1．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为( C )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若∠A＝150°，则∠A的补角的余角等于( C )
A．50° B．90° C．60° D．30°
3．下列说法中正确的有( C )
①一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；
②同角的余角相等；
③若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补；
④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(2020·长春模拟)如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝90°，则∠BOC的度数是( C )
A．100° B．115° C．135° D．145°
5．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是( D )
A．20° B．35° C．45° D．55°
6．如图所示，A，O，E三点在同一条直线上，∠AOB＝∠COD＝90°，如果∠1＝30°，那么∠2＝30°，∠3＝60°，∠1的余角是∠4，∠3，和∠1相等的角是∠2.
7．若∠A的余角是55°，则∠A的补角的度数为145°.
8．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，
∠AOD＝150°，∠DOE＝80°，则
∠AOF＝50°.
9．将一副三角板如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为160°.
10．根据下图填空：
2条直线相交于一点对顶角有2对；
3条直线相交于一点对顶角有6对；
4条直线相交于一点对顶角有12对；
n条直线相交于一点对顶角有n2－n对(用含n的式子表示)．
11．(1)已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角；
(2)如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，若∠COF＝26°，求∠BOD的度数．
解：(1)设这个角为x，则180°－x＋10°＝3(90°－x)，解得x＝40°，90°－40°＝50°.所以这个角的余角为50°.
(2)因为∠COE＝90°，∠COF＝26°，
所以∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－26°＝64°，
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOE＝2∠EOF＝2×64°＝128°，
所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝128°－90°＝38°，
所以∠BOD＝∠AOC＝38°.
12．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝90°，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°(包含∠COD在内)，求∠COD的度数．
解：因为∠EOF＝170°，
所以∠AOB＋∠AOE＋∠BOF＝360°－∠EOF.
因为∠AOB＝90°，
所以90°＋∠AOE＋∠BOF＝360°－170°，
即∠AOE＋∠BOF＝100°.
因为OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，
所以∠DOE＝∠AOE，∠COF＝∠BOF，
所以∠DOE＋∠COF＝∠AOE＋∠BOF＝100°，
所以∠COD＝∠EOF－∠DOE－∠COF＝170°－100°＝70°.
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相交线与平行线课
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练1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、补角、余角课
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1．如图，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是( C )
A．过两点只有一条直线
B．过一点只能作一条直线
C．经过一点只有一条直线垂直于已知直线
D．垂线段最短
2．(2019·常州中考)如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( B )
A．线段PA B．线段PB
C．线段PC D．线段PD
3．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( A )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
4．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( D )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝70°，则∠AOF等于( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE＝40°，求∠BOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠AOE＋∠AOC＝90°，
因为∠AOE＝40°，
所以∠AOC＝90°－∠AOE＝90°－40°＝50°，
所以∠BOD＝∠AOC＝50°，
因为OF平分∠BOD，
所以∠BOF＝∠BOD＝×50°＝25°.
7．如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
(1)请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
(2)请比较(1)中线段a，b的大小，并说明理由．
题图 答图
解：(1)连接MN，过N作NE⊥AB，如图．
(2)a＞b.理由：
由垂线段最短，得MN＞NE，
即a＞b.
8．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系；
(2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°)，(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？
解：(1)由补角的定义，可得∠AOC＝180°－∠BOC＝130°.由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC可得∠COF＝∠BOC＝25°，∠COE＝∠AOC＝65°，所以∠EOF＝∠COF＋∠COE＝90°，所以OE⊥OF.
(2)OE⊥OF仍成立．理由：
因为∠AOC＝180°－α，∠COF＝α，
∠COE＝(180°－α)＝90°－α，
所以∠EOF＝∠COF＋∠COE＝α＋＝90°.
由此可发现：无论∠BOC的度数是多少，∠EOF总等于90°.
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练1 两条直线的位置关系
第2课时 两直线垂直及垂线段的性质课
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1．(2019·河池中考)如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是( D )
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．如图所示，如果∠D＝∠EFC，那么( D )
A．AD∥BC B．EF∥BC
C．AB∥DC D．AD∥EF
3．下列各图中，能够由∠1＝∠2得到AB∥CD的是( B )
4．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.试证明：
b∥c.请完成以下证明．
证明：因为∠1＝∠2，
所以a∥b(同位角相等，两直线平行)，
又因为∠3＝∠4，
所以a∥c(同位角相等，两直线平行)．
所以b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行)．
5．如图所示，能与∠1构成同位角的角有3个．
6.如图，∠A的同位角有哪些，它们各是哪两条直线被哪一条直线截得的？
(1)∠A与∠EBD是直线AC，BD被直线AE截成的同位角；
(2)∠A与∠EBC是直线AC，BC被直线AE截成的同位角；
(3)∠A与∠BCF是直线AB，BC被直线AC截成的同位角．
7．如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3.BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF.理由如下：
因为AB⊥BC，
所以∠ABC＝90°，
即∠3＋∠4＝90°.
又因为∠1＋∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
所以∠1＝∠4.
理由是：等角的余角相等．
所以BE∥DF.
理由是：同位角相等，两直线平行．
8．如图，已知直线AB，BC，CD，DA相交于A，B，C，D四点，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°.
求证：(1)AB∥CD；
(2)AD∥BC.
证明：(1)因为∠2＋∠3＝180°(已知)，∠2＋∠6＝180°(补角定义)，所以∠3＝∠6，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(2)因为∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠4(对顶角相等)，
所以∠1＝∠4，所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
9．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＋∠ADC＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
解：BE∥DF.理由如下：
因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
所以∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC(角平分线的定义)．
因为∠ABC＋∠ADC＝180°，
所以∠2＋∠4＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°，
因为∠4＋∠DFC＝90°，
所以∠2＝∠DFC，所以BE∥DF.
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练2 探索直线平行的条件
第1课时 探索直线平行的条件(1)课
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1．如图，点D，E分别为三角形ABC边BC，AC上一点，作射线DE，则下列说法错误的是( D )
A．∠1与∠3是对顶角
B．∠2与∠A是同位角
C．∠2与∠C是同旁内角
D．∠1与∠4是内错角
2．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( B )
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
3．(2019·南京中考)结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：因为∠1＋∠3＝180°，所以a∥b.
4．如图，∠1＝∠2，需增加条件∠FAD＝∠EDA(答案不唯一)可以使得AB∥CD(只写一种)．
5．如图，下列条件中：
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
则一定能判定AB∥CD的条件有①③④(填写所有正确的序号)．
6．如图，在横线上填空，并在括号内填写理由．
因为∠ADE＝∠DEF(已知)，
所以AD∥EF(内错角相等，两直线平行)．
因为∠EFC＋∠C＝180°(已知)，
所以EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
所以AD∥BC(平行于同一条直线的两条直线平行)．
7．已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G.求证：AB∥CD.
证明：因为BE⊥FD，
所以∠EGD＝90°，
因为∠1＝∠C，
所以FC∥BE，
所以∠CFD＝∠EGD＝90°，
因为∠2和∠D互余，即∠2＋∠D＝90°，
所以∠2＋∠CFD＋∠D＝∠AFD＋∠D＝180°，
所以AB∥CD.
8．如图，已知DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠ADC＝∠ABC，∠1＝∠2.试说明AB∥CD.
解：因为DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，
所以∠CDE＝∠ADC，
∠2＝∠ABC.
因为∠ADC＝∠ABC，所以∠CDE＝∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠CDE＝∠1.
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
9．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下：
因为∠1＝50°，∠2＝50°，
所以∠1＝∠2.
所以OB∥AC.
因为∠2＝50°，∠3＝130°，
所以∠2＋∠3＝180°.
所以OA∥BC.
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练2 探索直线平行的条件
第2课时 探索直线平行的条件(2)课
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1．如图所示，已知AB∥CD，下列结论正确的是( C )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
2．(2019·宜昌中考)如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于( C )
A．45° B．60°
C．75° D．85°
第2题图 第3题图
3．如图所示，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝105°.
4．如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，∠2＝55°，则∠3的度数为55°.
第4题图 第5题图
5．如图所示，已知AB∥CD，再添加一个条件：∠E＝∠F(答案不唯一) ，可使∠1＝∠2.
6．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．
题图 答图
解：如图，因为直线AB∥CD，所以∠1＝∠3.
因为∠1＝54°，所以∠3＝54°.
因为BC平分∠ABD，所以∠ABD＝2∠3＝108°.
因为AB∥CD，所以∠BDC＝180°－∠ABD＝72°，
所以∠2＝∠BDC＝72°.
7．如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
解：∠AED＝∠ACB.
理由：因为∠1＋∠DFE＝180°(补角的性质)，
∠1＋∠2＝180°(已知)，
所以∠2＝∠DFE，
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)，
所以∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)．
因为∠3＝∠B(已知)，
所以∠ADE＝∠B(等量代换)，
所以DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，
所以∠AED＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
8．已知，直线AB∥CD，E为AB，CD间的一点，连接EA，EC.
(1)如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，求∠AEC的大小；
(2)如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，求∠AEC的大小；
(3)如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
① ② ③
解：如图①②③，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥CD∥EF.
(1)因为∠A＝20°，∠C＝40°，
所以∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝60°.
(2)所以∠1＋∠A＝180°，∠2＋∠C＝180°，
因为∠A＝x°，∠C＝y°，
所以∠1＋∠2＋x°＋y°＝360°，
所以∠1＋∠2＝360°－x°－y°，
即∠AEC＝360°－x°－y°.
(3)∠A＝α，∠C＝β，
所以∠1＋∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，
所以∠1＝180°－∠A＝180°－α，
所以∠AEC＝∠1＋∠2＝180°－α＋β.
① ② ③
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相交线与平行线 课
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练3
平行线的性质课
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1．有下列画图语句：
①画出线段A，B的中点；②画出A，B两点间的距离；③延长射线OP；④连接A，B两点，其中正确的个数是( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形(1)；乙同学读语句“两条线段AB，CD相交于点P”画出图形(2)；丙同学读语句“点P在直线l上，点Q在直线l外”画出图形(3)；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB的反向延长线上”画出图形(4)．其中画的不正确的是( D )
(1) (2)
(3) (4)
A．甲同学 B．乙同学
C．丙同学 D．丁同学
3．如图，已知线段a，b.请作一条线段AB，使它等于a－b.
题图 答图
解：作法：①作射线AC；
②以点A为圆心，以a为半径作弧，交AC于点B；
③以点B为圆心，在线段AB上，以b为半径作弧，交AB于点D，如图所示，线段AD就是所求作的线段．
4．如图，以点O为圆心，以r为半径作弧交直线AB于点C，D.
题图 答图
解：如图所示．
5．如图所示，已知∠α，求作∠AOC，使∠AOC等于∠α的补角．
题图 答图
解：作法：(1)作∠AOB＝∠α；
(2)反向延长射线OB，如图所示，∠AOC就是所求作的角．
6．如图，要在长方形的木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.请过点C画出与AB平行的另一条边．
题图 答图
解：作法：如图，①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点G；②以点C为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点F；③以点F为圆心，GE的长为半径画弧，交前弧于点H；④过点H作射线CH交BD于点D，得到线段CD.则线段CD即为所求作的与AB平行的另一条边．
7．如图，已知两点A，B.
①画线段AB；②延长线段AB到点C，使BC＝AB；③反向延长线段AB到点D，使DA＝2AB.
(1)画出符合要求的图形；
(2)请问A，B分别是哪两条线段的中点？并说明理由；
(3)若已知线段AB的长度是2 cm，求线段CD的长度．
解：(1)如图．
(2)A是线段DC的中点，B是线段AC的中点．理由如下：
因为BC＝AB，
所以B是线段AC的中点，
所以AC＝2AB，
又DA＝2AB，
所以A是线段DC的中点．
(3)因为AB的长度是2 cm，
所以CD＝4AB＝4×2＝8(cm)．
8．如图，已知∠AOB＝α，以P为顶点，PC为一边作∠CPD＝α，并用移动三角尺的方法验证PC与OB，PD与OA是否平行．
题图 答图
解：∠CPD＝∠AOB＝α，有两解，如图所示．用三角尺平移可以验证得PC∥OB，但PD与OA不一定平行．
课件17张PPT。第二章
相交线与平行线 课
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练4
用尺规作角课
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Thanks! 专题训练(二) 角与平行线
考查角度(一) 余角与补角
1．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1＝50°，则∠3等于( A )
A．50° B．130°
C．40° D．140°
2．如图，O是直线AC上一点，OA是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠EOC＝90°.
(1)求∠DOE的度数；
(2)哪些角与∠AOD互为余角？
(3)互为补角的角有几对？
解：(1)因为∠BOE＝∠EOC，
∠EOC＝90°，
所以∠BOE＝×90°＝30°.
所以∠AOB＝90°－30°＝60°.
由OD平分∠AOB，得∠AOD＝∠DOB＝30°，所以∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝60°.
(2)因为∠AOD＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，所以∠AOB，∠DOE与∠AOD互为余角．
(3)因为∠AOD＋∠DOC＝180°，∠AOB＋∠BOC＝180°，∠AOE＋∠EOC＝180°，∠BOD＋∠DOC＝180°，∠BOE＋∠DOC＝180°，∠DOE＋∠BOC＝180°，所以互为补角的角有6对．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
解：(1)因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC和∠BOD与∠AOD互补．
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠EOF.
因为OF⊥CD，
所以∠COF＝∠DOF＝90°.
所以∠DOE＝∠AOC，所以∠DOE也是∠AOD的补角．
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠AOE＝60°.
因为OF⊥CD，
所以∠COF＝90°.
所以∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－60°＝30°.
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠BOD＝∠AOC＝30°.
考查角度(二) 求角的度数
4．如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝100°，∠AOC＝30°，∠FOB＝75°，求∠EOF的度数．
解：因为∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝∠AOC＝30°.
因为∠DOE＝100°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝70°.
因为∠FOB＝75°，
所以∠EOF＝∠FOB＋∠BOE＝75°＋70°＝145°.
5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOD＝2∶1.
求：(1)∠DOE的度数；
(2)∠AOF的度数．
解：(1)因为∠AOD∶∠BOD＝2∶1，
∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠BOD＝×180°＝60°.
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD＝×60°＝30°.
(2)由(1)，知∠COE＝180°－∠DOE＝180°－30°＝150°.
因为OF平分∠COE，
所以∠COF＝∠COE＝×150°＝75°.
因为∠AOC＝∠BOD＝60°，
所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝60°＋75°＝135°.
6．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB＝x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC＝180°－x°.
由题意，得－＝40，
即180－x－x＝80.
解得x＝50.
故∠AOB＝50°，∠AOC＝130°.
考查角度(三) 平行线的性质与判定
7．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠D＝72°，则∠C的度数为( A )
A．36° B．72°
C．108° D．144°
8．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( B )
A．65° B．115°
C．125° D．130°
9．(2019·鞍山中考)如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为( D )
A．50° B．55°
C．60° D．65°
10．如图，已知B，C，E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝105°，∠B＝40°，则∠ACE为( D )
A．35° B．40°
C．105° D．145°
11．如图，要证明AD∥BC，只需要知道∠B＝∠EAD.
12．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝140°.
13．(1)请在横线上填写合适的内容，完成下面解题过程：
如图1，AB∥CD.试说明：∠APC＝∠A＋∠C.
解：过点P作PM∥AB.
所以∠A＝∠APM，(两直线平行，内错角相等)
因为PM∥AB，AB∥CD，(已知)
所以PM∥CD，
所以∠C＝∠CPM.(两直线平行，内错角相等)
因为∠APC＝∠APM＋∠CPM，
所以∠APC＝∠A＋∠C.(等量代换)
(2)如图2，AB∥CD，根据上面的推理方法，求∠A＋∠P＋∠Q＋∠C的度数；
(3)如图3，AB∥CD，若∠B＝x，∠BPQ＝y，∠PQC＝z，∠C＝m，求m的值．(用x，y，z表示)
解：(2)如图，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，
则∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CQF＝180°，
又因为AB∥CD，所以PE∥QF，
所以∠EPQ＋∠FQP＝180°，
所以∠A＋∠APQ＋∠CQP＋∠C＝∠A＋∠APE＋∠EPQ＋∠FQP＋∠CQF＋∠C＝540°，即∠A＋∠P＋∠Q＋∠C＝540°.
(3)如图，过点P作PG∥AB，过点Q作QH∥CD，
因为AB∥CD，所以AB∥PG∥QH∥CD，
所以∠B＝∠BPG，∠C＝∠CQH，∠QPG＝∠PQH，
又因为∠QPG＝∠BPQ－∠BPG，
∠PQH＝∠PQC－∠CQH，
所以∠BPQ－∠B＝∠PQC－∠C，即y－x＝z－m，
所以m＝x－y＋z.
第二章评估测试卷
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分)
1．如图，有一个破损的扇形零件，小明利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为50°，你认为小明测量的依据是( B )
A．垂线段最短 B．对顶角相等
C．圆的定义 D．三角形内角和等于180°
2．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( B )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
3．如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数为( C )
A．115° B．120° C．125° D．135°
4．如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是( D )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5 D．∠2＝∠3
5．如图，将直角三角尺的直角顶点落在直尺上，且斜边与直尺平行，那么在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是( B )
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠C＝∠CBE D．∠C＋∠ABC＝180°
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15.5°，则下列结论不正确的是( D )
A．∠2＝45° B．∠1＝∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75.5°
8．如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为( B )
A．120° B．100° C．140° D．90°
9．如图，AB∥CD，EF平分∠AEG，若∠FGE＝40°，那么∠EFG的度数为( C )
A．35° B．40° C．70° D．140°
10．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能( C )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．相等且互补
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
12．如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC＝110°，则∠AON的度数为145度．
13．如图，∠BDE的同位角是∠BGC，∠BDE的内错角是∠FGD，∠BDE的同旁内角是∠DGC，∠ADE与∠DGC是两条直线ED和CF被直线AB所截成的同位角．
14．如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上，若∠2＝50°，则∠1的大小是50°.
15．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1＝75°，则∠2的度数为15°.
16．如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的∠A是120°，第二次拐弯的∠B是150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好与拐弯前的道路平行，则∠C等于150°.
三、解答题(第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分)
17．完成下列证明：如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2.求证：DG∥BA.
证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
所以∠EFB＝90°，∠ADB＝90°(垂直的定义)，
所以∠EFB＝∠ADB(等量代换)，
所以EF∥AD(同位角相等，两直线平行)，
所以∠1＝∠BAD(两直线平行，同位角相等)，
又∠1＝∠2(已知)，
所以∠BAD＝∠2(等量代换)，
所以DG∥BA(内错角相等，两直线平行)．
18．如图，a∥b∥c，∠1＝40°，∠2＝100°，BD平分∠ABC，求∠DBE的度数．
解：因为a∥b，所以∠ABE＝∠1＝40°.
因为b∥c，所以∠EBC＋∠2＝180°.
因为∠2＝100°，所以∠EBC＝80°.
所以∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝40°＋80°＝120°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠DBC＝∠ABC＝60°，
所以∠DBE＝∠EBC－∠DBC＝80°－60°＝20°.
19．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，求证：∠1＝∠2.
证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
所以∠BDA＝90°，∠BFE＝90°，所以∠BDA＝∠BFE，
所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)，
所以∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等)，
又∠3＝∠C(已知)，
所以AC∥DG(同位角相等，两直线平行)，
所以∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)，
所以∠1＝∠2(等量代换)．
四、(每小题8分，共16分)
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠DOE＝3∠COE，求∠AOD的度数．
解：因为∠DOE＋∠COE＝180°，且∠DOE＝3∠COE，
所以∠COE＝45°，所以∠BOC＝90°＋45°＝135°，
所以∠AOD＝∠BOC＝135°(对顶角相等)．
21．(2020·四平模拟)如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC.求证：∠E＝∠F.
证明：因为AB∥CD，所以∠ABC＝∠DCF.
又因为∠ADC＝∠ABC，所以∠ADC＝∠DCF.
所以DE∥BF.所以∠E＝∠F.
五、(本题10分)
22．已知，如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°.
(1)判断BD和CE的位置关系并说明理由；
(2)判断AC和BD是否垂直并说明理由．
解：(1)BD∥CE.
理由：因为AB∥CD，所以∠ABC＝∠DCF，
所以BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，
所以∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF，
所以∠2＝∠4，
所以BD∥CE(同位角相等，两直线平行)．
(2)AC⊥BD，
理由：由(1)知BD∥CE，所以∠DGC＋∠ACE＝180°，
因为∠ACE＝90°，所以∠DGC＝180°－90°＝90°，
即AC⊥BD.
六、(本题10分)
23．如图，已知∠ABC＝63°，∠ECB＝117°，∠P＝∠Q.
(1)AB与ED平行吗？为什么？
(2)∠1与∠2是否相等？说说你的理由．
解：(1)平行．理由：因为∠ABC＝63°，∠ECB＝117°，
所以∠ABC＋∠ECB＝180°，
所以AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
(2)相等．理由：因为∠P＝∠Q(已知)，
所以PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)，
所以∠PBC＝∠QCB(两直线平行，内错角相等)．
因为AB∥CD(已证)，
所以∠ABC＝∠DCB(两直线平行，内错角相等)，
所以∠ABC－∠PBC＝∠DCB－∠QCB(等式的性质)，
即∠1＝∠2.
七、(本题12分)
24．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝55°，求∠BED的度数．
题图
解：如图，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB，
答图
则有∠5＝∠ABE，∠3＝∠1.
又因为AB∥CD，
所以EG∥CD，FH∥CD，
所以∠6＝∠CDE，∠4＝∠2，
所以∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝∠BFD＝55°.
因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
所以∠ABE＝2∠1，∠CDE＝2∠2，
所以∠BED＝∠5＋∠6＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝2×55°＝110°.
八、(本题12分)
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．
解：(1)因为∠DOB与∠AOC互为对顶角，
所以∠DOB＝∠AOC＝70°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD＝35°，
所以∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝55°.
(2)设∠AOC＝x，则∠DOB＝∠AOC＝x.
因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠EOB＝∠BOD＝x，
所以∠EOC＝180°－∠DOE＝180°－，
因为∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，所以∠EOF＝＋15°.
因为OF平分∠COE，所以∠EOC＝2∠EOF，
所以180°－＝2，
解得x＝100°，
即∠AOC＝100°.
