(共32张PPT)
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
课堂讲解
课时流程
1
2
勾股定理
勾股定理与图形面积
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具有一种特定的关系，这一关系称为勾股定理. 早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用弦图证明了这个定理.
知1－导
1
知识点
勾股定理
探究
在行距、列
距都是1的方格网
中，任意作出几
个 以格点为顶点
的直角三角形，
分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，
如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积.
知1－导
观察图(1)，并填写:
S1=_______个单位面积；
S2=_______个单位面积；
S3=_______个单位面积.
观察图(2)，并填写:
S1=_______个单位面积；
S2=_______个单位面积；
S3=_______个单位面积.
图 (1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样 的关系，用它们的边长表示，是__________.
知1－讲
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.
知1－讲
要点精析：
(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；
(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；
(3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边．
因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是Rt△ABC的三边，所以能分清斜边和直角边，从而可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即
一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；
二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2
（假设c是斜边）；
三化简．
知1－讲
知1－讲
错解：第三边的长为
错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，故将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是斜边长为5. 但这一理解的前提是3，4为直角边长，而题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．所以需要分情况求解．
例2 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
知1－讲
正确解法：
(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边的长为
知1－讲
运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过“一分二代三化简”这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，则需要运用分类讨论思想求解．
知1－练
1
在△ABC中，∠C＝90°，AB=c，BC=a，CA=b .
(1)a=6，b=10，求c；
(2)a=8，c=17，求b；
知1－练
2
(1)已知一直角三角形的两边长分别为8，15，则第三边长为____________；
(2)已知一直角三角形的两边长分别为2和4，则第三边长的平方为__________．
知1－练
C
3
(中考·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是
∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的
长为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
知1－练
D
4
(中考·黔西南)一直角三角形的两边长分别为
3和4，则第三边长为( )
A．5 B. C. D．5或
2
知识点
勾股定理与图形面积
知2－讲
1．命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；这种方法以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达到目的．
知2－讲
3. 用拼图法证明命题的思路：
(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→
写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导命题结论．
知2－讲
例3 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
知2－讲
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是________； (用图中字母表示)
知2－讲
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知2－讲
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
导引：
知2－讲
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝直角三角形的面积．
知2－讲
(1)24
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为S3，直角三角形的面积为S，
则S阴影＝S1＋S2＋S－S3
＝S＝ ×3×4＝6.
解：
知2－讲
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、
圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜
边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积
公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容
易联想到勾股定理．
知2－练
1 如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12
B．13
C．144
D．194 ?
C
知2－练
D
2 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
知2－练
C
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26
C．47 D．94
1．运用勾股定理时应注意以下几点：
(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理.
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌乱用勾股定理.
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条是斜边.
2．勾股定理的适用条件：
直角三角形，它反映了直角三角形三边的关系，即已知直角三角形两边长可求第三边长．对于非直角三角形问题，可根据图形特征构造直角三角形．
3．由勾股定理的基本关系式：
a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式：
c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ (a－b)2 ＋ 2ab ；
a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
(共27张PPT)
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
课堂讲解
课时流程
1
2
求实际中长（高）度的应用
求实际中的最短距离的应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
思考：
一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
知1－讲
1
知识点
求实际中长（高）度的应用
勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三角形)与数量关系(三边关系)有机地结合起来，在几何及日常生活实际中都有着广泛的应用．由于勾股定理应用的前提条件是直角三角形，因此在应用时，对于非直角三角形的几何问题及生活实际问题，都要将它们建模成直角三角形问题．常见应用主要有如下类型：
知1－讲
(1)已知直角三角形的两边求第三边；
(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系；
(3)证明含有平方关系的几何问题；
(4)作长为 (n≥1，且n为整数)的线段；
(5)对于一些非直角三角形的几何问题、日常生活实
际中的应用问题，首先要将它们建立直角三角形
模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决．
知1－讲
现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上 的云梯救人，如图 (1). 已知云
梯最多只能伸长到 10 m，消防
车高3m. 救人时云梯伸至最长，
在完成从9 m高处救人后，还
要从12 m高处救人，这时消防
车要从原处再向着火的楼房靠
近多少米？(精确到0.1m)
例1
知1－讲
如图(2)，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的
云梯，B是第一次救人
的地点，D是第二次救
人的地点，过点A的水
平线与楼房ED的交点为O .
则OB=9-3 = 6(m) ,
OD =12-3 = 9(m).
分析：
根据勾股定理，得
AO2 = AB2 - OB2 = 102 -62 = 64.
解方程，得 AO = 8(m).
设AC =x，则OC = 8-x，于是根据勾股定理，得
OC2 + OD2 = CD2，
即(8 -x)2 +92 = 102， 从而可以解出x.
知1－讲
知1－讲
求两点P1(－3，5)，P2(1，2)间的距离．
例2
过点P1作x轴的垂线，过点P2作y轴的垂线，两垂线的交点与P1，P2构成一个直角三角形，
P1P2恰好为此直角三角形的斜边，从而可利用勾股定理求解．
导引：
知1－讲
如图，过点P1作x轴的垂线，过点P2作y轴的垂线，
设两垂线的交点为C，则点C的坐标为(－3，2)．
易得CP1＝3，CP2＝4，且∠P1CP2＝90°.
在Rt△P1CP2中，
利用勾股定理得
P1P2＝
即P1与P2两点间的距离为5.
解：
知1－讲
在平面直角坐标系中求两点之间的距离，需要借助x，y轴的平行线构造直角三角形，充分利用点的坐标和勾股定理求线段的长.
知1－练
B
1
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( )
A．8米 B．10米
C．12米 D．14米
知1－练
C
2
如图，一棵树在离地面4.5 m处断裂，树的顶部落在离底部6 m处．则这棵树折断之前高( )
A．10.5 m
B．7.5 m
C．12 m
D．8 m
知1－练
A
3
如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，
这时梯子底端B与墙脚C的距离为0.7米，如果梯子滑动后停在DE的位置，测得BD长为0.8米，则梯子顶端A下滑了( )
A．0.4米 B．0.3米
C．0.5米 D．0.2米
2
知识点
求实际中的最短距离的应用
知2－讲
求最短距离总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”，利用平移把“折”转“直”，利用平面展开图把“折”转“直”. 运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离 .
知2－讲
如图①，一个牧童正在小河的南4 m的A处牧马，此时正位于他的小屋B的西8 m北7 m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，
然后回家．他要完成这件事情
所走的最短路程是多少？
例3
知2－讲
根据轴对称作图，先作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B，A′B的长就是所要求的最短路线长，可将A′B构造成一个直角三角形的斜边，借助勾股定理解决．
导引：
知2－讲
如图②，作点A关于河岸MN的对称点A′，连接A′B
交MN于点P，连接AP，则AP＋PB＝A′B就是最短
路线．过B作BD垂直直线AA′于点D.
在Rt△A′DB中，
由勾股定理求得A′B＝17 m.
即他要完成这件事情所走的
最短路程是17 m.
解：
知2－讲
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最
短路径的方法：先找到其中一个点关于这条直线的对称
点，连接对称点与另一个点的线段长就是最短路径
长．以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一
个两条直角边已知的直角三角形，将分散的线段集中在
同一三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线同侧的
两点到直线上一点所连线段的和的最短路径长．
知2－讲
例4 如图所示的长方体的高为4 cm，底面是长为5 cm，宽为3 cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点B.求：
(1)蚂蚁经过的最短路程；
(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一
条棱)的最长路程．
知2－讲
(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．
(2)最长路线应该是依次经过长为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3 cm，4 cm，5 cm的棱．
导引：
(1)将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三
种方式，如图所示．若蚂蚁沿侧面爬行，如图①，
则爬行的最短路程为
若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图②③，
解：
则爬行的最短路程分别为
因为 ＜4 ＜3 ，
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm.
(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以蚂蚁沿着棱
爬行的最长路程是30 cm.
知2－讲
几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用“两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算．
知2－练
1 (中考·东营)如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________．
在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离
之和最短的方法：
先找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接
对称点与另一个点的线段与该直线的交点即为所找的
点，对称点与另一个点的线段长就是最短距离之
和．以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出
一个两条直角边已知的直角三角形，然后利用勾股定
理即可求出最短距离之和．
请完成对应习题。
(共23张PPT)
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第3课时 勾股定理的几何应用
课堂讲解
课时流程
1
2
用勾股定理在数轴上表示实数
勾股定理在几何问题中的应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1. 已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ，
∠C＝ 90°，则 a、b、c 三者之间的关系是________；
2. 若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是_________ ；
3. ______________叫做无理数.
知1－导
1
知识点
用勾股定理在数轴上表示实数
例1 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的
值是( )
A. ＋1 B．－ ＋1
C. －1 D.
C
知1－导
先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点
间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三
角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为
∴－1到A的距离是 . 那么点A所表示的数为
－1. 故选C.
解析：
知1－讲
本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离.
利用 a＝ 可以作出．
如图2，先作出与已知线段AB垂直，且与已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a的线段AC，连接BC，则线段BC即为所求．
如图2，BC就是所求作的线段．
例2 如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为 a的
段．(保留作图痕迹，不写作法)
导引：
解：
这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长(为整数)是解题的关键．
知1－练
1
(中考·台州)如图，数轴上的点O，A，B分别表示数0，1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC的长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示
的数是( )
A. B.
C. D.
B
知1－练
2
如图，点C表示的数是( )
A．1 B. C．1.5 D.
D
知1－练
C
3
如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为( )
A．2 B. －1
C. －1 D.
2
知识点
勾股定理在几何问题中的应用
知2－讲
对于一些非直角三角形的几何问题、日常生活实际中的应用问题，首先要将它们建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决．
知2－讲
已知：如图, 在Rt △ABC中，两直角边AC = 5, BC = 12. 求斜边上的高CD的长
在Rt△ABC中，
AB2 =AC2 +BC2 = 52 + 122 = 169,
AB = = 13．
又∵ Rt△ABC的面积
∴
例3
解：
知2－讲
同一直角三角形的面积的不同求法的结果是一致的，称为等积法。求直角三角形斜边上的高常用这种方法．
知2－讲
例4 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC
＝10. 求BC的长．
题中没有直角三角形，可以通
过作高构建直角三角形；过点
A作AD⊥BC于D，图中会出现
两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，可建立起直角三角形之间的联系．
导引：
知2－讲
如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴ ∠CAD＝30°， ∴ CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
解：
知2－讲
利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：
作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．
知2－练
C
1 如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，
长为无理数的边有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
知2－练
B
2 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝
6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点
A重合，折痕为DE，则BE的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．10 cm
知2－练
B
3
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5 B．2
C．2.25 D．2.5
1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：
单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度和面积：
综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.
2．应用勾股定理解题的方法：
(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构造直角三角形，应用勾股定理求解；
(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建方程，解答计算问题；
(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾股定理解决实际问题．
请完成对应习题。
