(共34张PPT)
第十八章
四边形
2
3
4
1
5
课前学案
……………..…
课堂导案
……………..…
课后练案
……………..…
核心目标
……………..…
拓展提升
………………….
18.2
特殊的平行四边形
18.2.2
菱形(一)
核心目标
理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质．
课前学案
1.___________________________________叫做菱形．
2.菱形的四条边都_________．
3.菱形的两条对角线____________，并且每一条对角
线平分一组对角．
互相垂直
有一组邻边相等的平行四边形
相等
课堂导案
知识点1：菱形的性质
【例1】已知：如右图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，
DF交AC于E.
求证：∠AFD＝∠CBE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE，在△BCE和△DCE中
∴△BCE≌△DCE，∴∠CBE＝∠CDE，
∵∠AFD＝∠CDE，∴∠AFD＝∠CBE.
课堂导案
【点拔】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,得出△BCE≌△DCE是解题关键.
【解析】根据菱形的性质得出∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，证△BCE≌△DCE，可得∠CBE＝∠CDE再由AB∥CD，得∠AFD＝∠CDE即可．
课堂导案
对点训练一
1.如下图，菱形ABCD
的边长为6，∠ABC＝
60°,
则对角线AC的长是______．
6
2.如上图，P是菱形ABCD对角线
BD上一点，PE⊥AB于点E，
PE＝4
cm，则点P到BC的
距离是_______cm.
4
课堂导案
3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
D
4.如下图，菱形ABCD的周长为
16，∠ABC＝120°，则AC的
长为( )
A．4
B．4
C．2
D．2
A
课堂导案
5.如上图，菱形ABCD中，已知∠D
＝110°，则∠BAC的度数为( )
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
又∵∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF.
6.如下图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB于E，
DF⊥BC于F.求证：DE＝DF.
B
课堂导案
知识点2：菱形的面积
【例2】如右图，四边形ABCD是菱形，边长为10
cm，对角线AC，BD交于O，∠BAD＝60°.
(1)求对角线AC，BD的长；
(2)求菱形的面积．
课堂导案
(2)菱形的面积为：
×10×10
＝50
(cm2)．
【答案】解：(1)在菱形ABCD中，
AB＝AD＝10
cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10
cm，
∵AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝30°，BO＝
BD＝5，
在Rt△AOB中，AO＝
＝5
∴AC＝2AO＝10
(cm)．
【解析】利用已知条件易求BD的长，再由勾股定理可求出AO的长，进而可求对角线AC的长，利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积．
课堂导案
对点训练二
7.已知一个菱形的两条对角线长分别为6
cm和
8
cm，则这个菱形的面积为__________cm2.
8.菱形的边长为4
cm，一个内角为30°，则这
个菱形的面积为__________cm2.
24
8
课堂导案
9.如下图，菱形ABCD的周长为20
cm，对角线AC、
BD相交于点O，AC＝8
cm.
(1)求对角线BD的长；
(2)求菱形的面积．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，
∵菱形的周长是20，
∴AD＝5又AO＝
AC＝4，∴DO＝3，∴BD＝6.
(2)菱形的面积为
×8×6＝24.
课后练案
10.在菱形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．BO＝DO
B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD
D．AO＝DO
第10、11题图
11.如上图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，
AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )
A．10
B.
C．6
D．5
D
D
课后练案
12.如上图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，
则菱形ABCD的面积是( )
A．18
B．18
C．36
D．36
13.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
且E、F分别为BC、CD的中点，
则∠EAF等于( )
A．60°
B．55°
C．45°
D．30°
B
A
课后练案
14.如上图，在菱形ABCD中，∠BAD＝82°，AB的垂
直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，
则∠CDF等于( )
A．67°
B．57°
C．60°
D．87°
B
课后练案
15.如下图，在菱形ABCD中，∠A＝
60°，E、F分别是AD、CD上的两
点，且AE＝DF.
求证：△ABE≌△DBF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，
又∵∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝DB，∠A＝∠BDF＝60°，
又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DBF.
课后练案
(1)△OEF是等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO＝
AD，OF＝
AB，∴EO＝FO，
∴△OEF是等腰三角形；
16.如下图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别是边AB，AD的中点．
(1)请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
课后练案
16.如下图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E，F分别是边AB，AD的中点．
(1)请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝10,
∴AO＝5，∠AOB＝90°，
∴BO＝
＝12，
∴BD＝24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF＝
BD＝12.
课后练案
(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝60°.
∵菱形
ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝120°.
17.如下图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4
，求DE的长．
课后练案
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，
∴AO＝
AC＝2
，
由(1)可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2
.
17.如下图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4
，求DE的长．
课后练案
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OCEB是平行四边形，
∴四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；
18.如下图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，
EB∥AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证：OE＝CB；
(2)如果OC∶OB＝1∶2，OE＝，求菱形ABCD的面积.
课后练案
(2)∵由(1)知，AC⊥BD，
OC∶OB＝1∶2，∴BC＝OE＝
设OC＝x，则OB＝2x，在Rt△BOC中，
由勾股定理得x2＋(2x)2＝(
)2，
解得x＝1，∴CO＝1，OB＝2.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积是：
BD·AC＝4.
18.如下图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，
EB∥AC，连接OE，交BC于F.
(1)求证:
OE＝CB；
(2)如果OC:OB＝1:2，OE＝
，求菱形ABCD的面积.
课后练案
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△ADE和△CDE，
∵
，
∴△ADE≌△CDE；
19.在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作
DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
课后练案
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
19.在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作
DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
课后练案
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，∵MC＝MD，
∴∠ACD＝∠2，
∴∠1＝∠2；
20.如下图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，
且MC＝MD.连接DM并延长，交边BC于点F.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．
课后练案
20.如下图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，
且MC＝MD.连接DM并延长，交边BC于点F.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．
(2)连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，BC＝CD，
∵∠ACD＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD＝∠2,
∵DF⊥BC，∴3∠2＝90°，∴∠2＝30°,
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，∴BF＝CF，
即点F是边BC的中点．
拓展提升
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵点F是AC边的中点，AB＝4，
∴AF＝2，BF⊥AC，BF＝
＝
＝2.
21.如下图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是BC延
长线上的一点，F是对角线AC上的一点，AF＝
CE，连接BF、EF.
(1)若AB＝4，点F是AC边的中点，求BF的长；
(2)若点F是AC边上的任意一点(不与点A、C重合)，
求证：BF＝EF.
拓展提升
(2)过点F作FG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°
又∵FG∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△AGF是等边三角形，
∴AG＝AF＝CF，∴BG＝CF，
又∵CE＝AF，∴GF＝CE，∵∠BGF＝∠ECF＝120°，
∴△BGEF≌△FCE，∴BF＝EF.
(2)若点F是AC边上的任意一点(不与点A、C重合)，
求证：BF＝EF.
拓展提升
22.如下图所示，已知四边形ABCD，
ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，
∠BAD为锐角．
(1)求证：AD⊥BF；
(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．
拓展提升
(1)证明：如下图，连结DB、DF.
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD，∴DB＝DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB＝AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；
拓展提升
(2)如下图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，
则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BH＝
BF.
∵BF＝BC，BC＝CD，
∴DG＝
CD.
在直角△CDG中，
∵∠CGD＝90°，DG＝
CD，
∴∠C＝30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
感谢聆听(共18张PPT)
第十八章
四边形
2
3
4
1
5
课前学案
……………..…
课堂导案
……………..…
课后练案
……………..…
核心目标
……………..…
拓展提升
………………….
18.2
特殊的平行四边形
18.2.2
菱形(二)
核心目标
掌握菱形的判定方法，会用判定方法进行相关的论证和计算．
课前学案
1.菱形的定义：_____________________的平行四边形叫
做菱形．
2.菱形的判定：
(1)__________________________的平行四边形是菱形．
(2)_____________________________的四边形是菱形．
四条边都相等
有一组邻边相等
对角线互相垂直
课堂导案
知识点：菱形的判定
【例题】在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与AD、BC分别交于点E、F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连结AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC，∴∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF；
课堂导案
(2)解：四边形AFCE是菱形，理由是：
由(1)得AE＝CF，∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．
【例题】在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与AD、BC分别交于点E、F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连结AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．
【解析】(1)根据平行四边形的性质
得出AD∥BC，得出∠EAC＝∠FCA，
可证△AOE≌Rt△COF；
(2)根据全等得AE＝CF，推出四边形AFCE是平行四边形，再由AC⊥EF可证．
【点拔】能推出△AOE≌△COF是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
课堂导案
课堂导案
1.已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.
求证：四边形DECF是菱形．
对点训练
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴AC∥DE，∴∠CDE＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB交AB于D，
∴∠ACD＝∠BCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴DE＝EC，
∴四边形DECF是菱形．
课堂导案
2.如下图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分
线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接
BM，DN.求证：四边形BMDN是菱形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，∠BON＝∠DOM，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,
∴∠OBN＝∠ODM，∴△BON≌△DOM，
∴BN＝MD，∴四边形BMDN是平行四边形，
又MN⊥BD，∴ BMDN是菱形．
课堂导案
3.如下图，△ABC为等腰三角形，把它沿底边BC
翻
折后，得到△DBC.求证：四边形ABDC是菱形.
∵将△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
课后练案
4.如下图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分
别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
(1)∵CE∥BF，
∴∠ECD＝∠FBD，
∠DEC＝∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD＝DC，
∴△BDF≌△EDC；
课后练案
4.如下图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分
别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．
(2)由(1)知：△BDF≌△EDC，
则DE＝DF，DB＝DC；
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，
∴ BFCE是菱形．
课后练案
(2)∵BD∥EF，∴∠2＝∠E，∠3＝∠F，
∵∠E＝∠F，∴∠2＝∠3，∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形．
5.如下图，在 ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD
于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F
.
已知
BE＝BP
．求证：(1)∠E＝∠F；(2) ABCD是菱形.
(1)在 ABCD中，BC∥AF，∴∠1＝∠F，
∵BE＝BP，∴∠E＝∠1，∴∠E＝∠F；
课后练案
∵四边形ABCD、BFDE是矩形，
∴MB∥DN，BN∥MD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又△ABM≌△EDM，∴BM＝DM，
∴四边形BNDM是菱形．
6.如下图，把两张完全相同的矩形纸片(如图中矩形
ABCD和矩形BFDE)叠放在一起，AD、BE相交于
点M，BC、FD相交于点N.求证：四边形BMDN
是菱形．
拓展提升
7.如下图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长
线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E
作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，
G，连接BE.
(1)求证：△AEB≌△ADC；
(2)如果BC＝CD，判断四边
形BCGE的形状，并说明理由．
拓展提升
(1)∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∠CAB＝∠EAD＝60°，
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠DAC＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC.
拓展提升
(2)四边形BCGE的形状是菱形，理由是：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠BCG＝120°，
∴∠DBE＝60°，∴∠BCG＋∠DBE＝180°，
∴BE∥CG，∵BC∥EG，
∴四边形BCGE是平行四
边形，
∵BC＝CD，∴BE＝BC，
∴四边形平行四边形BCGE是菱形．
感谢聆听
