(共36张PPT)
第19章 四边形
19.1 四边形
第1课时 多边形及其内角和
课堂讲解
课时流程
1
2
多边形
多边形的对角线
多边形的内角和
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
知1－导
1
知识点
多边形
观察下列图片，你能找出哪些我们熟悉的图形？
今天我们给图形取了
一个统一的名字——多边
形，那么什么是多边形？
如何定义多边形呢？
知1－导
1. 多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．如三角形、四边形、五边形、…，三角形是最简单的多边形．
知1－导
要点精析：
(1)多边形的条件：
①组成多边形的线段在“同一个平面内”；
②线段“不在同一直线上”且条数要不少于3条；
③线段首尾顺次相接．
(2)多边形的表示法：表示多边形时，先写出多边形的名称，后面依次写出多边形的顶点字母．
知1－讲
2. 多边形的有关概念：
(1)边：组成多边形的线段叫做多边形的边．
(2)顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
(3)内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内
角，简称多边形的角．
(4)外角：在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角
叫做多边形的外角．
知1－讲
例1 下列说法中，正确的有( )
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
导引： (2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在
同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；
其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形有n个
内角和2n个外角，即外角的个数是内角个数的
2倍．(1)(4)说法正确．
知1－讲
理解多边形的定义需注意：
(1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条；
(2)必须是“平面图形”；
(3)线段首尾顺次相接．
知1－练
1
下列图形中，属于多边形的是( )
A．线段 B．角 C．六边形 D．圆
从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成7个三角形，则n的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2
C
D
知1－练
3
一个四边形截去一个角后，可以变成( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．以上都有可能
D
2
知识点
多边形的对角线
知2－讲
对角线：
①定义：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
②从n边形的一个顶点出发，可以引(n－3)条对角线，这些对角线把n边形分成(n－2)个三角形；n边形的对角线条数为 .
知2－讲
例2 (1)从四边形的一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？五边形呢？
(2)从n边形的一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？请说明理由．
根据多边形的定义画出图形，再运用图形可直观地解决问题．
导引：
知2－讲
解：(1)如图①，从四边形的一个顶点可引出1条对角线，共有2条对角线；如图②，从五边形的一个顶点可引出2条对角线，共有5条对角线．
(2)从n边形的一个顶点可引出(n－3)条对角线，共有 条对角线．
知2－讲
理由：如图③，以顶点A1为例，由定义可知，共有三个点(本身与相邻两点)不能与A1连成对角线，即顶点A1，A2，An，因此从顶点A1引出的对角线有(n－3)条．其他顶点以此类推，由于n边形有n个顶点，若用n(n－3)计算，通过观察图形可知，每条对角线都重复了一次，
即n(n－3)是所有对角线条数的2倍，因此n边
形共有 条对角线．
知2－讲
(1)由特殊到一般的思想是解决找规律问题的常用思想.
(2)从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线，n
边形被分成(n－2)个三角形，一个n边形一共可以作 条对角线．
知2－讲
例3 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )
A．十三边形
B．十二边形
C．十一边形
D．十边形
A
知2－讲
导引：如图，从n边形的一个顶点出发作对角线时，与该顶点本身及其相邻的两个顶点不能作，与其余的(n－3)个顶点每个顶点相连都可以作一条对角线，故从n边形的一个顶点出发共可以
引(n－3)条对角线，所以n－3＝10，
所以n＝13.
知2－讲
当已知多边形从一个顶点出发的对角线条数求边数时，
用公式n－3等于对角线条数去求；当已知一个多边形
的对角线总条数求边数时，用公式 等于对角
线总条数去求；当已知多边形从一个顶点出发将多边
形分成的三角形个数求边数时，用公式n－2等于三角
形个数去求．
知2－练
D
1 过多边形的一个顶点可以引2 016条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．2 019
知2－练
C
2 从六边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将六边形分成y个三角形，则x，y的值分别为( )
A．4，3 B．3，3
C．3，4 D．4，4
知2－练
C
3 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，观察探索凸十边形的对角线有( )
A．29条 B．32条
C．35条 D．38条
3
知识点
多边形的内角和
知3－讲
定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于
3的整数)．
证明多边形内角和公式：
方法：
(1)如图1，从n边形的一个顶点出发作对角线；
(2)如图2，在n边形的一条边上取一点与其他的顶点相连；
(3)如图3，在n边形内任取一点与n个顶点相连．
证明多边形内角和公式：
知3－讲
知3－讲
思路：把多边形内角和的问题转化为三角形内角和的问题，即把n边形分成几个三角形，利用三角形内角和定理推导．
拓展：(1)多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°；
(2)多边形内角和定理的应用：已知边数求内角和；已知内角和求边数．
知3－讲
例4 在四边形ABCD中，如果∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数是( )
A．80° B．90°
C．170° D．20°
导引：∵四边形的内角和为(4－2)×180°＝360°，
∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)
＝360°－280°＝80°.
A
知3－讲
已知边数求内角和可直接代入内角和公式：n边形内角和等于(n－2)·180°求解．
知3－讲
例5 (遂宁)若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________．
导引：设这个多边形的边数为n，由题意知，
(n－2)·180°＝1 260°，解得n＝9.
9
知3－讲
已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n－2)·180°＝内角和，解方程求出n的值，即得多边形的边数．
知3－讲
例6 如图，求∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
导引：要求不规则图形的各个角的度数和，
就是想办法在不规则图形中找规则图形，然后把不规则图形的角通过已学的相关知识(本例题中三角形外角的性质)转移到规则的图形中去，即把所求的六个角的和转移到四边形BEFG中去．
知3－讲
解：在四边形BEFG中，
∵∠EBG＝∠C＋∠D，∠BGF＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
＝∠BGF＋∠EBG＋∠E＋∠F＝360°.
知3－讲
(1)化不规则为规则是转化思想中一种常见的方法，它主要经历了两步：第一步找规则图形，第二步将不规则图形的角转化到规则图形中；关键是找规则形．这类题一般有不同的解法，如本例题还可以将四边形DEFH作为基础四边形，请读者自己完成其解法．
(2)若图中没有已知的规则图形，则需通过作辅助线构造规则图形．
知3－练
1
(中考·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
若一个多边形的每个内角均为150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
2
D
B
知3－讲
3
4
(中考·临沂)将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将( )
A．减少180° B．增加90°
C．增加180° D．增加360°
一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510° ， 则这个多边形对角线的条数是( )
A．27 B．35 C．44 D．54
C
C
1. 从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，一个n边形共有 条对角线．
2. 从n边形的一个顶点引对角线可将n边形分成(n－2)个三角形．
3.多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一条边，内角和就增加180°.
请完成对应习题。
(共24张PPT)
第19章 四边形
19.1 四边形
第2课时 多边形的外角和
课堂讲解
课时流程
1
2
多边形的外角
正多边形
四边形的不稳定性
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
知1－导
1
知识点
多边形的外角
多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数)．
多边形外角的概念：
在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角．
知1－导
(1)多边形外角和定理的推导：因为多边形的每个内角与和它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n·180°，则外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°.
(2)注意：多边形的外角和不受边数的影响，是一个定值．
知1－导
(3)正n边形每个内角的度数为 ，
每个外角的度数为 .
知1－讲
例1 已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
导引：由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．
知1－讲
解：设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
知1－讲
用多边形外角和定理求外角，一般可利用方程思想通过列方程解决，即各个外角的和(如本例题)等于360°.
知1－讲
例5 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
导引：设多边形的边数为n. ∵多边形的外角和等于360°，
∴(n－2)×180°＝360°×3－180°，解得n＝7.
C
知1－讲
例6 求正六边形每个内角的度数.
解：设正六边形的内角和为
(6-2)×180°=720°，
所以每个内角的度数为
720°÷6=120°.
知1－讲
例7 (资阳)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A．正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
导引：用多边形的外角和360°除以36°，即可求得边数为10.
C
知1－讲
本题考查了多边形外角和定理，理解任意多边形的外角和都是360°是关键．
知1－练
1
2
C
A
一个多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A．六边形 B．八边形
C．十边形 D．十二边形
(中考·宁波)一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
知1－练
3
B
(中考·十堰)如图，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )
A．140米 B．150米
C．160米 D．240米
知1－练
4
(中考·广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(中考·临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A．108° B．90° C．72° D．60°
5
B
C
2
知识点
正多边形
知2－讲
正多边形：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．
要点精析：正多边形有两个条件：
①各条边都相等；
②各个角都相等．二者缺一不可，若一个多边形的各
条边都相等或各个角都相等并不一定是正多边形．
知2－讲
例8 下列说法：(1)等腰三角形是正多边形；(2)等边三角形是正多边形；(3)长方形是正多边形；(4)正方形是正多边形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
知2－讲
导引：紧扣正多边形的定义识别：
(1)等腰三角形的底边与腰不一定相等，所以不一
定是正多边形；
(2)等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是
正多边形；
(3)长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，
所以不一定是正多边形；
(4)正方形的四条边相等，四个角相等，是正多边 形．
知2－讲
对于正多边形的识别，各条边都相等，各个角都相等，这两个条件缺一不可．
知2－练
1
下列属于正多边形的有( )
①等边三角形；②长方形；③正方形；④梯形；⑤圆．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
知2－练
B
2
下列说法中不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．各边都相等的多边形是正多边形
C．正三角形就是等边三角形
D．六条边、六个内角都相等的六边形都是正六边形
3
知识点
四边形的不稳定性
知3－讲
四边形各边的长都确定，但图形的形状不确定，这就是四边形的不稳定性。
各多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角和随着边数的增加而增加，每增加一条边，内角和就增加180°.
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无
关，其作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
请完成对应习题。
