品，
则乙工厂每天能加工(x＋20)件新产品．由题意，
得 ＝10.
解得x＝40或x＝－60(不合题意，舍去)．
经检验：x＝40是所列方程的解．
x＋20＝40＋20＝60.
答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品．
