(共21张PPT)
第十八章
四边形
2
3
4
1
5
课前学案
……………..…
课堂导案
……………..…
课后练案
……………..…
核心目标
……………..…
拓展提升
………………….
18.2
特殊的平行四边形
18.2.3
正方形(二)
核心目标
掌握正方形的判定，并会用它们进行有关的论证．
课前学案
1.有一个角是直角的__________是正方形．
2.有一组邻边相等的__________是正方形．
矩形
菱形
课堂导案
知识点：正方形的判定
【例题】如右图，已知在△ABC中，AB
＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE
⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)当∠A＝90°时，求证：四边形AEDF是正方形．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD.
课堂导案
(2)当∠A＝90°时，∠A＝∠AED＝∠AFD＝90°，
则四边形AEDF是矩形，由(1)得△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，∴矩形AEDF是正方形．
【例题】如右图，已知在△ABC中，AB
＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE
⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)当∠A＝90°时，求证：四边形AEDF是正方形．
【解析】(1)由AB＝AC可得∠B＝∠C，从而可证△BED≌△CFD；
(2)由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AEDF是正方形．
【点拔】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出四边形AEDF是矩形是解题关键．
课堂导案
课堂导案
对点训练
1.如下图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分
线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F
.
求证：四边形DECF是正方形．
∵CD是角平分线，
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠CED＝∠CFD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形DECF是正方形．
课堂导案
2.如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点
O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四
边形，并说明理由．
(1)在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO又∠AOE
＝∠COF，OA＝OC,
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，∴ AFCE是菱形．
课堂导案
2.如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点
O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四
边形，并说明理由．
(2)四边形AFCE是正方形．理由:
由(1)得四边形AFCE是菱形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴菱形AFCE是正方形.
课后练案
3.下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
4.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添
加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个
条件可以是( )
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
D
D
课后练案
5.如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列
结论中不正确的( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是正方形
D．当AC＝BD时，它是矩形
C
课后练案
6.如上图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E、F分别
是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF分别交
于点M、N两点，则四边形EMFN是( )
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
A
课后练案
7.如下图：已知:AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于
E,DF∥AB交AC于F.
(1)求证：四边形AEDF是菱形；
(2)当△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF是正方形
(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EDA＝∠DAF又∠DAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠EDA，
∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形.
(2)△ABC的∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
理由：由(1)得四边形AEDF是菱形．
∵∠BAC＝90°，∴菱形AEDF是正方形．
课后练案
(1)∵△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠DAB＋∠DBA＝45°
∴∠ADB＝180°－45°＝135°；．
8.如下图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB、
∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：四边形CEDF是正方形．
课后练案
8.如下图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB、
∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：四边形CEDF是正方形．
(2)过D作DG⊥AB于G，
∵AD、BD是∠CAB、∠CBA
的平分线，∴DF＝DG，
DE＝DG，∴DF＝DE，∵△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∴四边形CEDF是正方形．
课后练案
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
9.已知：如下图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD
的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
课后练案
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP＋∠APF＝90°，
∴∠APF＋∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．
9.已知：如下图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD
的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
拓展提升
10.如下图，在四边形ABCD中，点E是AD边上的任意
一点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、
CE的中点．
(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；
(2)EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正
方形？说明理由．
(1)∵G、F分别是BE、BC的中点，
∴GF∥EC，同理FH∥BE.
∴四边形EGFH是平行四边形；
拓展提升
(2)EF和BC满足关系：EF＝
BC且EF⊥BC时，平行
四边形EGFH是正方形，
理由：连接EF，GH.
∵G、H分别是BE，CE的中点，
∴GH∥BC.∵EF⊥BC，∴EF⊥GH.
∵又∵四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形EGFH是菱形，
∵EF＝
BC，GH＝
BC，
∴EF＝GH.
∴平行四边形EGFH是正方形．
感谢聆听(共18张PPT)
第十八章
四边形
2
3
4
1
5
课前学案
……………..…
课堂导案
……………..…
课后练案
……………..…
核心目标
……………..…
拓展提升
………………….
18.2
特殊的平行四边形
18.2.3
正方形(一)
核心目标
了解正方形的有关概念，理解正方形的性质．
课前学案
1.正方形的四条边__________，四个角____________．
2.正方形既是_________，又是_________，它既有
_________的性质，又有__________的性质．
矩形
都相等
都是直角
菱形
矩形
菱形
课堂导案
知识点：正方形的性质
【例题】如右图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED；
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB
＝130°，
求∠AFE的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
又∵CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.
课堂导案
(2)解：由(1)得，
△BEC≌△DEC，
∴∠DEC＝∠BEC＝
∠DEB＝65°，
∴∠AEF＝∠BEC＝65°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AFE＝180°－65°－45°＝70°.
【例题】如右图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED；
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB
＝130°，
求∠AFE的度数．
【解析】(1)由正方形的性质得CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，可证△BEC≌△DEC；(2)由条件可得∠AEF＝∠BEC＝65°，而∠DAC＝45°，利用三角形的内角和定理则可求．
【点拔】熟记正方形的性质确定出∠DCE＝∠BCE是解题的关键．
课堂导案
课堂导案
对点训练
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
2.如下图，在正方形ABCD中∠DAE＝25°，AE交对角线
BD于E点，那么∠BEC等于( )
A．45°
B．60°
C．70°
D．75°
D
C
课堂导案
3.如上图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，
使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠E的度数是
( )
A．30°
B．55°
C．45°
D．22.5°
D
课堂导案
4.已知：如下图正方形ABCD中，E为CD边上一点，
F为BC延长线上一点，且CE＝CF
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数．
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，
∠BCD＝90°，∴∠DCF＝90°，∴∠BCD＝∠DCF，
又CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.
(2)∵△BCE≌△DCF，∴∠EBC＝∠FDC＝30°，
∴∠BEC＝60°，∵∠DCF＝90°，CE＝CF，
∴∠FEC＝45°，∴∠BEF＝∠BEC＋∠FEC＝105°.
课堂导案
5.如下图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：DP⊥PE.
(2)由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，
∵∠2＋∠E＝90°，∴∠1＋∠CDP＝90°，
∴∠DPE＝90°，∴DP⊥PE.
(1)在正方形ABCD中，BC＝DC，
∠BCP＝∠DCP又CP＝CP，∴△BCP≌△DCP.
课后练案
(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵三角形ADE为等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE＝CE;
6.如下图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形
ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE.
(2)求∠BEC的度数．
课后练案
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAE＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝30°.
6.如下图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形
ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE.
(2)求∠BEC的度数．
课后练案
7.如下图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，
点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线于点P，
且DE＝DP.
(1)求证：AE＝CP；
(2)求证：BE∥DF.
(2)证明∴△BCE≌△DCE，∴∠BEC＝∠DEP，
∴∠BEC＝∠DPE，∴BE∥DF.
(1)∵DE＝DP，∴∠DEP＝∠DPE，
∴∠AED＝∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴△ADE≌△CDP，∴AE＝CP；
课后练案
8.如下图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，
E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG
交BD于F，求证：OE＝OF.
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB，∠COB＝90°，
∵AG⊥EB，∴∠OAF＋∠OEG＝90°，
∴∠OBE＋∠OEG＝90°，∴∠EAG＝∠OBE，
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，∴△AOF≌△BOE，
∴OE＝OF.
拓展提升
(1)证明：在正方形ABCD中，
AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，
又∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE＝CF.
9.如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC
上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；(2)连结DB交
EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，
判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
拓展提升
9.如下图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC
上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；(2)连结DB交
EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG、FG，
判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
(2)四边形DEGF是菱形．理由如下：
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，
即BE＝BF，∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∴BD垂直平分EF，
又∵OG＝OD，∴四边形DEGF是菱形．
感谢聆听
