1．(2019·泰州中考)如图图形中的轴对称图形是( B )
A B C D
2．(2019·徐州中考)下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的是( D )
A B C D
3．下列几何图形不一定是轴对称图形的是( D )
A．线段 B．角
C．等腰三角形 D．直角三角形
4．观察下列用纸折叠成的图案(如图)，其中轴对称图形的个数为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是( D )
A B C D
6．在如图所示的轴对称图形中，有4条对称轴的有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7.下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为( A )
8．画出如图所示的图形的对称轴．
解：如图所示．
9．如图所示，依据你的观察填表．
(1)填表：
几何图形
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
…
对称轴条数
3
4
5
6
…
(2)根据你发现的规律说出正一百边形、正n边形的对称轴的条数．
解：(2)正一百边形有100条对称轴，正n边形有n条对称轴．
10．把图中的某两个小方格涂上阴影，使整个图形是以线段所在直线为对称轴的轴对称图形．
题图 答图
解：如图所示．
课件17张PPT。第五章
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1．下列说法正确的是( D )
A．如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形
B．任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴
C．平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某直线对称
D．如果△ABC和△EFG成轴对称，那么它们的面积一定相等
2.
如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，有下列说法：①点A与点A′的连线被直线l垂直平分；②点B与点B′的连线被直线l垂直平分；③延长BA与B′A′所得的交点在直线l上；④延长BC与B′C′所得的交点在直线l上．其中正确的个数为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( B )
A．AM＝BM
B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP
D．∠ANM＝∠BNM
4．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为( A )
A．4.5 cm B．5.5 cm
C．6.5 cm D．7 cm
5．(2019·江西中考)如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝20°.
6．若直角三角形是轴对称图形，则其三个内角的度数分别为45°，45°，90°.
7．请画出下面图案的对称轴．
题图 答图
解：如图所示．
8．如图所示，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点．P1P2交OA于点C，交OB于点D，若P1P2＝8 cm，问△PCD的周长为多少？
解：因为点P，P1关于OA对称，所以OA垂直平分PP1，
所以P1C＝PC.
因为点P，P2关于OB对称，所以OB垂直平分PP2，
所以P2D＝PD.
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝P1C＋P2D＋CD＝P1P2＝8 cm.
9．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
题图 答图
解：(1)如图，连接B′B″.
作直线EF垂直平分B′B″.
则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴．
(2)如图，连接B′O.
因为△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
所以∠BOM＝∠B′OM.
又因为△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，
所以∠B′OE＝∠B″OE.
所以∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2∠EOM＝2α，
即∠BOB″＝2α.
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探索轴对称的性质课
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1．(2019·宁夏中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为( C )
A．40° B．45° C．55° D．70°
2．如图，点D，E为△ABC的边BC上的点，且满足DA＝DB，EA＝EC，若∠B＝30°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为( C )
A．36° B．38° C．40° D．42°
3．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为( A )
A．60° B．45° C．40° D．30°
4．(2019·成都中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为9.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于点E，交AC于点D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数．
解：因为AB＝AC，M是边BC的中点，
所以∠AMB＝90°，∠BAM＝∠CAM.
因为∠BEM＝∠AED＝64°，
所以∠EBM＝26°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABC＝2∠EBM＝52°，
所以∠BAM＝90°－∠ABM＝38°，
所以∠BAC＝∠BAM＋∠CAM＝2∠BAM＝76°.
6．已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
解：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以AD⊥BC，∠ADC＝90°.
因为∠BAC＝80°，
所以∠DAE＝∠BAC＝40°，
因为AD＝AE，
所以∠ADE＝∠AED＝＝＝70°，
所以∠EDC＝90°－70°＝20°.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
解：因为在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
所以∠ABC＝∠ACB＝×(180°－80°)＝50°.
因为∠ABD＝20°，
所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝30°.
因为BD＝DE，
所以∠E＝∠DBC＝30°，
所以∠CDE＝180°－∠DCE－∠E＝∠ACB－∠E＝20°.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.
试说明：BD＝2CE.
题图 答图
解：如图，分别延长BA，CE交于点F.
因为BE⊥CF，所以∠BEC＝∠BEF＝90°.
因为∠1＝∠2，BE⊥CF，所以EF＝EC＝CF.
又因为∠BAC＝90°，BE⊥CF，所以∠1＋∠F＝90°，
因为∠1＋∠BDA＝90°.所以∠F＝∠BDA.
在△BDA和△CFA中，
∠BAD＝∠CAF＝90°，∠BDA＝∠F，AB＝AC，
所以△BDA≌△CFA(AAS)，
所以BD＝CF，所以BD＝2CE.
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练3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质课
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1．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为( D )
A．90° B．95° C．100° D．105°
2．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( A )
A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm
3．如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是( C )
A．45° B．60° C．50° D．55°
第3题图 第4题图
4．(2019·南充中考)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B )
A．8 B．11 C．16 D．17
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图．因为∠C＝90°，∠EBC＝40°，
所以∠BEC＝50°.
又因为ED是AB的中垂线，
所以ED⊥AB，AE＝BE，
所以∠A＝∠EBA，
因为∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，∠AEB＋∠BEC＝180°，
所以∠BEC＝∠A＋∠EBA.
所以∠BEC＝2∠A＝50°，
所以∠A＝25°，
因为ED⊥AB，所以∠EDB＝90°，
所以∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
6．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．
题图 答图
解：连接BD，如图．
因为E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
所以AD＝BD，所以∠DBA＝∠A，
因为∠A＝66°，所以∠DBA＝66°，
因为∠ABC＝90°，所以∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝24°.
因为AD＝BC，AD＝BD，所以BD＝BC，
所以∠C＝∠BDC，
所以∠C＝＝78°.
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
(1)若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
(2)若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
解：(1)因为EF垂直平分AC，
所以AE＝CE，
所以∠C＝∠EAC＝40°.
因为AD⊥BC，BD＝DE，
所以AB＝AE，
所以∠B＝∠BEA＝180°－∠AEC＝∠C＋∠EAC＝2∠C＝80°，
所以∠BAD＝90°－80°＝10°.
(2)由(1)知AE＝EC＝AB.
因为BD＝DE，
所以AB＋BD＝DE＋AE＝DE＋CE＝DC，
所以△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2DC＋AC＝2×4＋5＝13.
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
试说明：(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD.
解：(1)因为AD∥BC，
所以∠D＝∠ECF.
因为E为CD的中点，所以DE＝CE.
又因为∠AED＝∠FEC，
所以△ADE≌△FCE(ASA)．所以AD＝FC.
(2)由(1)知△ADE≌△FCE，所以AE＝FE.
又因为BE⊥AE，所以AB＝FB(线段垂直平分线的性质)．
又因为CF＝AD，所以AB＝BC＋AD(等量代换)．
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练3 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质课
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1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( C )
A．8 B．6 C．4 D．2
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3．如图，已知MP⊥OP于点P，MQ⊥OQ于点Q，OM平分∠POQ，S△POM＝6 cm2，OP＝3 cm，则MQ＝4 cm.
4．如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要在△ABC内建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有1处．
5．在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方的指挥部P设在S区．到公路a与公路b的距离相等，并且到水井M与小树N的距离也相等，请你帮助侦查员在图上标出蓝方指挥部P的位置．(写出作法，保留作图痕迹)
题图 答图
解：如图所示．
①作公路a与公路b的交角AOB的平分线OC，
②连接MN，作线段MN的中垂直平分线EF，
EF和OC的交点P就是所求的点．
6．(2020·辽源模拟)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．
解：因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
所以DF＝DE＝2.
又因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝4，
所以7＝×4×2＋×AC×2，
所以AC＝3.
7．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图(1)，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.
(1)如图(2)，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
(2)如图(3)，当AD为∠FAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
解：(1)猜想：AB＝AC＋CD.
(2)猜想：AB＋AC＝CD.
证明：如图所示，在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED.
因为AD平分∠FAC，
所以∠EAD＝∠CAD.
在△EAD与△CAD中，AE＝AC，
∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
所以△EAD≌△CAD，
所以ED＝CD，∠AED＝∠ACD.
因为∠AED＋∠FED＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，
所以∠FED＝∠ACB.又∠ACB＝2∠B，
∠FED＝180°－∠BED＝∠B＋∠EDB，
所以∠EDB＝∠B，所以EB＝ED，
所以EA＋AB＝EB＝ED＝CD，所以AC＋AB＝CD.
课件15张PPT。第五章
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练3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质课
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1．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用轴对称知识的是( C )
A B C D
2．如图所示，将一张长与宽之比为2∶1的长方形纸片按照如图(1)(2)所示的方式对折，然后沿图(3)中的虚线裁剪，得到图(4)，最后将图(4)的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( A )
3．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( D )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
4．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小正方形中选出一个也涂成黑色，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有( C )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．将图(1)中的等边三角形ABC沿对称轴对折，得到图(2)，再按图(3)所示方式沿虚线剪掉一个45°的角，展开铺平后得到如图(4)所示的形状(AD为折痕)，则∠ADB＝135°.
6．图①和图②均为正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；
(2)每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．
图① 图②
解：(1)如图①、图②所示，四边形ABCD和四边形ABDC即为所求；
(2)如图①，四边形ABCD的面积为2×4＝8；
如图②，四边形ABDC的面积为×2×(2＋4)＝6.
图① 图②
7．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在以下各图中，分别画出一个与该三角形轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．(注：至少画出四种且不能重复)
解：如图．
课件16张PPT。第五章
生活中的轴对称 课
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练4
利用轴对称进行设计课
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Thanks! 专题训练(六) 轴对称图形的相关性质及应用
考查角度(一) 轴对称图形
1．在以下图标中，是轴对称图形的是( C )
2．(2019·铁岭中考)下面四个图形中，属于轴对称图形的是( C )
A B C D
考查角度(二) 等腰三角形
3．已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是( B )
A．55°，55° B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对
4．(2019·兰州中考)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝70°.
5．如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝1，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是2.
6．如图，在△ABC中，AD，CE分别是边BC，AB上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB.
(1)试判断BG与FB之间的数量关系，并说明理由；
(2)求∠FBG的度数．
解：(1)BG＝FB.理由如下：
因为AD，CE分别是边BC，AB上的高，
所以∠BAD＋∠AFE＝∠BCF＋∠CFD＝90°，
又因为∠AFE＝∠CFD，
所以∠BAD＝∠BCF.
在△ABG和△CFB中，
所以△ABG≌△CFB(SAS)，所以BG＝FB.
(2)由(1)知△ABG≌△CFB，所以∠G＝∠FBD，
因为∠G＋∠DBG＝90°，
所以∠FBG＝∠FBD＋∠DBG＝90°，
即∠FBG为90°.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B的度数．
解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
同理，∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA.
设∠B为x°，则∠C＝x°，∠BAD＝x°.
所以∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－(180°－2∠B)＝2∠B＝2x°.
所以∠CAD＝2x°.
在△ADC中，因为∠C＋∠CAD＋∠ADC＝180°，
所以x°＋2x°＋2x°＝180°.
所以x°＝36°.即∠B＝36°.
8．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°；
故∠B＝50°或20°或80°；
(2)分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
所以∠B的度数只有一个；
②当0若∠A为顶角，则∠B＝°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0考查角度(三) 线段垂直平分线与角平分线的性质
9．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠BAC的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定P点的方法正确的是( B )
A．P是∠BAC与∠ABC两角平分线的交点
B．P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
10．如图所示，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM＝DN，∠BMD＋∠BND＝180°.试说明：BD平分∠ABC.
解：如图所示，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足为E，F.
因为DE⊥BA，DF⊥BC，
所以∠DEM＝∠DFN＝90°.
因为∠BMD＋∠BND＝180°，
∠BMD＋∠DME＝180°，
所以∠DME＝∠DNF.
因为DM＝DN.
所以△DEM≌△DFN(AAS)，所以DE＝DF.
所以BD平分∠ABC.
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG，EF.
(1)试说明：BG＝CF；
(2)请你判断BE＋CF与EF的大小，并说明理由．
解：(1)因为BG∥AC，
所以∠DBG＝∠DCF，
因为D为BC的中点，
所以BD＝CD.
在△BGD和△CFD中，
所以△BGD≌△CFD(ASA)，所以BG＝CF.
(2)BE＋CF>EF.理由如下：
由(1)知△BGD≌△CFD，所以GD＝FD，
又因为DE⊥DF，所以ED垂直平分GF，
所以GE＝EF.
又因为在△EBG中，BE＋BG＞EG，所以BE＋CF＞EF.
12．如图所示，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.
(1)试说明∠AEB＝∠ABE；
(2)若∠A＝100°，求∠EBC的度数．
解：(1)因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBC.
由题意知BE是∠ABC的平分线，所以∠EBC＝∠ABE，
所以∠AEB＝∠ABE.
(2)由∠A＝100°，∠ABE＝∠AEB，
得∠ABE＝∠AEB＝40°.
由AD∥BC，得∠EBC＝∠AEB＝40°.
13．如图所示，根据图形解答下列各题．
(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，ME和NF分别垂直平分AB和AC，垂足分别为E，F，则∠MAN的度数为20度；
(2)在(1)中，若无AB＝AC的条件，则能求出∠MAN的度数吗？
(3)在(2)的情况下，若BC＝10 cm，则△AMN的周长为多少？
解：(2)能．
因为ME垂直平分AB.
所以MA＝MB，
所以∠B＝∠BAM.
同理，NA＝NC，∠C＝∠NAC.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
所以∠B＋∠C＝80°.
所以∠BAM＋∠NAC＝80°，
所以∠MAN＝∠BAC－(∠BAM＋∠NAC)＝100°－80°＝20°.
(3)由(2)知MA＝MB，NA＝NC，
所以AM＋AN＋MN＝BM＋NC＋MN＝BC＝10 cm，
所以△AMN的周长为10 cm.
专题训练(七) 设计轴对称图案
1．如图，在2×2的正方形格纸中，△ABC是以格点为顶点的三角形也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中找出与△ABC成轴对称的格点三角形(用阴影描出3个即可)．
解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图．(答案不唯一)
2．用四块如图所示的两色正方形瓷砖，拼成一个新的正方形，使拼成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法．
解：根据轴对称要求，设计出利用两色瓷砖拼成的正方形如图所示(答案不唯一)．
3．如图①，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图②、图③中画出两种不同的拼法．
图① 图② 图③
解：如图(答案不唯一)．
4．如图，有六个正六边形，在每个正六边形里有六个顶点，要求用两个顶点连线(即正六边形的对角线)将正六边形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分开．最后形成轴对称图形，图中已画出三个，请你继续画出三个不同的轴对称图形(至少用两条对角线)．
解：如图所示(答案不唯一)．
5.如图是由两个全等的小正方形组成的图形，请你在图中补画两个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解：如图所示(答案不唯一)．
6．利用1个等腰三角形、2个长方形、3个圆，可以构造出许多独特且有意义的轴对称图形，如图已给出四幅图，你能再构思出一些轴对称图形吗(画出3个即可)？别忘了加一两句贴切、有创意的解说词．
解：如图所示(答案不唯一)．
7．以给出的图形“??，△△，,”(两个圆、两个三角形、两条平行线)为构件，设计一个构思独特且有意义的轴对称图形．举例：如图①是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在图②中画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切的解说词．
解：能；如图(答案不唯一)．
8．将一个正方形按下列要求割成4块：
(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形；
(2)所分得的4块图形是全等图形．
请你按照上述两个要求，分别在图①，②，③中的正方形中画出3种不同的分割方法．(不写画法)
解：如图(答案不唯一)．
第五章评估测试卷
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分)
1．(2019·深圳中考)下列图形中是轴对称图形的是( A )
2．(2019·梧州中考)如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是( B )
A．12 B．13 C．14 D．15
3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB的两边距离相等的点应是( A )
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
4．如图所示，△ABC中，AB＋BC＝10，A，C关于直线DE对称，则△BCD的周长是( C )
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
5．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是( A )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为( C )
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，垂足为点E，下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
8．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( B )
A．20 B．17 C．14 D．7
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是( D )
A．9 B．8 C．7 D．6
10．如图所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下列结论错误的是( B )
A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为图中符合设计要求的图案是②③④.(将所有符合设计要求的图案的序号都填上)
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为20.
13．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数等于120°.
14．如图，点O是△ABC内的一点，且点到三边AB，BC，CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为129°.
15．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8.对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为8.
16．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是22cm.
三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)
17．把如图所示的图形补画成轴对称图形．
解：如图所示．
18．如图所示，某市的牛奶加工厂P恰好在两条铁路OA，OB的夹角内部，为了提高牛奶的销量，经理决定在这两条铁路沿线上各建一个转运站M，N，加工厂的运货车每天从加工厂P向转运站M，N运送成品牛奶．问转运站M，N应建在何处，能够使运货车以最短的路程回到加工厂P？(简要写出作图过程)
解：根据线段的垂直平分线的性质可作点P关于OA的对称点P′，作点P关于OB的对称点P″，连接P′P″，交OA于点N，交OB于点M，则M，N即为所求的转运站．如图所示．
19.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
解：因为AB＝AC，AE平分∠BAC，
所以AE⊥BC(三线合一)，
所以∠AEC＝90°.因为∠ADC＝125°，所以∠CDE＝55°.
在直角三角形CDE中，∠ECD＝90°－∠CDE＝90°－55°＝35°.
因为CD平分∠ACB，所以∠ACB＝2∠ECD＝70°.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝70°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－70°－70°＝40°，
所以∠ACB＝70°，∠BAC＝40°.
四、(每小题8分，共16分)
20．如图，△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，DE⊥AB.
(1)求证：∠BAC＝2∠EDB；
(2)若AC＝4，DE＝3，求△ABC的面积．
解：(1)证明：因为AC＝AB，D为BC中点，所以CD＝BD，
所以∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°，所以∠DAB＋∠B＝90°.
所以∠DEB＝90°，所以∠B＋∠EDB＝90°，
所以∠EDB＝∠DAB＝∠DAC，
所以∠BAC＝2∠EDB.
(2)因为AB＝AC＝4，DE＝3，所以S△ABD＝6，
因为D为边BC的中点，所以S△ACD＝6，
所以S△ABC＝12.
21．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.
证明：如右图所示，
因为BD＝DC，所以∠3＝∠4，
又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠ABC＝∠ACB，所以△ABC是等腰三角形，
所以AB＝AC，
在△ABD和△ACD中，
所以△ABD≌△ACD(SAS)，
所以∠BAD＝∠CAD，
所以AD平分∠BAC.
五、(本题10分)
22．如图，在△ABC中，OE，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．
解：连接AO.
因为OE是AB的中垂线，所以OB＝OA.同理OC＝OA.
所以OC＝OB，∠ABO＝∠BAO＝20°，∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.
因为∠ABC＝45°，∠ABO＝20°，所以∠CBO＝∠BCO＝25°.
因为三角形的内角和为180°，所以∠ABO＋∠OBC＋∠OAC＝90°，
所以∠OAC＝45°.所以∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝65°，∠ACB＝∠BCO＋∠ACO＝70°.
六、(本题10分)
23．(2019·重庆中考)如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
解：(1)因为AB＝AC，AD⊥BC于点D，
所以∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，所以∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
(2)证明：由(1)知∠BAD＝∠CAD，
因为EF∥AC，所以∠F＝∠CAD，
所以∠BAD＝∠F，所以AE＝FE.
七、(本题12分)
24．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：(1)因为DM，EN分别垂直平分AC和BC，所以AM＝CM，BN＝CN，
所以△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
因为△CMN的周长为15 cm，所以AB＝15 cm.
(2)因为∠MFN＝70°，所以∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°，
因为∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
所以∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°，
所以∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°，
因为AM＝CM，BN＝CN，所以∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
所以∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－[(180°－∠AMC)＋(180°－∠CNB)]＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.
八、(本题12分)
25．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，BD平分∠ABC.
(1)如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
(2)问题解决：如图2，求证AD＝CD；
(3)问题拓展：如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD＋AD＝BC.
解：(2)证明：如图1，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F.
因为BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，所以DE＝DF，
因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，所以∠DAE＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
所以△DEA≌△DFC(AAS)，所以AD＝CD.
(3)证明：如图2，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
因为AB＝AC，∠BAC＝100°，所以∠ABC＝∠C＝40°.
因为BD平分∠ABC，所以∠DBK＝∠ABC＝20°.
因为BD＝BK，所以∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A＋∠BKD＝180°，
由(2)的结论得AD＝DK，
因为∠BKD＝180°－∠DKC＝∠C＋∠KDC，
所以∠KDC＝∠C＝40°，所以DK＝CK，
所以AD＝DK＝CK，所以BD＋AD＝BK＋CK＝BC.
