微专题九：设X构造函数法
考法指导
把几何最值问题，通过设X，构造二次函数或一次函数，根据函数的性质求解最值。
目前构造函数法求最值，主要分为两大类别：
第一类为动点的几何最值问题
第二类为函数几何结合的求面积，线段和，差，积的最值问题。
【典例精析】
类型一 函数几何求面积线段最值
例题1．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）①；②点或或
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【针对训练】
1．（2018·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
【详解】
解：（1）∵OA=1，OB=4，
∴A（1，0），B（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
∵点C（0，﹣）在抛物线上，
∴﹣，
解得a=.
∴抛物线的解析式为y=.
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．
理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，
则tan∠ACO=，
∵tan∠OAD=，
∴∠OAD=∠ACO，
∵直线l的解析式为y=，
∴D（0，﹣），
∵点C（0，﹣），
∴CD=，
由AC2=OC2+OA2，得AC=，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需或，
则有或，
解得t1=，t2=，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，
理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，
在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，
在△ADC中，由S△ADC= ，
∴CN=，
∴S△AQP+S△AQC= ，
∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
2．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为 ，E（，﹣）．
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为： ，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
4．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
5．（2018·内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．
【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5，顶点坐标为D（2，﹣9）；（2）①存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；②△PFH周长的最大值为.
【详解】（1）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣5，得
，解得：，
∴y=x2﹣4x﹣5=（x-2）2-9，
∴顶点坐标为D（2，﹣9）；
（2）①存在，
设直线BC的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入得，解得：，
∴BC解析式为y=x﹣5，
当x=m时，y=m﹣5，
∴P（m，m﹣5），
当x=2时，y=2﹣5=﹣3，
∴E（2．﹣3），
∵PF∥DE∥y轴，
∴点F的横坐标为m，
当x=m时，y=m2﹣4m﹣5，
∴F（m，m2﹣4m﹣5），
∴PF=（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）=﹣m2+5m，
∵E（2，﹣3），D（2，﹣9），
∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6，
如图，连接DF，
∵PF∥DE，
∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，
即﹣m2+5m=6，
解得m1=3，m2=2（舍去），
当m=3时，y=3﹣5=2，
此时P（3，﹣2），
∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF为平行四边形；
②由题意，在Rt△BOC中，OB=OC=5，
∴BC=5，
∴C△BOC =10+5，
∵PF∥DE∥y轴，
∴∠FPE=∠DEC=∠OCB，
∵FH⊥BC，
∴∠FHP=∠BOC=90°，
∴△PFH∽△BCO，
∴，
即C△PFH=，
∵0＜m＜5，
∴当m=﹣时，△PFH周长的最大值为.
6．（2019·吉林中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）8；（3）①（），（），（）；②6.
【详解】
解：（1）因为抛物线与轴交于点，
把代入，得
，
解得，
所以此抛物线的解析式为，
即；
（2）令，得，
解得，
所以，
所以；
解法一：
由（1）知，抛物线顶点坐标为，
由题意，当点位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
最大值为；
解法二
由题意，得，
所以
，
所以当时，有最大值8；
（3）①当时，；
当时，；
当时，；
②当h=9时
若-m2+2m=9，此时△＜0，m无解；
若m2-2m+1=9，则m=4，
∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴△BCP的面积=（4+1）×3=6；
7．（2017·贵州中考真题）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.
(1)求m的值和反比例函数的表达式；
(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
【答案】（1）m＝8，反比例函数的表达式为y＝；（2）当n＝3时，△BMN的面积最大．
【详解】
解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），
∴m=2×1+6=8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴8=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，
∴n=3时，△BMN的面积最大．
8．（2017·四川中考真题）如图1，抛物线：与：相交于点O、C，与分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）求的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①P（，）；②E（，），．
【详解】：
（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B为OA的中点，∴b=﹣2a，∴；
（2）联立两抛物线解析式可得：，消去y整理可得，解得，，当时，，∴C（，），过C作CD⊥x轴于点D，如图1，∴D（，0），∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴，∴CD2=AD?OD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴OA=-2a=，CD==1，∴；
（3）①抛物线，∴其对称轴，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（，1），则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=kx，∴1=k，得k=，∴OC的解析式为，当时，，∴P（，）；
②设E（m，）（），则，而B（，0），C（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，由，解得：k=，b=-2，∴直线BC的解析式为，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则，即x=
∴EN=
∴
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC
，∵，∴当时，，当时，，∴E（，），．
9．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=．
【详解】
（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，
∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），
分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H，
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴，即，
∴HN=t，
∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t，
即S=，
当△PBQ存在时，0＜t＜2，
∴当t=1时，S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=；
②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=．
综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．
10．（2017·四川中考真题）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
【答案】（1）y=4x2﹣16x+12；（2）P（，﹣3）．（3）不存在．理由见解析.
【详解】
（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），
∴y=4x2﹣16x+12，
（2）如图，设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．
∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，
∴H（m，﹣4m+12），
∴S△PBC=S△PHC+S△PHB=（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）?3=﹣6（m﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴m=时，△PBC面积最大，
此时P（，﹣3）．
（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a=5 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
11．（2017·天津中考真题）已知抛物线（是常数）经过点.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.
【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（2）；（3）.
【详解】
(1)∵抛物线经过点，
∴0=1-b-3，解得b=-2.
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为（1，-4）.
(2)①由点P(m，t)在抛物线上，有.
∵关于原点的对称点为，有P’（-m，-t）.
∴，即
∴
解得
②由题意知，P’（-m，-t）在第二象限，
∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0.
又抛物线的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t<0.
过点P’作P’H⊥x轴，H为垂足，有H（-m，0）.
又，，
则
当点A和H不重合时，在Rt△P’AH中，
当点A和H重合时,AH="0,"，符合上式.
∴，即
记，则，
∴当t=-时，y’取得最小值.
把t=-代入，得
解得
由m>0，可知不符合题意
∴.
12．（2017·贵州中考真题）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）S=﹣8t2+32t+32，当t=2时，S有最大值，且最大值为64；（3）H（，11），（， ）．
【详解】
（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线的解析式为，即 ；
（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64；
（3）存在，∵抛物线的对称轴为：x==，∵直线x=垂直x轴，∴∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°时，由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4，所以，直线BH可设为：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，∴直线BH：y=2x+4，当x=时，y=11，∴H（，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，∴△AHG∽△BHN，∴，∴，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解得：HN=（负值舍去），∴H（， ），综上所述，H（，11），（， ）．
13．（2017·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0， ），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．
（1）等边△ABC的边长为_______；
（2）在运动过程中，当t=_______时，MN垂直平分AB；
（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；
②当点P在线段AC上运动时，设，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）3；（2）3；（3）①t=1或或；②S= ，当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ）．
【详解】
解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM=6cm，ON=，∴tan∠OMN= =，∴∠OMN=30°，∴∠ONM=60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∠NOA=30°，∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA=OM=×6=3．故答案为：3．
（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB=3，所以t=3．故答案为：3．
（3）①如图1中，由题意BP=2t，BM=6﹣t，∵∠BEM=90°，∠BME=30°，∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，∵∠BAC=60°，∴EF=AE=t，当点P在EF下方时，PE=BE﹣BP=3﹣t，由，解得0≤t＜，∵△PEF与△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=1或t=．
当点P在EF上方时，PE=BE﹣BP=t-3，∵△PEF与△MNO相似，∴=或=，∴=或=，解得t=或3．∵0≤t≤，且t-3＞0，即＜t≤，∴t=.
综上所述，t=1或或．
②当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，由题意，EF=t，FC=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=PF=，∴S=?EF?PH=×t×= =，∵≤t≤3，∴当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ），当t=3时，点P与F重合，故P点在EF下方不成立．
故S= ，当t=时，△PEF的面积最大，最大值为，此时P（3， ）．
14．（2017·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①D点坐标为（2，5）或（2，﹣1）；②点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜．
【详解】
解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）易得BC的解析式为y=﹣x+3，∵直线y=x﹣m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x﹣m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF===，当t=2时，PE+EF的最大值为；
（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x==2，设D（2，y），则BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；
综上所述：D点坐标为（2，5）或（2，﹣1）．
②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（2，）或（2，），所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜．
15．（2017·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
（2）点E是二次函数（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
【答案】（1）；（2）OE?AE的最大值为4，抛物线的表达式为；（3）．
【详解】
解：（1）当t=12时，B（4，12）．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1，∴抛物线的解析式，∴，∴D（，），∴顶点D与x轴的距离为．故答案为．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b，∵OA=4，∴AE=4﹣（﹣b）=4+b，∴OE?AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4，∴OE?AE的最大值为4，此时b的值为﹣2，∴抛物线的表达式为．
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．
∵△DMN≌△FOC，∴MN=CO=t，DG=FH=2．∵D（﹣，﹣），∴N（﹣，﹣ +2），即（，）．把点N和坐标代入抛物线的解析式得： =（）2+b?（），解得：t=±．∵t＞0，∴t=．
16．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；（3）P（3，）或（5，）．
【详解】
解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如图，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（10﹣3t）?t==﹣（t﹣）2+，当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t=时，S△MBN最大=．
答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（8，0），C（0，6）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为 ．
∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，），如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，）．
∴EP=﹣（）=，当△MBN的面积最大时，S△PBC=9 S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP?m+?EP?（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3，）或（5，）．
17．（2017·四川中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．
【答案】（1）抛物线解析式为；（2）点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为.
【详解】
解：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，
∴直线BD解析式为y=2x-8，
联立直线BD和抛物线解析式可得解得或，
∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；
（3）设∵AB=5，OC=2，
∴S△PAB=，
，
，
，且，
，
∴当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为.
【典例精析】
类型二 动点几何最值
例题1．（2019·江苏中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm?)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图
=15
过M点做MH⊥AC，则
∴
∴
=
=
因为，所以当时，取最大值.
【针对训练】
1．（2017·浙江中考真题）在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
(1)如图，若，则 ．
(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为 ．
【答案】.
【详解】
（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；所以S=；（2）设BC=x,则AB=10-x，=（-10x+250），当x=时，S最小，即BC=.
2．（2019·内蒙古中考模拟）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
【答案】 3 18
【详解】
设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，
根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t﹣3）2+18，
∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．
3．（2019·江苏初三月考）已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．
（1）填空： ；
（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？
【答案】（1）60；（2）；（3）x时，y有最大值，最大值．
【详解】
（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．
故答案为60．
（2）如图1中．
∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OAOB＝2，ABOA＝2，
∴S△AOC?OA?AB2×2．
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC，
∴OP．
（3）①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．
则NE＝ON?sin60°x，
∴S△OMN?OM?NE1.5xx，
∴yx2，
∴x时，y有最大值，最大值．
②当x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
作MH⊥OB于H．
则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM?sin60°（8﹣1.5x），
∴yON×MHx2+2x．
当x时，y取最大值，y，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，
作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，
∴y?MN?OG＝12x，
当x＝4时，y有最大值，最大值＝2．
综上所述：y有最大值，最大值为．
4．（2019·宁夏中考真题）如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．
（1）试说明不论为何值时，总有∽；
（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；
（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形为平行四边形；（3）当时，四边形的面积最大，最大值为．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，又，
∴∽；
（2）当时，四边形为平行四边形，
∵，，
∴四边形为平行四边形；
（3）∵，
∴，
∵∽，
∴，即，
解得，，
∵，
∴，即，
解得，，
则四边形的面积，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为．
5．（2019·山东中考真题）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，，过点作，交直线于点．点从点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．
(1)求证：；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)面积的最大值是50．
【详解】
(1)证明：过作，交于，交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
∴0≤x≤5，
由题意得：BE=2x，
∴BN=EN=x，
由（1）知：AE=EF=EC，
分两种情况：
①当0≤x≤时，如图1，
∵AB=MN=10，
∴ME=FN=10-x，
∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，
∴y；
②当＜x≤5时，如图2，过E作EN⊥BC于N，
∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，
∴y=；
综上，y与x之间关系的函数表达式为： ；
（3）解：①当0≤x≤时，如图1，
，
∵-2＜0，
∴当x=时，y有最大值是；
②当＜x≤5时，如图2，
∴y=2x2-5x=2（x-）2-，
∵2＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大
∴当x=5时，y有最大值是50；
综上，△BEF面积的最大值是50．
6．（2017·黑龙江中考真题）如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）t=1或．
【详解】
解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ?sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP?AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP?QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR?QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）
=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；
（3）存在，由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|．∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴=，∴16t=9（2﹣t），∴t=．即：t=1或秒时，∠PQR=90°．
7．（2017·江苏中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE= ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）．
【详解】
（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE=，
故答案为：；
（2）①∵PF⊥EG，∴∠EOF=90°，
∴∠EOF+∠A=180°，∴A、P、O、E四点共圆，
∴点O一定在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠BAC=45°，∴AC==，
∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP=∠OEP=45°，
∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=，
即点O经过的路径长为；
（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：
则MN∥AE，∵ME=MP，∴AN=PN，∴MN=AE，
设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE= =，
∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，
即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．
微专题九：设X构造函数法
考法指导
把几何最值问题，通过设X，构造二次函数或一次函数，根据函数的性质求解最值。
目前构造函数法求最值，主要分为两大类别：
第一类为动点的几何最值问题
第二类为函数几何结合的求面积，线段和，差，积的最值问题。
【典例精析】
类型一 函数几何求面积线段最值
例题1．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）①；②点或或
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【针对训练】
1．（2018·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
4．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2018·内蒙古中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．
6．（2019·吉林中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
⑴求此抛物线的解析式；
⑵当点位于轴下方时，求面积的最大值；
⑶设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
7．（2017·贵州中考真题）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.
(1)求m的值和反比例函数的表达式；
(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
8．（2017·四川中考真题）如图1，抛物线：与：相交于点O、C，与分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）求的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
10．（2017·四川中考真题）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
11．（2017·天津中考真题）已知抛物线（是常数）经过点.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.
12．（2017·贵州中考真题）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2017·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0， ），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．
（1）等边△ABC的边长为_______；
（2）在运动过程中，当t=_______时，MN垂直平分AB；
（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；
②当点P在线段AC上运动时，设，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的坐标．
14．（2017·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
15．（2017·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
（2）点E是二次函数（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
16．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2017·四川中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．
【典例精析】
类型二 动点几何最值
例题1．（2019·江苏中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm?)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图
=15
过M点做MH⊥AC，则
∴
∴
=
=
因为，所以当时，取最大值.
【针对训练】
1．（2017·浙江中考真题）在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
(1)如图，若，则 ．
(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为 ．
2．（2019·内蒙古中考模拟）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm2．
3．（2019·江苏初三月考）已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．
（1）填空： ；
（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？
4．（2019·宁夏中考真题）如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．
（1）试说明不论为何值时，总有∽；
（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；
（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．
5．（2019·山东中考真题）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，，过点作，交直线于点．点从点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．
(1)求证：；
(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求面积的最大值．
6．（2017·黑龙江中考真题）如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2017·江苏中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE= ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
