北师大版数学 七年级下册 5．3．1 等腰三角形的性质课件（第一课时 29张PPT）

(共29张PPT)
第1课时 等腰三角形
的性质
第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质
2.能运用等腰三角形性质进行简单计算和证明
3.掌握数学分类讨论思想
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
1.等腰三角形是轴对称图形吗？如果是请找出它的对称轴.你是怎么得到的？
（1）AB=AC
（2）∠B = ∠C
（3）BD = CD
（4）∠BAD=∠CAD
（5）∠ADC= ∠ADB=900
等腰三角形性质：
性质4 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高互相重合。
（简写成“三线合一”）
（简写成“等边对等角”）；
→两个底角相等
→AD为顶角∠BAC的平分线
→AD为底边BC上的高
→等腰三角形的两腰相等
性质3 等腰三角形的两底角相等。
性质2 等腰三角形的两腰相等。
性质1 等腰三角形是轴对称图形。
→AD为底边BC上的中线
它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
三线合一性质：
几何语言表示:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
(等边对等角)
∵AB=AC
, ∠ BAD=∠CAD
∴BD=CD, AD⊥BC
(三线合一)
已知等腰
三线合一
知一得二
等边对等角性质：
你能用几何语言写出另两组关系吗？
1
知识点
等腰三角形的等边对等角及三线合一
∵AB=AC
, BD=CD
∴∠ BAD=∠CAD, AD⊥BC
(三线合一)
（1）
（2）
∵AB=AC
, AD⊥BC
∴∠ BAD=∠CAD, BD=CD
(三线合一)
（3）
例1 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
A
练习1、等腰三角形一个角为100°,它的另外两个角为_____________
40 °，40 °
练习2．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则底角的度数为 　 　　 　
65°或25°
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
练习3、
练习4．如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=　 　cm．则∠1+∠C=　 　度
3
90
解：设∠A的度数为x
例2 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且
BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.
∵AD=BC
∴∠ABD=∠A=x (等角对等边)
在△ABD中，∠ADB=180°－∠ABD－∠A
=180°－2x
∴∠BDC=180°－（180°－2x）
=2x
∵BD=BC
∴∠C=∠BDC=2x (等角对等边)
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=2x (等角对等边)
在△ABCA中
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
即x+2x+2x=180°
解得：x=36°
∴∠A=36°
∠C=2x=72°
A
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
解法一：证全等
（1）证明：
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B=∠C，∠1=∠2
在△ABE和△ACE中
∠B=∠C
∠1=∠2
AB=AC
∴△ABE≌△ACE（AAS）
∴BE=DC(全等三角形的对应边相等)
∴BE-DE=DC-DE 即：BD=EC
解法二：等腰三角形性质
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AG⊥BC
∴BG＝CG
∵AD＝AE，AG⊥BC
∴DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
即：BD＝CE；
G
(2)证明：∵F为DE的中点，
∴DF=EF
∵BD＝CE，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
即：BF＝CF.
∵AB＝AC，BF＝CF
∴AF⊥BC.（三线合一）
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
三边都相等的三角形叫等边三角形，
也叫正三角形。
想一想
(1)等边三角形有几条对称轴?
(2)你能发现它的哪些特征？
等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备等腰三角形的所有性质。同时我们可以类比等腰三角形来学习等边三角形。
探索等边三角形的性质：
A
C
B
D
E
F
1.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。
2.等边三角形三边相等，三个内角都等于60°。
3.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、对边上的高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
等边三角形的特征：
练习6、如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则
(1)∠DAC=____度,∠AED=____度.
(2)若AC=6,则CD=_____.
30
75
3
（来自《典中点》）
练习7、如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确结论的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
A
2.你能尝试用圆规吗？
A1
(2)若P1为直线MN任意上一点（不与P重合），连结AP1、BP1，试说明 AP1+BP1?AP+BP。
提示：在△A1P1 B中，由三角形的三边关系得：
A1P1 +P1 B>A1B
（3）某乡为了解决所辖范围内张家村A和李家村B的饮水问题，决定在河MN边打开一个缺口P将河水引入到张家村A和李家村B.为了节约资金，使修建的水渠最短，应将缺口P修建在哪里?请你利用所学知识解决这一问题，并用红色线段画出水渠.
A
B
M
非常重要的高频题型，考察了轴对称和线段的性质
步骤一：做点A关于直线MN的对称点A1（虚线）
步骤二：连接A1B,交直线MN于点P（虚线）
步骤三：连接AP,BP(实线)
如图所示：缺口应再建点P处，使得修建的水渠最短
A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
等腰三角形
三条边相等
等边三角形
1、等边对等角
（等腰三角形的两底角相等）
2、三线合一（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
1、每个内角都等于60o
2、三组“三线合一”
（每个角的平分线都与它对边上的中线及高互相重合）
总结