微专题四：双线段最值+（PA+K*PB）型
类型一：胡不归模型
考法指导
胡不归模型问题解题步骤如下；
将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【典例精析】
例题1. 如图1-1所示，A是出发地，B是目的地，直线AD为驿道，AD以外为砂地，在驿道和砂地上的行走的速度分别为V1和V2，在AC上找一点D，使从A→D→B的行走时间最短。
【解法】step1：设总时间t，,提取系数转化为BD+AD（<1）形式；
Step2：如图1-2在AD一侧构造α，使sinα=，根据锐角三角函数定义则有AD=DG，问题则转化为BD+DG最小值问题；
Step3：根据两点之间线段最短易知DG+DB≥BG,当且仅当B、D、G三点共线时取等号如图1-3所示，再利用垂线段最短，只需过点B作BG⊥AE于点G，此时垂线段即所求最小值。
【针对训练】
1．（2019·湖南中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选B．
2．（2019·湖南中考真题）已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为．
【详解】
(1)函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则顶点；
(2)，，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD=，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四边形ADBM为菱形，
又∵，
菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点，则点N，
则，
，故有最大值，此时，
故点；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，
此时，
则最小值，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，
∴OF=，
∴F(-，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO?tan∠FAQ=，
∴Q(0,)，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点，而点，
则，
即的最小值为．
3．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.
【详解】
解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．
4．（2019·天津中考真题）已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【详解】
解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴．即．
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴．
由，得，，
∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．
如图，过点作轴，垂足为，则点．
∴，．得．
∴在中，．
∴．
由已知，，
∴．
∴．
（Ⅲ）∵点在抛物线上，
∴．
可知点在第四象限，且在直线的右侧．
考虑到，可取点，
如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，
有，得，
则此时点满足题意．
过点作轴于点，则点．
在中，可知．
∴，．
∵点，
∴．解得．
∵，
∴．
∴．
5．（2019·重庆中考真题）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，Q的坐标（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
【详解】
解：（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，
此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：
∴点J（ , ）
∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且
∴；
（2）由（1）知，点P（0， ），
∵把点P向上平移 个单位得到点Q
∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G
①如图2
G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝＝＝
∴，解得：|IO|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；
②如图3，
当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）
④如图5
当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）
综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）
6．（2017·辽宁中考真题）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）存在，1＋，1－；（3）(－1，4)
【详解】
解：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）存在点P，使∠APB=90°．当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．
设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，∴ ，∴PH2=BH?AH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1=，m2=，∴点P的横坐标为： 或；
（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴tan∠DAB==1，∴∠DAB=45°．过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG．
由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+DQ，∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．
由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．
∵A（3，0），D（﹣2，5），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，∵B点横坐标为﹣1，∴y=1+3=4，∴Q（﹣1，4）．
类型二：阿氏圆模型
考法指导
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB∽△CAP 推出 PA2 ，即：半径的平方=原有线段 构造线段。
【典例精析】
例题1.如图1所示，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
Step1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
Step2：计算连接线段OP、OB长度；
Step3：计算两线段长度的比值；
Step4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似:
Step5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值。
【针对训练】
1．（2018·广西中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．
【详解】
（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）
解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
微专题四：双线段最值+（PA+K*PB）型
类型一：胡不归模型
考法指导
胡不归模型问题解题步骤如下；
将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1），若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
【典例精析】
例题1. 如图1-1所示，A是出发地，B是目的地，直线AD为驿道，AD以外为砂地，在驿道和砂地上的行走的速度分别为V1和V2，在AC上找一点D，使从A→D→B的行走时间最短。
【解法】step1：设总时间t，,提取系数转化为BD+AD（<1）形式；
Step2：如图1-2在AD一侧构造α，使sinα=，根据锐角三角函数定义则有AD=DG，问题则转化为BD+DG最小值问题；
Step3：根据两点之间线段最短易知DG+DB≥BG,当且仅当B、D、G三点共线时取等号如图1-3所示，再利用垂线段最短，只需过点B作BG⊥AE于点G，此时垂线段即所求最小值。
【针对训练】
1．（2019·湖南中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．10
2．（2019·湖南中考真题）已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
3．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
4．（2019·天津中考真题）已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；
（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．
5．（2019·重庆中考真题）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2017·辽宁中考真题）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
类型二：阿氏圆模型
考法指导
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB∽△CAP 推出 PA2 ，即：半径的平方=原有线段 构造线段。
【典例精析】
例题1.如图1所示，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
Step1:连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
Step2：计算连接线段OP、OB长度；
Step3：计算两线段长度的比值；
Step4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似:
Step5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA+K*PB的最小值。
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值。
【针对训练】
1．（2018·广西中考真题）如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
