1.3正弦定理和余弦定理(共38张PPT)

(共38张PPT)



习题课　正弦定理和余弦定理
第一章　解三角形

学习目标
1.学会利用三角形中的隐含条件.
2.掌握用两边夹角表示的三角形面积公式.
3.学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学

知识点一　有关三角形的隐含条件




“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：
(1)由A＋B＋C＝180°可得
sin(A＋B)＝ ，cos(A＋B)＝ ，
tan(A＋B)＝ ，sin ＝ ，
cos ＝ .
sin C
－cos C
－tan C
(2)由三角形的几何性质可得
acos C＋ccos A＝ ，bcos C＋ccos B＝ ，
acos B＋bcos A＝ .
(3)由大边对大角可得sin A＞sin B?A B.
(4)由锐角△ABC可得任意两内角之和大于 ，进而可得sin A cos B.
b
a
c
＞
＞
思考　在△ABC中，如何用AB，∠B表示BC边上的高AD？如何用AB，BC，∠B表示△ABC的面积？

知识点二　用两边夹角表示的三角形面积公式
答案　AD＝ABsin B，

知识点三　正弦定理、余弦定理常见形式
△ABC外接圆的半径
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等.
[思考辨析 判断正误]
1.在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B.( )
2.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B.( )
3.在△ABC中，若cos A＝cos B，则A＝B.( )
√
×
√
题型探究
例1　在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝ ，求sin B的值.

类型一　利用正弦、余弦定理转化边角关系
解答
解　由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，得
sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π引申探究
1.对于本例中的条件，c·cos B＝b·cos C，能否使用余弦定理？
解答
化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴c2＝b2，从而c＝b.
2.本例中的条件c·cos B＝b·cos C的几何意义是什么？
解答
解　如图，作AD⊥BC，垂足为D.
则c·cos B＝BD，b·cos C＝CD.
∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.
反思与感悟　(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.
跟踪训练1　在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；
解答
解　由题意知，
解答

类型二　用两边夹角表示三角形面积
命题角度1　求三角形面积
例2　在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为
答案
解析
√
又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
答案
解析
√
答案
解析
命题角度2　涉及三角形面积的条件转化
例3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，
且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .
解析　由sin B＝2sin A，得b＝2a，
反思与感悟　表示三角形面积，即使确定用两边夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角.
答案
解析
√
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得sin C＝cos C.
又C∈(0°，180°)，∴C＝45°.

类型三　正弦、余弦定理与三角变换的综合应用
解答
4(1＋cos A)－4cos2A＝5，
即4cos2A－4cos A＋1＝0，
∵0°解答
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
反思与感悟　(1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程.
(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用.
(3)三角恒等变换公式及其变形是否熟练，对顺利化简非常重要.
解答
＝1＋cos B＋2sin Bcos B
达标检测
√
解析　在△ABC中，利用正弦定理，得
答案
解析
1
2
3
4
答案
解析
2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析　∵c＝2acos B，由正弦定理得，
2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
又∵－π∴A－B＝0，∴A＝B.
∴△ABC是等腰三角形.
1
2
3
4
√
答案
解析
A.30° B.60°
C.120° D.150°
1
2
3
4
√
解析　设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又∵0°答案
解析
1
2
3
4
解析　由余弦定理，得
规律与方法
1.对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变换方法、代数恒等变换方法等进行转化、化简，从而得出结论.
2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况选择恰当的定理或定理的变形来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.