(共41张PPT)
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形及其边、角性质
课堂讲解
课时流程
1
2
平行四边形的对边平行且相等
平行四边形的对角相等
平行线之间的距离
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
知1－讲
1
知识点
平行四边形的对边平行且相等
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
表示方法：平行四边形用符号“?”表示；如图，平行四
边形ABCD记作“?ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
知1－讲
数学表达式： ?四边形ABCD是平行四边形．即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形 ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，AD∥BC.
知1－讲
要点精析：
(1)平行四边形的定义有两个要素：
①是四边形；②两组对边分别平行．
作为四边形，平行四边形具有一般四边形的一切性质．如有四条边，四个内角，两条对角线，内角和为360°，外角和为360°等．
作为平行四边形，它区别于其他一般四边形的特殊性质为：平行四边形的两组对边分别平行；
知1－讲
(2)平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的
一种判定方法.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
反过来，∵
∴四边形ABCD是平行四边形．
知1－讲
例1 在如图，在?ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形________个．
9
导引：根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边形的定义可以判定四边形ABFE是平行四边形，同理可判定四边形EFCD，四边形AGHD，四边形GBCH，四边形AGPE，四边形EPHD，四边形GBFP，四边形PFCH都是平行四边形，最后还要加上?ABCD，即共有9个平行四边形．
知1－讲
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行
四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是
判定平行四边形的一种方法：两组对边分别平行的四边
形是平行四边形．即对于任何一个几何定义，都具有两
种功能，正用是它的判定，逆用是它的性质．
知1－讲
例2 如图，在?ABCD中，∠1＝∠2，
求证：四边形BEDF是平行四边形．
导引：要证四边形BEDF是平行四边形，由定义知需证：
DE∥BF及DF∥BE，其中DE∥BF可由?ABCD直接得出，而DF∥BE可
通过同位角相等推出．
知1－讲
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即DE∥BF(平行四边形的对边平行)，
∴∠1＝∠DFA.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DFA，∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形(两组对边分别平行
的四边形是平行四边形)．
知1－讲
当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两组对边分别平行；当题目的结论中要证平行四边形时，首先应联想到它的两组对边是否分别平行；正向利用及逆向利用平行四边形的定义是后面学习平行四边形的性质及判定的主要依据．
知1－练
1
C
以长为5，4，7的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出( )个形状不同的平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
知1－讲
边的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
AB＝CD，AD＝BC.
例3 (玉林)如图，在?ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，?ABCD的
周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可得△BCM是等腰三角形，从而得到MC＝BC＝2，再由?ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的长．
C
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，“平行四边形相邻的两边之和等于它的周长的一半”会经常用到．
知1－讲
知1－练
C
1
(中考·衢州)如图，在?ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长为( )
A．8 cm B．6 cm
C．4 cm D．2 cm
知1－练
C
2
(中考·玉林)如图，在?ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，?ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
知1－练
C
3
(中考·宁波)如图，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )
A．BE＝DF B．BF＝DE
C．AE＝CF D．∠1＝∠2
2
知识点
平行四边形的对角相等
知2－讲
角的性质：平行四边形的对角相等；
平行四边形邻角互补．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，
∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，
∠A＋∠D＝180°.
知2－讲
要点精析：
由于组成平行四边形的元素有边、角，因
此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看．
(1)从边看：平行四边形的对边平行且相等；
(2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补．
知2－讲
例4 已知：如图， ?ABCD中，BE平分
∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2，求CD的长.
(2)如果∠AEB= 40°，求∠C的度数.
知2－讲
解：(1)∵BE平分∠ABC，并且AD ∥BC，
∴∠ABE=∠EBC= ∠AEB. ∴AB=AE=2.
又CD=AB， ∴CD=2.
(2)由(1)知∠AEB = ∠ABE = 40°，
∴∠A=180°- (40°+40°)=100°.
又∵∠C=∠A，
∴∠C=100°.
知2－讲
例5 如图，在?ABCD中，已知∠A＋∠C＝120°，求平行四边形各角的度数．
导引：设由平行四边形的对角相等，
得∠A＝∠C，结合已知条件∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A和∠C的度数，进而求出∠B，∠D的度数．
知2－讲
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠D＝180°.
∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°.
∴∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
∴∠B＝∠D＝120°.
知2－讲
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他三个角的度数．
知2－练
在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中，不正确的是( )
A．∠D＝60° B．∠A＝120°
C．∠C＋∠D＝180° D．∠C＋∠A＝180°
(中考·黔西南州)已知?ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°
1
2
D
C
知2－练
3
如图，在?ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是( )
A．80°
B．50°
C．40°
D．30°
D
知3－讲
3
知识点
平行线之间的距离
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．
要点精析：
(1)点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度；
知3－讲
(2)三种距离之间的区别与联系
类别 两点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离
区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度
知3－讲
性质：如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等；即：两条平行线之间的距离处处相等．
知3－讲
要点精析：(1)“两条平行线之间的距离处处相等”在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置；(注：平行线的这一性质常用来解决三角形同底等高问题)
(2)平行线的位置确定后，它们间的距离是定值(是正值)，不随垂线段位置的改变而改变．
知3－讲
例6 已知：如图， ?ABCD中，AB=4，AD=5,∠B=45°.
求直线AD和直线BC之间的距离，
直线AB和直线DC之间的距离.
知3－讲
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离.
∵在Rt △ABE中， ∠AEB=90°， ∠B=45°，AB=4，
∴∠B=∠BAE ，∴BE=AE.
知3－讲
又∵AE2+BE2=AB2，∴2AE2=16. ∴AE=
同理：AF=
所以直线AD和直线BC之间的距离为 直线AB和直线CD之间的距离为 .
知3－讲
例7 已知：如图， 过△ ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ A′B′C ′ .求证: △ ABC的顶点分别是△ A′B′C ′三边的中点.
分析：如图，要证明点A是B′C ′的中点，
只要证明AB′= AC ′.
知3－讲
证明：∵AB ∥B′C，BC ∥AB′ ，
∴AB′= BC .
同理： AC ′=BC. ∴ AB′=AC ′.
同理：BC ′=BA′ ，CA′=CB′ .
所以△ ABC的顶点分别是△ A′B′C ′三边的中点.
知3－练
1
D
如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，分别E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，写出图中面积相等的三角形____________________________
__________________________．
知3－讲
2
△ACE和△DBE,△ACD与△CBD，△ACB与△ADB
1. 平行四边形的定义既可当性质用，又可当判定用．
2. 平行四边形的边角的性质为证明线段的平行和相
等．角的互补和相等提供了很重要的依据．注意常
和全等三角形一起综合运用．
3. 平行线间的距离是指垂线段的长度，平行线的位置
确定了，它们之间的距离就是定值，不随着垂线段
的位置的改变而改变．
请完成对应习题。
(共32张PPT)
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线性质
课堂讲解
课时流程
1
2
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的面积
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
知1－讲
1
知识点
平行四边形的对角线互相平分
探究
如图，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
图中共有几对全等三角形？有哪些线段相等？你能发
现平行四边形的对角线
有什么性质吗？
知1－讲
对角线的性质：平行四边形对角线互相平分．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
知1－讲
例1 已知：如图，?ABCD中，对角线AC，BD分相交于点O，AB⊥AC， AB=3， AD=5，求BD的长.
知1－讲
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC= AD=5.
∵ AB⊥AC，∴ △ABC是直角三角形.
∴ AC=
AO = AC =2.
∴ BO =
∴BD =2 BO =2
知1－讲
例2 如图，已知?ABCD的周长是60，对
角线AC，BD相交于点O.若△AOB
的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长．
导引：由平行四边形对边相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30.又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
知1－讲
在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；解本例时，我们从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这个结论，能为计算带来很多方便．
知1－讲
例3 如图，已知?ABCD与?EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，
求证：AE＝CF.
知1－讲
导引：平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用“平行四边形对角线互相平分”这一性质．因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD交AC于O，再进行证明．
知1－讲
证明：如图，连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形对角线互相平分)，
∴AE＝CF(等式的性质)．
知1－讲
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形的特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．
知1－练
1
C
(中考·常州)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
知1－练
C
2
(中考·南宁)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm
知1－练
A
3
如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中全等的三角形共有( )
A．7对 B．6对
C．5对 D．4对
2
知识点
平行四边形的面积
知2－讲
1. 因为平行四边形的两组对边相等，所以平行四边形的周长等于两邻边和的2倍．
2. 面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
3. 等底等高的平行四边形的面积相等．
知2－讲
要点精析：
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：等底等高的三角形面积＝等底等高的平行四边形面积的一 半.
知2－讲
拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三角形；
数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行
四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.
知2－讲
(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，
则该直线平分平行四边形的周长和面积．
数学表达式：如图，
∵直线EF过平行四边形ABCD
两对角线的交点O，
知2－讲
∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE＝ (AB＋BC＋CD＋DA)．
S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝ S?ABCD(直线EF不过A点，B点)；
S△ABC＝S△ADC＝ S?ABCD(直线EF过A点)；S△BAD＝
S△BCD＝ S?ABCD(直线EF过B点)．
知2－讲
例4 (本溪)如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝30°，则此平行四边形的面积是( )
A．6 B．12
C．18 D．24
B
知2－讲
导引：根过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出其面积．具体解法如下：过点A作AE⊥BC于E，如图.
∵Rt△ABE中，∠B＝30°，∴AE＝ AB＝ ×4＝2.
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
知2－讲
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，需知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．
知2－讲
例5 如图，?ABCD的邻边AD∶AB＝5∶4，
过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分
别为E，F两点，AE＝4 cm，求AF的长．
导引：平行四边形的面积S＝ah. 因为AD∶AB＝5∶4，AB＝CD，AD＝BC，S?ABCD＝CD·AF＝BC·AE，所以AF∶AE＝5∶4.又因为AE＝4 cm，所以AF＝5 cm.
知2－讲
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵S?ABCD＝BC·AE＝CD·AF.
∴AD·AE＝AB·AF，∴AD∶AB＝AF∶AE.
∵AD∶AB＝5∶4，∴AF∶AE＝5∶4，
即AF＝ AE＝ ×4＝5(cm)．
知2－讲
在三角形或平行四边形中，根据面积为定值，用不同的边为底边和对应的高来表示面积，从而可以得到不同的底和高之间的关系．解本例的技巧在于将平行四边形邻边之比转化为它们对应的高之比．
知2－练
1
D
(中考·绵阳)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12
C．20 D．24
知2－练
2
(中考·包头)如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG的面积S1与?HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．2S1＝S2
C
知2－练
3
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3 B．6
C．12 D．24
C
1. 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成四对全等的三角形．对角线是把四边形转化为三角形的桥梁，可将平行四边形转化为三角形来解决，平行四边形的对角线性质是证明两条线段互相平分的重要依据．
2. 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则该直线
平分平行四边形的周长和面积．
请完成对应习题。
(共26张PPT)
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第3课时 用对边关系判定平行四边形
课堂讲解
课时流程
1
2
由一组对边关系判定平行四边形
由两组对边关系判定平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
知1－讲
1
知识点
由一组对边关系判定平行四边形
将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？
知1－讲
判定方法：
(1)从边看：方法一：两组对边分别平行的四边形是平行 四边形；(定义法)
数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
方法二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
知1－讲
例1 已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，且AB=CD ，求证：四边形ABCD为平行四边形.
连接AC. ∵ AB∥DC ， ∴∠BAC=∠DCA.
又 AB=CD，AC=CA.
∴ △ABC ≌ △CDA .
∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
知1－讲
定理 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
常用符号“ ”表示“平行且相等”，“AB CD”
读作“AB平行且等于CD”.
知1－讲
例2 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
导引：要证四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，易证DE∥BF，因此可采用判定方法一即定义法证明．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形(两组对边分
别平行的四边形是平行四边形)．
知1－讲
平行四边形的定义是判定平行四边形的基本方法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边形加以判断．
知1－讲
例3 如图，在?ABCD中，点E，F分别
为AB，CD上的点，且AE＝CF，
点M，N分别是BF，DE的中点．
求证：四边形ENFM是平行四边形．
导引：由平行四边形的性质得，CD∥AB，CD＝AB，再根据题目反映的条件特征两次证平行四边形均易联想利用一组对边平行且相等来分析证明.
知1－讲
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB.
又∵CF＝AE, ∴CD－CF＝AB－AE, 即DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE∥BF，DE＝BF.
又∵点M，N分别为BF，DE的中点，
∴FM＝ BF，NE＝ DE. ∴NE＝FM.
∴四边形ENFM为平行四边形(一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形)．
知1－讲
在四边形中证明线段相等或平行时，可先判定此四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质解决问题，最后利用已证结论去判定最终要判定的另一个四边形是平行四边形．
知1－练
1
D
如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知1－练
C
2
在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
知1－练
C
3
如图，在?ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE是平行四边形，可以添加的条件是 ( )
①AF＝CF；②AE＝CE；
③BF＝DE；④AF∥CE
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③
知1－练
C
4
点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2
知识点
由两组对边关系判定平行四边形
知2－讲
方法三：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
知2－讲
例4 已知：如图所示，在四边形ABCD中，BC＝AD，∠BAC＝∠DCA＝90°.
求证：四边形ABCD是
平行四边形．
导引：由已知BC＝AD，AC是公共边，易证Rt△BAC≌Rt△DCA，得AB＝CD，从而判定四边形ABCD是平行四边形．
知2－讲
证明：∵∠BAC＝∠DCA＝90°，
∴△BAC与△DCA均为直角三角形．
在Rt△BAC和Rt△DCA中，BC＝DA，AC＝CA，
∴Rt△BAC≌Rt△DCA. ∴AB＝CD，
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相
等的四边形是平行四边形)．
知2－讲
证明一个四边形是平行四边形时，若已知或易证一组对边相等，则常利用全等三角形得到另一组对边也相等．
知2－练
1
B
四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形
知2－练
2
C
能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB＝AD，CB＝CD
知2－练
3
D
下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是( )
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
知2－练
4
A
如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列不能作为该平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
从边的关系入手判定平行四边形的方法：
1. 若已知一组对边平行，则可考虑利用平行四边形的
定义证另一组对边也平行或按平行四边形的判定定
理证这组对边相等．
2. 若已知一组对边相等，则可按平行四边形的判定定
理证另一组对边相等或这组对边平行．
请完成对应习题。
(共25张PPT)
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第4课时 用对角线的关系判定平行四边形
课堂讲解
课时流程
1
2
由对角线相互关系判定平行四边形
平行四边形判定方法的综合应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1
知识点
由对角线相互关系判定平行四边形
如图，作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1 上截取OA=OC，在直线l2 上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗？
为什么？
知1－讲
从对角线看：
方法五：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：如图，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
知1－讲
例1 (徐州)已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
导引：根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明结论．
知1－讲
证明：如图，连接BD，与AC交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
知1－讲
与对角线有关的平行四边形的判定可以选定此判定方法.
知1－讲
例2 (中考·宿迁节选)如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
求证：四边形BDFC是平行四边形．
证明： ∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AF∥BC.
∴∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE.
∵E是边CD的中点，∴CE＝DE.
在△BCE和△FDE中，
∴△BCE≌△FDE(AAS)．∴BE＝EF.
又∵CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形．
知1－讲
由∠A＝∠ABC＝90°，判定AF∥BC，得∠CBE＝∠DFE，∠BCE＝∠FDE，利用△BCE≌△FDE得BE＝EF，从而运用对角线互相平分判定四边形BDFC是平行四边形．
知1－练
1
6
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O，若OA＝OC，OB＝OD，则图中全等的三角形共有________对．
知1－练
C
2
(中考·昆明)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
知1－练
D
3
如图所示，点E，F在?ABCD的对角线AC上，添加一个条件仍不能判定四边形BEDF为平行四边形的是( )
A．AE＝CF
B．AF＝CE
C．∠ABE＝∠CDF
D．BE＝DF
2
知识点
平行四边形判定方法的综合应用
知2－讲
(1)判定四边形是平行四边形的五种方法各有妙用，应仔细观察题图所给条件，看它与哪种方法接近，灵活选择适合题目的判定方法；
知2－讲
(2)这五种方法与平行四边形的性质相呼应，每一种方法都对应着一条性质，要注意它们的区别与联系．
①由平行四边形这一条件得到边、角、对角线关系是
性质；
②由边、角、对角线关系得到平行四边形是判定．
例3 已知：如图，点E，F是?ABCD的对角线AC上两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，∴OE=AO -AE=CO -CF=OF.
所以四边形BEDF是平行四边形.
例4 (仙桃)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB. 给出以下结论：①BE∥DF；②BE＝DF；③AE＝CF.请你从中选取一个条件，使∠1＝∠2成立，并给出证明．
导引：欲证明∠1＝∠2，只需
证得四边形BFDE是平
行四边形或△ABF≌△CDE即可．
知2－讲
方法一：补充条件①BE∥DF.
证明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，∴∠BEA＝∠DFC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
∴BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，
∴ED∥BF，∴∠1＝∠2.
解：
知2－讲
方法二：补充条件③AE＝CF.
∵AE＝CF，∴AF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE.
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠1＝∠2.
证明：
知2－练
1
B
(中考·广州)下列命题中，真命题的个数有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行
四边形
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
知2－练
2
在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法： (1)如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； (2)如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； (3)如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
知2－练
C
(4)如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)(4)
C．(2)(3) D．(2)(3)(4)
知2－练
3
C
(中考·泰州)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC； ②AB＝CD，AD＝BC；
③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件
有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
平行四边形判断与性质的综合应用
对角线互相平分的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定
请完成对应习题。
(共35张PPT)
第19章 四边形
19.2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
课堂讲解
课时流程
1
2
平行线等分线段
三角形的中位线
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1
知识点
平行线等分线段
知1－讲
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
知1－讲
理解这个定理要注意的是：(1)必须有一组平行线存在且平行线至少有三条；(2)在某一条直线上截得的线段相等．满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．
知1－讲
平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，AB＝BC，根据定理可直接得到A1B1＝B1C1，即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．
推论：经过三角形一边
中点与另一边平行的
直线必平分第三边．
知1－讲
例1 已知：直线l1，l2，l3互相平行(如图)，直线AC和直线A1C1分别相交直线l1，l2，l3 于点A，B，C和点A1，B1，C1 ，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1．
知1－讲
证明：如过点B1作EF∥AC，分别交直线l1，l3与点E，F.
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
∴EB1＝AB，B1F＝BC.
∵ AB＝BC . ∴ EB1＝ B1F．
又∵∠A1EB1＝∠B1FC1，∠A1B1E＝∠C1B1F ，
∴△A1B1E≌△C1B1F．
∴ A1B1＝B1C1．
知1－讲
例2 如图，F是AB的中点，FG∥BC，EG∥CD，则AG＝________，AE＝________.
导引：∵由FG∥BC，F是AB的中点，
根据平行线等分线段定理的推论，
得AG＝GC，同理，由EG∥CD，得AE＝ED.
GC
ED
知1－讲
本题应用转化思想解题．运用平行线等分线段定理的推论，将两条线段之间的相等关系转化为另外两条线段的相等关系．
知1－练
1
C
(中考·绥化)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则 的值为( )
A．1 B. C. D.
知1－练
AC
2
如图，F是AB的中点，FG∥BC，EG∥CD，则AG＝ ______，AE＝ ______．
AD
2
知识点
三角形中位线
知2－讲
1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
数学表达式：如图，
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线．
知2－讲
要点精析：
(1)一个三角形有三条中位线；
(2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；三个面积相等的平行四边形；
(3)三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段．
(4)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
数学表达式：如图，
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
要点精析：三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系．
例3 已知：如图，点D，E分别为△ABC的
边AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且DE= BC ．
证明：过点D作DE′∥BC， DE′交AC于点E′.
根据例1得到的结论，点E′行应与点E重合.
∴ DE∥BC .
同理，过点D作DF∥AC， DF交BC于点F，则点F为BC的中点.
∴四边形DFC E为平行四边形.
∴ DE=FC= BC ．
知2－讲
例4 (山西)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．8 B．10
C．12 D．14
C
知2－讲
导引：补先根据已知条件得DE是△ABC的中位线，得到DE与AC的数量关系，再结合BD，BE与BA，BC的数量关系即可求出△ABC的周长．因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以BC＝2BE，BA＝2BD，且DE是△ABC的中位线，所以AC＝2DE，所以AB＋BC＋AC＝2BD＋2BE＋2DE＝2(BD＋BE＋DE)，即△ABC的周长是△DBE周长的2倍，又因为△DBE的周长是6，所以△ABC的周长是12.
知2－讲
中点
两个中点
线段之间的
2倍关系
线段之间的2倍关系
三角形的中位线
两个三角形周长的2倍关系
知2－讲
(1)证明两直线平行的常用方法：①利用同平行于第三条直线或在同一平面内，同垂直于第三条直线；②利用同位角、内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形的性质；④利用三角形的中位线定理．
(2)证明一线段是另一线段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
知2－讲
例5 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，
分别交BC，BD于点F，G，连接AC交
BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.
导引：点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线即可．
知2－讲
证明：连接BE，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF.
知2－讲
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑用三角形中位线定理．
知2－讲
例6 如图，已知AD为△ABC的中线，点E为
AC上一点，连接BE交AD于点F，
且AE＝FE. 求证：BF＝AC.
知2－讲
导引：要证明BF与AC相等，可转化为证角相等，但边、
角关系联系不到一块，这就需要构造图形把已知
条件联系起来．由点D是BC的中点，可把点D看
成平行四边形一条对角线的中点，因此只要把另
一条对角线作出来，就能构成平行四边形，由此
该题便得以解决．
知2－讲
证明：如图,延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG.
∵DG＝AD，BD＝DC，
∴四边形ABGC是平行四边形．
∴AC BG，∴∠1＝∠2.
又∵AE＝FE，∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠3＝∠BFG. ∴BG＝BF.
又∵BG＝AC，∴BF＝AC.
知2－讲
(1)证明两条线段(或两角)相等的常用方法：①线段垂直平分线的判定和性质；②角平分线的判定和性质；③等腰三角形的判定和性质；④全等三角形的判定和性质；⑤平行四边形的判定和性质．
(2)当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行以及角相等．
知2－练
1
C
(中考·泸州)如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
知2－练
2
(中考·铁岭)如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A．DE＝DF
B．EF＝ AB
C．S△ABD＝S△ACD
D．AD平分∠BAC
C
知2－练
3
如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝11 cm，则四边形EFGH的周长为( )
A．10 cm B．11 cm
C．9.5 cm D．21 cm
D
知2－练
4
D
(中考·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
知2－练
5
3
(中考·广州)如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的
最大值为________．
利用三角形的中位线定理解决简单实际问题
三角形的中位线性质与三角形其他性质的综合运用
利用三角形的中位线定理求角度
利用三角形的中位线定理求线段的长
三角形的中位线
请完成对应习题。
