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第1章 集合和命题
1.1集合及其表示法
理解集合中元素的代表意义及其形式，常见的是对函数的定义域、值域的求解所形成的数集；或是满足其限制条件的点所形成的区域等。
例题精讲
【例1】用适当的方法表示下列集合．
方程的有理根的集合A；
坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合；
方程组的解集；
到两坐标轴距离相等的点．
【参考答案】
（1）这题容易错在把两个无理根放在集合中，正确答案：．
（2）这题易错在表达不全，可以用描述法，正确答案：．
（3）两种表示方法，可以是，也可以是{（3,2）}，学生易错成{3，2}，这里要强调点集和数集的区别．
（4）．
【例2】已知集合，，，则 ， .
【难度】★
【答案】；
【解析】在进行集合问题的运算和讨论时，首先理解清楚题中每一个集合所代表的元素的特征具体是什么，然后再进行计算。
【例3】已知集合，那么下列关系正确的是（ ）
A B C D
【参考答案】
一个元素属于一个集合，用符号表示，有些学生会把两个符号用混淆，正确答案B
【例4】已知，，则.
【难度】★
【答案】
【例5】如果集合，，，那么下列结论中正确的是（）
B. C. D.
【难度】★★
【答案】
【巩固训练】
1．设集合，，则___________.
【难度】★
【答案】
2．已知集合，，则
【难度】★★
【答案】
3．已知集合，则之间的关系是
【难度】★★
【答案】
1.2 集合之间的关系
子集、真子集、非空真子集的个数与其元素个数的关系分别是：、、；关于交、并、补的集合的混合运算中，常用的方法有：分类讨论、反向求解、等价转化。
例题精讲
【例1】确定整数x,y,使
【参考答案】根据集合相等的概念可以列出方程组，解得
【例2】已知集合试判断A与B之间的关系，并说明理由．
【参考答案】
所以A=B
【例3】已知集合,,,
且,求的取值范围
【参考答案】
，
当时，，
而 则 这是矛盾的；
当时，，而，
则；
当时，，而，
则； ∴
【例4】满足条件的集合共有 个。
【难度】★
【答案】7
【例5】已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】
【例6】从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1） 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有或．
那么，共有 种不同的选择．
【难度】★★★
【答案】36
【巩固训练】
1．若集合，则的非空子集的个数为
【难度】★
【答案】7
2．若且，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】集合A有可能是空集.当时，，此时成立；当时，，若，则，有.综上知，.
3．设集合,集合有个元素，且,若所有可能的的各个元素的总和是210，则=
【难度】★★★
【答案】 3或4
1.3 集合的运算
例题精讲
【例1】已知集，求.
【参考答案】集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，，.
【例2】若且，求的取值范围.
【参考答案】集合A有可能是空集.当时，，此时成立；当时，，若，则，有.综上知，.
【例3】已知，，且，求．
【参考答案】
由已知得：①；②
则，，
【例4】已知集合并说明它的意义
【参考答案】
本题考查以有序实数对为为元素集合之间的运算，并关注这种类型的集合作为交集的集合意义．
求方程组的解，注意：已知两集合为以有序数对为元素的集合，所以交集的元素还是有序数对．
他可以看作是函数与函数的图像的交点的集合．
1.4 命题的形式及等价关系
例题精讲
【例1】判读命题：“若与的积不是有理数，则，至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由．
【参考答案】
本题主要考察命题的证明（间接证明的方法），原命题与其逆否命题的等价关系．
假设可设，则= ，与条件矛盾，
所以至少有一个不是有理数“至少有一个不是”的否定是“都是”，本题不用直接证明而是证明逆
否命题，其原因是：“不是有理数”不如“是有理数”容易用数学语言表达，“是有理数”即“可写成分
数形式”
【例2】已知三个不等式：（其中均为实数）.用其中两个不
等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （ ）
A. B. C. D.
【难度】★
【答案】D
【解析】易知由；；
.
【例3】已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满足不等式
.若都是假命题，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】由知，解此方程得.
∵方程在上有解, ∴或， ∴.
只有一个实数满足不等式,表明抛物线与轴只有一个
公共点， ∴， ∴或.
∴命题为假，则；命题为假，则且.
∴若都是假命题，则的取值范围是.
【巩固训练】
1．设有两个命题：不等式的解集为，命题在上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】
【解析】表示轴上的点到点和的距离之和，易知其最小值为，若命题为真，则；若命题为真，则， 可得. 真假不可能，若假真，则有.
2．有下列四个命题： ①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的
三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若
，则”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）.
【难度】★★
【答案】①、②
【解析】①、②显然正确；③当时，有， ∴方程有实数根，即原命题为真，
∴它的逆否命题也为真；④则， ∴原命题为假，因而其逆否命题也为假.
1.5 充分条件、必要条件
例题精讲
【例1】设有集合，则点的＿＿＿＿＿＿＿条件是点；点是点的＿＿＿＿＿＿＿条件.
【参考答案】
集合M是圆外的所有点的集合，N是直线上方的点的集合.显然有.（充分不必要、必要不充分）
【例2】求证：二次方程有一根为1的充要条件是
【参考答案】证明：
（1）充分性 若将代入方程得
所以的一个根．
必要性 已知，则，显然1是方程的一个根．
【例3】已知抛物线与直线.“”是“直线与抛物线有两个不同的交点”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要
【难度】★
【答案】
【巩固训练】
1．“(kZ)”是“”成立的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
【难度】★
【答案】
1.6 子集与推出关系
例题精讲
【例1】(1)已知集合,集合N=,则是的
________________条件
(2)已知条件:,条件:,则是的______________________条件．
【参考答案】本题从子集的角度去判定充分条件与必要条件．对集合M,N进行化简，
因为=,
N== ，所以，N M于是“”是“”
的必要非充分条件．
易错题型
【例1】设集合，，则
【难度】★
【答案】
【易错点】分析两个集合中的元素的代表元分别是和，很多学生在看到根号时会下意识的认为是求定义域，直接求解了的取值范围。
【变式训练】
1．已知集合，，则
【难度】★
【答案】
【例2】已知集合，，，则集合的真子集的个数为
【难度】★
【答案】63
【解析】由题意可得集合，故的真子集个数为，共63个。
【易错点】找到和组合成的集合中的元素的重复性，去掉重复元素，其次对有个元素的集合的子集的个数为的结论不要忘记。
【变式训练】
1．设集合，则集合的非空子集的个数是
【难度】★
【答案】7
【例3】已知集合，，若，则实数的取值范围是
【难度】★
【答案】
【解析】，则，不能忽视的情况，当时，，解得；当时，，解得，所以实数的取值范围是
【易错点】空集是任何集合的子集，因此在讨论集合的从属关系时不要漏算。
【变式训练】
1．若集合，集合，且，求实数的取值范围。
【难度】★
【答案】
【例4】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
【难度】★★
【答案】45
【易错点】在理解集合的定义时，需要定量来理解其意义，可以利用相关点代入的方式变成，变成圆的平移问题找到满足题意的整点即可。
【变式训练】
1．设为实数，，，记集合，，若，分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
、且 、且 、且 、且
【难度】★★
【答案】
【解析】根据已知条件可得的元素即为根的个数，的元素即为根的个数，结合类一次方程根的个数与一次项系数关系和二次方程根的个数与的关系分类讨论即可得到答案。
【例5】已知函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的一个充分不必要条件是（ ）
、 、 、 、
【难度】★★
【答案】
【解析】因为函数为定义在上的奇函数，所以，所以，易求得的充要条件是，所以的一个充分不必要条件是，故选
【易错点】已知充分必要性求参数的取值范围的常用技巧：先求满足充要条件的参数的取值范围；再利用“以小推大”的技巧来判断所求参数范围；同时在求解时注意主谓的转化，理解由命题推导命题的顺序。
【变式训练】
1．已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是
【难度】★★
【答案】
反思总结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法；
由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真。另外需要注意的是命题的否定和否命题含义不同；
复合命题的真值（真值表如下）
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非p
真 假
假 真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
3. 条件为“”时，不要遗忘 的情况；含字母问题和真子集时，都不要遗忘空集，是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集；
4 集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系。
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第1章 集合和命题
1.1集合及其表示法
理解集合中元素的代表意义及其形式，常见的是对函数的定义域、值域的求解所形成的数集；或是满足其限制条件的点所形成的区域等。
例题精讲
【例1】用适当的方法表示下列集合．
方程的有理根的集合A；
坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合；
方程组的解集；
到两坐标轴距离相等的点．
【例2】已知集合，，，则 ， .
【例3】已知集合，那么下列关系正确的是（ ）
A B C D
【例4】已知，，则.
【例5】如果集合，，，那么下列结论中正确的是（）
B. C. D.
【巩固训练】
1.设集合，，则___________.
2．已知集合，，则
3．已知集合，则之间的关系是
1.2 集合之间的关系
子集、真子集、非空真子集的个数与其元素个数的关系分别是：、、；关于交、并、补的集合的混合运算中，常用的方法有：分类讨论、反向求解、等价转化。
例题精讲
【例1】确定整数x,y,使
【例2】已知集合试判断A与B之间的关系，并说明理由．
【例3】已知集合,,,
且,求的取值范围 (?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【例4】满足条件的集合共有 个。
【例5】已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是 ．
【例6】从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1） 都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有或．
那么，共有 种不同的选择．
【巩固训练】
1．若集合，则的非空子集的个数为
2．若且，求的取值范围.
3．设集合,集合有个元素，且,若所有可能的的各个元素的总和是210，则=
1.3 集合的运算
例题精讲
【例1】已知集，求.
【例2】若且，求的取值范围.
【例3】已知，，且，求．
【例4】已知集合并说明它的意义
1.4 命题的形式及等价关系
例题精讲
【例1】判读命题：“若与的积不是有理数，则，至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由．
【例2】已知三个不等式：（其中均为实数）.用其中两个不
等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （ ）
A. B. C. D.
【例3】已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满足不等式
.若都是假命题，求的取值范围.
【巩固训练】
1．设有两个命题：不等式的解集为，命题在上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 .
2．有下列四个命题： ①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的
三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若
，则”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）.
1.5 充分条件、必要条件
例题精讲
【例1】设有集合，则点的＿＿＿＿＿＿＿条件是点；点是点的＿＿＿＿＿＿＿条件.
【例2】求证：二次方程有一根为1的充要条件是
【例3】已知抛物线与直线.“”是“直线与抛物线有两个不同的交点”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要
【巩固训练】
1．“(kZ)”是“”成立的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
1.6 子集与推出关系
例题精讲
【例1】(1)已知集合,集合N=,则是的
________________条件
(2)已知条件:,条件:,则是的______________________条件．
易错题型
【例1】设集合，，则
【变式训练】
1．已知集合，，则
【例2】已知集合，，，则集合的真子集的个数为
【变式训练】
1．设集合，则集合的非空子集的个数是
【例3】已知集合，，若，则实数的取值范围是
【变式训练】
1．若集合，集合，且，求实数的取值范围。
【例4】已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
【变式训练】
1．设为实数，，，记集合，，若，分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
、且 、且 、且 、且
【例5】已知函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的一个充分不必要条件是（ ）
、 、 、 、
【变式训练】
1.已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是
反思总结
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法；
由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真。另外需要注意的是命题的否定和否命题含义不同；
复合命题的真值（真值表如下）
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非p
真 假
假 真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
3. 条件为“”时，不要遗忘 的情况；含字母问题和真子集时，都不要遗忘空集，是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集；
4 集合间具有包含关系的充要条件是这些集合的性质具有推出关系。
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