微专题十：一元二次方程配方法，判别式法及夹逼法
类型一 一元二次方程判别式求解
考法指导
利用一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程 有两个不相等的 实数根．
②当Δ＝0时，方程 两个相等的 实数根．
③当Δ＜0时，方程 没有 实数根．
从而出现的不等式，进行求解最值。
【典例精析】
例题1. 已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
解：由题意得
所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以
即
解得
m的最大值是，m的最小值是－1。
【针对训练】
1．（2017·四川中考真题）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】D
【详解】
∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
类型二 配方法求最值
考法指导
通过对所求式子运用一元二次方程配方整理，求其最值。
【典例精析】
例题1.（2018中考真题）设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【答案】-1
【解析】
当，，即时，
上式等号成立。故所求的最小值为－1。
【针对训练】
1．（2017·四川中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
【答案】．
【详解】
∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA?DN=BD?MD=4MD，∴MD+=MD+==，∴当，即MD=时MD+有最小值为．故答案为：．
2.我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2-4（m+1）+9的值总是正数
（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值
【答案】（1）见详解．（2）4
【详解】
（1）4m2-4（m+1）+9
=4m2-4m-4+9
=4m2-4m+5
=（2m-1）2+4；
∴不论m取任何实数，代数式4m2-4（m+1）+9的值总是正数．
（2）由（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得：
m=时，此代数式的值最小，这个最小值是：4．
类型三 “夹逼法”求最值
考法指导
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【典例精析】
例1. （2018四川中考真题）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为，所以
又因为，代入
得，所以
又因为，代入
得，所以
所以3
中考常见最值问题总结归纳
微专题十：一元二次方程配方法，判别式法及夹逼法
2020
WORKING PLAN REPORT
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利用一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程 有两个不相等的 实数根．
②当Δ＝0时，方程 两个相等的 实数根．
③当Δ＜0时，方程 没有 实数根．
从而出现的不等式，进行求解最值。
【典例精析】
例题1. 已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。
【针对训练】
1．（2017·四川中考真题）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
类型二 配方法求最值
考法指导
通过对所求式子运用一元二次方程配方整理，求其最值。
【典例精析】
例题1.（2018中考真题）设a、b为实数，那么的最小值为_______。
【针对训练】
1．（2017·四川中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
2.我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：（1）不论m取任何实数，代数式4m2-4（m+1）+9的值总是正数
（2）当m为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值
类型三 “夹逼法”求最值
考法指导
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
【典例精析】
例1. （2018四川中考真题）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
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