2020年春无锡市高二期末考试卷（PDF版含答案）

无锡市普通高中 2020年春学期高二基础性调研测试
高 二 数 学
(本试卷满分 150分,考试时间 120分钟)
一. 选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“?x > 2,都有 x2 ?3 > 0”的否定是 ( )
A. ?x > 2,使得 x2 ?3 > 0 B. ?x > 2,都有 x2 ?3 ? 0 C. ?x > 2,使得 x2 ?3 ? 0 D. ?x ? 2,都有 x2 ?3 > 0
2. 双曲线 x2 ? y2 = 1的焦点到其渐近线的距离为 ( )
A.
√
2
2
B. 1 C.
√
2 D. 2
3. 若 a < b < 0,则下列不等关系中，不一定成立的是 ( )
A. a2 > b2 B. 1
a
>
1
b
C. 1
a?b
>
1
b
D. a 13 < b 13
4. 已知抛物线 y2 = 2px(p > 0)上的点 M(2,m)到其焦点的距离为 3,则该抛物线的准线方程为 ( )
A. x =?2 B. x =?1 C. x = 1 D. x = 2
5. 如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，M为 A1C1 的中点，若
# ?
AB = a，
# ?
AC = b，
# ?
AA1 = c，则
# ?
BM可表示为 ( )
A
B C
M
A1
B1 C1
第5题图? ? 第10题图? ?
A. 1
2
a? 1
2
b+ c B. 1
2
a? 1
2
b+
1
2
c C. ?a? 1
2
b+ c D. ?a+ 1
2
b+ c
6. 不等式 x2 ?2 |x|< 0的解集为 ( )
A. {x | 0 < x < 2} B. {x | ?2 < x < 0或0 < x < 2}
C. {x | ?2 < x < 0} D. {x | ?2 < x < 2}
7. 已知向量 a = (?1,0,1),b = (1,1,?1)，且 a+ kb与 b互相垂直，则 k = ( )
A. 1 B. 2
3
C. ?1 D. ?2
3
8. 下列直线中与双曲线 C：x
2
8
? y
2
4
= 1有两个不同交点的是 ( )
A. y = x B. x?
√
2y+
√
2 = 0 C. y =
√
2x D. y = x?3
9. 在数列 {an}中，a1 = 1,且 (2n?1)an = (2n+1)an+1，则数列 {an ·an+1}的前 10项和等于 ( )
A. 9
19
B. 18
19
C. 10
21
D. 20
21
10. 如图所示，正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，· · ·，如此继续下去，得到
一个树形图形，称其为“勾股树”.若某勾股树共有 1023个正方形，且最小的正方形的边长为 1
16
，则最大的正
方形的边长为 ( )
A. 9
19
B. 18
19
C. 10
21
D. 20
21
11. 设 F1,F2 是椭圆
x2
16
+
y2
4
= 1的左、右焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B两点，则 AF2 +BF2 的最大值为 ( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
12. 设等差数列 {an}的前 n项和为 Sn，下列条件:
1 an = 2n?17; 2 S16 = 0; 3 S16 > 0且S17 < 0,使得 |an|? |a8|.
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其中对任意正整数 n都成立的是 ( )
A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 2 3
二. 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 若向量 a = (7,λ ,8),b = (1,?1,2),c = (2,3,1)，且 a,b,c共面，则 λ = .
14. 在等比数列 {an}中，若 a3 ·a5 ·a7 = 64,则 a1 +a9 的最小值为 .
15. 下列函数中，最小值为 2的有 .（填写所有满足条件的函数的序号）
1 y = x2 ?4x+6; 2 y = 2x +2?x; 3 y = log2 x+
1
log2 x
; 4 y = sinx+ 1
sinx
(0 < x < π).
16. 点 A是抛物线 C1：y2 = 2px(p > 0)与双曲线 C2：
x2
a2
? y
2
b2
= 1(a > 0,b > 0)的一条渐近线的交点.若点 A到抛物线
C1 的准线的距离为
3
2
p，则双曲线 C2 的离心率等于 .
四. 解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10分)
已知函数 f (x) = x2 ?ax+b+1,不等式 f (x)< 0的解集为 (?1,3).
(1) 求实数 a,b的值;
(2) 若关于 x的不等式 f (x)? k2 +5 ≥ 0对 ?x ∈ R恒成立,求实数 k的取值范围.
18. (本小题满分 12分)
已知数列 {an}的前 n项和为 Sn，且满足 an = 1?Sn.
(1) 求数列 {an}的通项公式;
(2) 设 bn = (n2 +n)an,求数列 {bn}的最大项.
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19. (本小题满分 12分)
如图，在直四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 中,∠ABC = ∠BAD = 90?,AD = AA1 = 4,AB = BC = 2,M是 A1C的中点,点 N
在线段 AD上.
A
B C
D
M
N
A1
B1 C1
D1(1) 当 AN = 1时，求异面直线 MN 和 A1B所成角的余弦值;
(2) 当 AN 为何值时,直线 MN 与平面 A1BC所成角的正弦值为
4
√
5
15
?
20. (本小题满分 12分)
已知等差数列 {an}满足 a2 = 2,a4 +a7 +a10 = 21.数列 {bn}是递减的等比数列,b1 = a1,且
5
3
b3 是 b2 和 b4 的等差
中项.
(1) 求数列 {an}和 {bn}的通项公式；
(2) 求数列 {an ·bn}的前 n项和 Sn.
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21. (本小题满分 12分)
A
B C
D
E
F
M
N
P
现有一块长方形钢板 ABCD(如图),其中 AB = 4米,AD = 6米,运输途中不慎将四边形 AEPF 部分损坏，经测量
AE = 1.5米,AF = 3米,tan∠AEP = 4,∠AFP = 45°.现过点 P沿直线 MN 将破损部分切去 (M,N 分别在 AB,AD上),
设 DN = t 米. .
(1) 请将切去的△AMN 的面积表示为 t 的函数 f (t);
(2) 当 DN 的长度为多少时，切去的△AMN 面积最小?并求出最小面积.
22. (本小题满分 14分)
O x
y
A
B
C
DE
F
F1 F2
如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
= 1(a> b> 0)的离心率为
√
2
2
,且四个顶点所构成
的四边形面积为 2
√
2.椭圆 C1的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 x = my?1
与椭圆 C1交于 A,B两点,直线 AF2与抛物线 C2?：y2 = 4x交于C,D两点,
直线 BF2 与抛物线 C2 交于 E,F 两点.
(1) 求椭圆 C1 的标准方程;
(2) 当 AF2 ⊥ BF2 时，求实数 m的值;
(3) 若CD与 EF 长度之和为 80,求实数 m的值.
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