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第十六章
二次根式
16.1
二次根式
学习目标
2．理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；
3．经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
1．理解二次根式的概念，并利用
（a≥0）的意义解答具体题目；
课堂导入
观看图片，了解二次根式发展史和相关知识，为课堂的开展打下基础．
此处图片是《二次根式的发展史》图片截图，请下载使用此资源．
？
？
若正方形的面积为S，则这个正方形的边长为_____米．
S
课堂导入
下球体
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
则半径为____________．
课堂导入
把形如_________的式子叫做二次根式，“______”称为二次根号．
(a≥0)
你认为上面所得的结果有什么共同特点？
它们都是表示正数的算术平方根．
根据你的理解，请写出二次根式的定义．
被开方数a≥0
根指数为2
二次根式
新知讲解
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
√
√
√
≥
＜
新知讲解
解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得a＜
；
（3）由(a-1)2≥0，得a为任何实数．
例1
a
取何值时，下列根式有意义？
（1）
；（2）
；（3）
．
二次根式有意义的条件：
1．被开方数大于或等于0，即a＞0或a=0；
2．若有分母，则还需保证分母不为0．
例题精讲
当a＞0
时，
表示
a
的算术平方根，因此
＞0；
这就是说，当a≥0时，
≥0．
当a
=0
时，
表示
0
的算术平方根，因此
=0；
问题：请比较
和
0
的大小．
双重非负性
新知讲解
练习2 当x
是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
；
（2） ；
（3）
；
（4）
．
（2）由x≥0，且
x-1≠0，得x≥0，且
x≠1；
（3）由-x2≥0，得x=0；
（4）由x-2≥0，且
2-x
≥
0，得x
≥
2，且
x
≤2，所以x=2．
解：（1）由3-4x≥0，得x≤
新知讲解
深入探究
探究1
根据算术平方根的意义填空：
4
2
0
观察等式的两边，你能得到什么启示？
性质1：
探究2
填空：
2
0.1
0
2
0.1
观察两组算式，你能得到什么启示？
（1）_______________；（2）________________．
性质2：
深入探究
练习3
计算：
（1）1.52
（2）(2)2
（3）
（4）
=2.25
=20
=4
=5
深入探究
形如5、a、a+b、ab、
、-x3、
、
（a≥0）的式子，它们都是用基本运算符号(包括____、____、____、____、______和______)把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式．
加
减
乘
除
乘方
开方
深入探究
练习4 若+
+=0
，则n
，x，y的值为
．
解：由+
+=0，
得16-4n=0，x+2=0，y-2=0，
所以n=4，x=-2，
y=2．
n=4，x=-2，
y=2
深入探究
二次根式的
概念
二次根式有意义的条件
二次根式的
性质
第一部分
第二部分
第三部分
课堂小结
形如
的式子
被开方数
a＞0或a=0
分母不为0
双重非负性
代数式的概念
第四部分
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式．
＝a（a≥0）
＝a（a≥0）
再见第十六章
二次根式
16.
1
二次根式
一、教学目标
1.
理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目；
2.
理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；
3.
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识.
二、教学重点及难点
重点：二次根式的概念及意义，二次根式的性质及其运用.
难点：二次根式的基本性质的灵活应用.
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资料
《二次根式的概念及有意义的条件》视频，《二次根式引入》图片，《二次根式的发展史》图片，《二次根式与算术平方根》图片，《总结二次根式的性质》图片等.
五、教学过程
【课堂导入】
让学生观看图片，了解二次根式发展史和相关知识，为课堂的开展打下基础.
插入图片《二次根式的发展史》
【分析】《二次根式的发展史》图片资源介绍了二次根式的发展史.
设计意图：通过《二次根式引入》图片资源具体实例引入二次根式，激发学生的学习兴趣.
问题
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为S的正方形的边长为________；
（2）圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.
设计意图：
通过生活实际，发现二次根式在实际生活中的联系.
【新知讲解】
你认为上面所得的结果有什么共同特点？
它们都是表示正数的算术平方根.
根据你的理解，请写出二次根式的定义．
一般地，我们把形如__________的式子叫做二次根式，________称为二次根号.
二次根式：被开方数a≥0；根指数为2.
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
解：（1），（4），（5）
【例题精讲】
例1、a
取何值时，下列根式有意义？
（1）
（2）
（3）
解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得a＜；
（3）由≥0，得a为任何实数．
【说明】二次根式有意义的条件：
1.
被开方数大于或等于0，即a＞0或a=0；
2.
若有分母，则还需保证分母不为0.
[双重非负性]当a＞0时，表示
a
的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示
0
的算术平方根，因此=0.
这就是说，当a≥0时，≥0.
练习2 当x
是什么实数时，下列各式有意义．
（1）；（2）;
（3）；（4）
解：（1）由3-4x≥0，得x≤；
（2）由x≥0，且
x-1≠0，得x≥0，且
x≠1；
（3）由-x2≥0，得x=0；
（4）由x-2≥0，且
2-x≥0，得x≥
2，且
x≤2，所以x=2.
【深入探究】
探究1
根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=_______；（）2=_______.
观察等式的两边，你能得到什么启示？
性质1：
；
设计意图：通过探究1中的题目归纳出二次根式的性质：＝a（a≥0）.
探究2
填空：
（1）=____；=____；=____；=_____；
（2）=____；=____；=____.
观察两组算式，你能得到什么启示？
（1）_______________；（2）________________.
性质2：
.
设计意图：通过探究2中的题目归纳出二次根式的性质：＝a（a≥0）.
探究3计算：（1）；
（2）.
（3）；
（4）.
设计意图：通过探究3巩固加强二次根式的运算能力.
[代数式的概念]
形如5、a、a+b、ab、、-x3、、（a≥0）的式子，它们都是用基本运算符号(包括____、____、____、____、____和____)把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
设计意图：给出代数式的概念，使学生理解代数式的概念并熟练掌握.
探究4若+
+=0，则n
，x，y的值为__________.
解：由+
+=0，
得16-4n=0，x+2=0，y-2=0，
所以n=4，x=-2，
y=2.
设计意图：本题是对二次根式进一步进行巩固，让学生学会处理与二次根式相关的数学问题.
【课堂小结】
1.
二次根式的概念；
2.
二次根式有意义的条件；
3.
二次根式的性质；
4.
代数式的概念.
【板书设计】
二次根式
1.
二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
2.
二次根式有意义的条件：①被开方数大于或等于0，即a＞0或a=0；
②若有分母，则还需保证分母不为0；
3.
二次根式的性质：[双重非负性]当a≥0时，≥0；
性质1：＝a（a≥0）
性质3：＝a（a≥0）
4.
代数式的概念：用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式.
设计意图：通过小结，帮助学生构建本节课知识体系.
