微专题五：双线段最值+（PA-PB）型
类型一：同侧差值最大问题
考法指导
根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA-PB|≤AB,当A,B,P三点共线时，等号成立，即|PA-PB|的最大值为线段AB的长。
【典例精析】
例题1.两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【解法】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
类型二：异侧差值最大问题
考法指导
将异侧问题通过作对称，转化为同侧问题。
【典例精析】
例题1.两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【解法】作点B关于直线的对称点B’，因为BP=B’P，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
2.如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：．
（3）当最大时，求点P的坐标．
3.抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，
（1）求二次函数的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
4. 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.
(1)直接写出点的坐标；
(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
微专题五：双线段最值+（PA-PB）型
类型一：同侧差值最大问题
考法指导
根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA-PB|≤AB,当A,B,P三点共线时，等号成立，即|PA-PB|的最大值为线段AB的长。
【典例精析】
例题1.两定点A,B位于直线同侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【解法】连接AB并延长交直线于点p，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
类型二：异侧差值最大问题
考法指导
将异侧问题通过作对称，转化为同侧问题。
【典例精析】
例题1.两定点A,B位于直线异侧，在直线上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？
【解法】作点B关于直线的对称点B’，因为BP=B’P，所以当且仅当A，B’，P三点共线时，|PA-PB|值最大。
【针对训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
【答案】2.
【详解】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC=AB=，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴，
∴，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠90°，
∵∠=45°，
∴△为等腰直角三角形，
∴CM==2，
故答案为：2.
2.如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若点P是x轴上任意一点，求证：．
（3）当最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)A（-2，3）；B（0，2）(2)见解析 （3）P（4，0）
【详解】
抛物线与y轴的交于点B，
令x=0得y=2． ∴B（0，2）
∴
∴A（-2，3）；
（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时，
PA-PB=AB．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，
综合上述：?；
（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴?
由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，
∴OP=4，故P（4，0）
3.抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，
（1）求二次函数的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．
【答案】(1)．(2) () () ()
(3)或
【详解】
（1）将代入，
得?．
将，代入，
得?
∵是对称轴，
∴．??????
将（2）代入（1）得
，???．
所以，二次函数得解析式是．
（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴ 直线的解析式是，
又对称轴为，
∴ 点的坐标．???
（3）设、，所求圆的半径为r，
则?
∵ 对称轴为，
∴?．
由（1）、（2）得：
将代入解析式，
得?
整理得：?．
由于 r=±y，当时，，
解得，?，?（舍去），
当时，，
解得，?，?（舍去）．
所以圆的半径是或
4. 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.
(1)直接写出点的坐标；
(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
解：（1）依题意得：；
?（2）① ∵，，∴
? ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为
? 又抛物线经过点与点
? ?∴?解得：
?? ?∴抛物线的解析式为
?∵点P在抛物线上， ∴设点
1)若∽，则，?，解得：（舍去）或，
? ?∴点
2)若∽，则，?，解得：（舍去）或，
? ∴点
???②存在点T，使得的值最大
? 抛物线的对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点
???∵点O、E点关于直线对称， ∴
? 要使得的值最大，即是使得的值最大，
? 根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，的值最大
? 设过B、E两点的直线解析式为，
? ∴?解得：
? ?∴直线的解析式为，
? 当时，
? ∴存在一点使得最大。
