(共41张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
矩形及其性质
课堂讲解
课时流程
1
2
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上的中线性质
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1. 思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一
个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为
什么(动画演示拉动过程如图)?
2. 再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角
是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过
的长方形)，引出本课题及矩形定义．
知1－讲
1
知识点
矩形的边角性质
1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
要点精析：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边
形，但平行四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：
①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可．
知1－讲
例1 已知：矩形ABCD (如图) .
求证：∠A=∠B=∠C=∠D =90°．
证明：由定义，矩形必有一个角是直角，
设∠A=90°.∵AB∥CD，AC∥BD，
∴ ∠B=∠C=∠D =90°．
(两直线平行，同旁内角互补)
即矩形ABCD的四个角都是直角.
知1－讲
性质：
(1)矩形的四个角都是直角．
(2)矩形具有平行四边形的所有性质．
要点精析：
(1)从边看：对边平行且相等；
(2)从角看：四个角都是直角.
知1－讲
例2 如图，已知四边形ABCD是矩形，
△PBC和△QCD都是等边三角形，
且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；
(2)PA＝PQ.
知1－讲
导引：(1)矩形的四个内角都等于90°，利用△PBC和
△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和
∠PCQ的度数，从而得证；
(2)利用(1)的结论及矩形的性质进一步证明
△PAB≌△PQC，从而证得PA＝PQ.
知1－讲
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°.
∵△PBC和△QCD是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，
∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°.
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，
故∠PBA＝∠PCQ＝30°.
证明：
知1－讲
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC.
∵△PBC和△QCD都是等边三角形，
∴PB＝PC，QC＝DC＝AB.
又由(1)知∠PBA＝∠PCQ，
∴△PAB≌△PQC(SAS)，
∴PA＝PQ.
知1－讲
解涉及矩形问题的命题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索．利用矩形的性质，可以得到许多结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．
知1－练
1
D
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
知1－练
2
C
(中考·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
知2－练
A
3
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
知2－练
A
4
(中考·郴州)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD折叠，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB＝30°，则EF＝( )
A. B．2
C．3 D．3
2
知识点
矩形的对角线性质
知2－讲
(1)矩形的对角线相等．
(2)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
知2－讲
要点精析：(1)从对角线看：对角线相等且互相平分；
(2)对称性：是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条
对称轴；
(3)面积：矩形的面积＝长×宽＝被对角线分成的四个
等积的小三角形面积之和，注：这四个小三角形是
两对全等的等腰三角形．
知2－讲
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝6，∠BOC＝120°，
求矩形ABCD的面积．
导引：要求矩形ABCD的面积，则需求AB，BC的长，AB的长可由矩形的性质及等边三角形的性质求出，而BC的长可由勾股定理求出．
知2－讲
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD
(矩形的对角线相等且互相平分)．
∴OA＝OB＝ AC.
∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°.
知2－讲
解：∴△OAB为等边三角形．∴AB＝OA＝ AC.
∵AC＝6，∴AB＝3.
在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝6，
∴
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3× ＝9 .
知2－讲
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．注意：本例亦可通过∠BOC＝120°，OB＝OC，得∠BCA＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质求AB，BC的长，请读者试一试．
知2－讲
例4 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
求∠BAO和∠EAO的度数．
知2－讲
导引：由∠DAE与∠BAE之和为矩形的一个内角及两
角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度数，从而
得出∠ABE的度数；由矩形的性质易得∠BAO
＝∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由
∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
知2－讲
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等腰三角形中来解决.
1
知2－练
D
(中考·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
2
知2－练
B
(中考·菏泽)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
3
知识点
直角三角形斜边上中线的性质
知3－讲
1. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
数学表达式：如图，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝ AB(或CD＝AD＝BD)．
知3－讲
要点精析：
(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角
形中位线性质”是解决线段倍分问题的重要依据．
(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角
三角形斜边上的中线性质”适用于任何直角三角形；
“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角
的特殊直角三角形.
知3－讲
例5 如图，已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=120°，AD＝4 cm.
求矩形对角线的长．
知3－讲
解：因为四边形ABCD是矩形，
所以AC=BD.
∴OA=OB.
∵∠AOB=120°，
∴ ∠OAB=∠OBA =
在Rt△ABD中，有BD=2AD=2×4=8(cm).
知3－讲
由∠AOB=120°可以证明△AOD是等边三角形，也可以说明△ABD是一个锐角是30°的直角三角形，进而解决问题。
知3－讲
例6 如图，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE的中点．
求证：MN⊥DE.
知3－讲
如图，连接EM，DM，由CE与BD为△ABC的两
条高，可得△BEC与△BDC均为直角三角形；
根据M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半可得EM为BC的一半，DM
也为BC的一半，通过等量代
换可得EM＝DM，又N为DE
的中点，所以MN⊥DE.
导引：
知3－讲
连接EM，DM，如图.
∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
在Rt△BEC中，M为斜边BC的中点，∴EM＝ BC.
在Rt△BDC中，M为斜边BC的中点，∴DM＝ BC.
∴EM＝DM.又N为DE的中点，∴MN⊥DE.
证明：
知3－讲
若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
知3－练
1
D
(中考·鄂尔多斯)如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为( )
A．14 B．16
C．17 D．18
知3－讲
2
C
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB边的中点，连接DE，CE.则下列结论中不一定正确的是( )
A．ED∥BC
B．ED⊥AC
C．∠ACE＝∠BCE
D．AE＝CE
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形的性质的应用
矩形的四个角都是直角、对角线相等
矩形的性质
请完成对应习题。
(共28张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
矩形的判定
课堂讲解
课时流程
1
2
由对角线的关系判定矩形
由直角的个数判定矩形
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
如图，工人师傅在做门窗框架、桌面等包含矩形的物体时，不仅要测量矩形两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你能说出其中的道理吗？
知1－讲
1
知识点
由对角线的关系判定矩形
1. 矩形的判定：
方法一(定义判定)：有一个角是直角的平行四边形
是矩形；
方法二(对角线判定)：对角线相等的平行四边形是
矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
知1－讲
2. 易错警示：用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是四边形是平行四边形．也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件它才是矩形．
知1－讲
例1 已知：如图，在?ABCD中，AC=BD.
求证： ?ABCD是矩形.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC.
又∵DC=CD，AC=BD，
∴△ADC≌△BCD. ∴∠ADC=∠BCD.
又∵ ∠ADC+ ∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠ BCD=90°.
所以?ABCD为矩形.
知1－讲
已知平行四边形ABCD，根据矩形的定义只需要再证明有一个角是90°即可.
知1－讲
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E，F.
求证：四边形AECF是矩形.
知1－讲
证明：∵AE∥BC，∴∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中，
∵∠1=∠2，∠ADE=∠CDF，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF. ∴AE=CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
又因为四边形ABFE是平行四边形，所以EF=AB.
∵AC=AB，∴EF=AC.
所以四边形AECF是矩形.
知1－讲
证明一个平行四边形是矩形的两种方法：一是证明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等．本例采用的是证对角线相等的方法．若采用证有一直角的方法，可证：DE＝DC，EF＝FC，利用等腰三角形“三线合一”可得∠DFE＝90°.用这种方法证明请读者独立完成．
知1－练
1
EB＝DC
(中考·黑龙江)如图，在?ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
知1－练
2
B
下列四边形：①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．其中一定是矩形的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知2－练
A
3
在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝AD B．OA＝OB
C．AC＝BD D．DC⊥BC
2
知识点
由直角的个数判定矩形
知2－讲
方法三(角判定)：有三个角是直角的四边形是矩形．
判定矩形的常见思路如下：
知2－讲
例3 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C=90°，
∴∠B+∠C =180°， ∠A+∠B =180°.
∴ AB∥CD ， AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
所以四边形ABCD是矩形.
知2－讲
已知四边形有一个角是90°，只需要再证明四边形ABCD是平行四边形即可。
知2－讲
例4 (探究题)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE，DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊
四边形，并证明你的判断．
知2－讲
导引：(1)根据矩形性质得出CD＝2，根据勾股定理求出CE和BE，进而求出CE2＋BE2，BC2，根据勾股定理的逆定理证明即可；
(2)根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，进而推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定即可得出结论．
知2－讲
(1)△BEC是直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠EAB＝90°,AD＝BC＝5,CD＝AB＝2.
由勾股定理得：
同理BE＝
解：
知2－讲
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，
即△BEC是直角三角形．
解：
知2－讲
解：
(2)四边形EFPH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BP，DE∥BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，AE∥CP，
∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE.
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形．
知2－讲
本题综合考查了勾股定理及其逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定等知识，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．
1
知2－练
C
如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD
D．∠1＝∠2
2
知2－练
D
对于四边形ABCD，给出下列6组条件：
①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；
②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；
③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；
⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC.
其中能得到“四边形ABCD是矩形”的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3
知2－练
A
在?ABCD中，添加下列条件中的一个，就能判定它是矩形的是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．AB＝BC
C．AC⊥BD
D．AC＝2AB
4
知2－练
B
(中考·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
矩形的判定方法有三种：
第一种是有三个角是直角的四边形为矩形，第二种是定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，第三种是对角线相等的平行四边形是矩形，后面两种判定方法一定要满足两个条件，一个是这个四边形是平行四边形，这个条件不能漏掉，另一个是一个角为直角或对角线相等．
请完成对应习题。
