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第十八章
四边形
核心目标
掌握矩形的性质定理及推论，熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算．
课前学案
1.矩形的四个角都是__________．
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．
2.矩形的对角线__________．
直角
相等
一半
课堂导学
知识点1：矩形的性质
【解析】(1)由矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，得出∠DAF＝∠AEB，
AD＝AE，由AAS证明△ADF≌△EAB；
(2)由HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得∠EDF＝∠EDC，即可得出结论．
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵AE＝BC，
∴AD＝AE，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
(2)由(1)得DF＝AB，∵AB＝DC，
∴DF＝DC又DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE，
∴∠EDF＝∠EDC，∴DE是∠FDC的平分线．
课堂导学
【解析】 （1）由矩形的性质得出AD=BC，AD//BC， ∠ B= ∠ C=90 ° ，得出∠DAF= ∠ AEB，AD=AE，由AAS证明△ ADF≌ △ EAB；
（2）由HL证明Rt △ DEF≌ Rt △ DEC,得∠EDF= ∠ EDC，即可得出结论.
【点拔】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直定义，平行线的性质的应用，解此题的关键是推出△ADF≌△EAB.
课堂导学
对点训练一
2.如上图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若
∠ABD＝30°，AD＝2，则AC等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
A
课堂导学
A
3.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝CE，
∴BE＝CF，∴△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF.
课堂导学
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB＝CE，
∴AC＝CE.
课堂导学
知识点2：直角三角形斜边上的中线的性质
课堂导学
【点拔】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键．
【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．
课堂导学
对点训练二
4
4
课后练案
(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
四边形ADCE也是平行四边形，
∴AE＝BD，AE＝CD，
∴BD＝CD，
∴D为BC的中点．
课后练案
(2)证明：∵四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴AB＝AC.
课后练案
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∵三角形△EBC是等边三角形，∴∠ECB＝∠EBC＝60°，
EC＝EB，∴∠ECD＝∠BCD－∠ECB＝30°，
∠EBA＝90°－60°＝30°，∵△FCD是等边三角形，
∴∠FCD＝60°，CF＝CD，∴∠ECF＝∠FCD－∠ECD＝30°；
课后练案
(2)∵AB＝CD，CF＝CD，
∴AB＝CF，又∠EBA＝∠ECF＝30°，BE＝CE，
∴△EBA≌△ECF，∴AE＝FE.
拓展提升
(1)在矩形ABCD中，
∵AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，
∵F为DE中点，∴DF＝CF，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴∠ADC＋∠CDF＝∠BCD＋∠DCF，
即∠ADF＝∠BCF；
拓展提升
(2)连接BF, ∵BE＝BD，F为DE的中点，
∴BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，
即∠BFA＋∠AFD＝90°，
∵AD＝BC，∠ADF＝∠BCF，DF＝CF，
∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD＝∠BFC，
∵∠AFD＋∠BFA＝90°，
∴∠BFC＋∠BFA＝90°，即∠AFC＝90°.
∴AF⊥CF.
感谢聆听
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第十八章
四边形
核心目标
掌握矩形的判定方法，能运用矩形的判定方法解决简单的证明题和计算题．
课前学案
1._________________________________叫做矩形．
2.对角线__________的平行四边形是矩形．
3.有三个角是__________的四边形是矩形．
相等
有一个角是直角的平行四边形
直角
课堂导案
知识点：矩形的判定
证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，又BE∥CD
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC即∴∠BDC＝90°，
∴?BECD是矩形．
【解析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，得到?BECD是矩形．
【点拔】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
课堂导案
课堂导案
对点训练
∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，∴AE∥CD，AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
课堂导案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC，BD＝2OB，
又∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC，
∴BD＝AC，
∴?ABCD是矩形．
课堂导案
(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CBF.
课堂导案
(2)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∴∠CDE＋∠DEB＝180°，
∵∠DEB＝90°，
∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
则四边形BFDE为矩形．
课后练案
(1)∵AF∥DC，∴∠AFE＝∠DCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC，∴AF＝DC；
(2)矩形．由(1)，有AF＝DC且AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD＝CF，∴四边形AFDC是矩形．
课后练案
课后练案
(2)∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°.
∴平行四边形DFBE是矩形．
课后练案
(1)BC＝3AD，理由：易知四边形ABED，AFCD是平行
四边形，又AEFD是平行四边形，
则AD＝BE＝EF＝FC，所以BC＝3AD.
(2)由AB＝DC，得AB＝AF，又BE＝EF，
∴AE⊥BF，∴?AEFD是矩形．
拓展提升
(1)证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；
拓展提升
感谢聆听
