(共24张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
菱形及其性质
课堂讲解
课时流程
1
2
菱形边的性质
菱形对角线的性质
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
请看演示：(可用事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)
如图，改变平行四边形的边，使一组邻边相等，从而引出菱形概念．
知1－讲
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
要点精析：
(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可；
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．
知1－讲
例1 已知：如图，在△ABC中，CD平
分∠ACB交AB于D，DE∥AC交
BC于E，DF∥BC交AC于F. 四边
形DECF是菱形吗？为什么？
导引：因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．
理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由DE∥AC，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴四边形DECF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
知1－讲
本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．
知1－讲
(1)菱形的四条边都相等．
(2)菱形具有平行四边形的一切性质．
例2 已知，如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，
求∠CEF的度数．
导引：要求∠CEF的度数，由图
可知∠CEF＋∠AEF＝∠B＋∠BAE＝60°＋18°，
因此需求∠AEF的度数；由于∠EAF＝60°，猜
想△AEF为等边三角形，所以只需证△AEF中有
两边相等即可．
解：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B＝60°.
∴△ABC和△ACD为等边三角形．
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°.
∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.
∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△EAF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.
又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF，
∴60°＋18°＝60°＋∠CEF，
∴∠CEF＝18°.
知1－练
1
C
(中考·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的长为( )
A．6.5 B．6
C．5.5 D．5
知1－练
2
B
(中考·桂林)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是( )
A．18
B．18
C．36
D．36
2
知识点
菱形对角线的性质
知2－讲
菱形的对角线的性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
易错警示：矩形的两条对角线把矩形分割成四个面积相等的等腰三角形．而菱形的两条对角线把菱形分割成四个全等的直角三角形.
知2－讲
例3 已知菱形两条对角线长分别为a，b，求菱形的面积．
知2－讲
解：设菱形ABCD的两条对角线AC，
BD相交于点O(如图)， AC＝a，BD＝b.
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD. (菱形的对角线互相垂直)
∴S菱形ABCD=S△ABD+ S△CBD
= BD·AO+ BD·OC= BD· (AO+OC)
= BD·AC= ab.
知2－讲
例4 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm. 求菱形的周长．
导引：由于菱形的四条边都相等，所以要求
其周长就要先求出其边长．由
菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．
知2－讲
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得
∴菱形的周长＝4AB＝
知2－讲
菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形问题中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．
1
知2－练
D
(中考·莆田)菱形具有而一般的四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2
知2－练
A
(中考·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. B.
C．5 D．4
3
知2－练
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为( )
A．22 B．24
C．48 D．44
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线是它的对称轴
菱形的面积的计算方法
菱形的性质
菱形的对角线互相垂直
菱形的四条边相等
请完成对应习题。
(共29张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
菱形的判定
课堂讲解
课时流程
1
2
由边的数量关系判定菱形
由对角线的位置关系判定菱形
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，
你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在
四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形
ABCD是菱形．
知1－讲
1
知识点
由边的数量关系判定菱形
(1)(定义法)一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)(边)四边都相等的四边形是菱形.
要点精析：
若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
知1－讲
例1 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点．试说明：四边形EFGH是菱形．
知1－讲
导引：由于点E，F，G，H分别是AD，
BD，BC，AC的中点，可知EH，
HG，GF，FE分别是△ACD，
△ABC，△BCD，△ABD的中位线，又∵AB＝
CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根据“四边都相等
的四边形是菱形”可得四边形EFGH是菱形．
知1－讲
解：∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，
∴EH＝ CD.
同理可证：
EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
知1－讲
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
知1－讲
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥AB于点E，连接EF，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由．
导引：要证明一个四边形是菱形，一般先
证明它是平行四边形，再通过证明它的一组邻边相等或对角线互相垂直来证明它是菱形．
解：∵四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵CH⊥AB, DE⊥AB, ∴CF∥DE, ∠4＋∠5＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2. ∴CF＝DC，∴CF＝DE.
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．
(1)判定菱形的常见思路：
(2)判定一个四边形是菱形的方法：若已知邻边相等要证明一个四边形是菱形，有两条路可走：①证明四条边都相等，利用四边都相等的四边形是菱形证明；②证明是平行四边形，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．若条件中出现两条对角线，要证明一个四边形是菱形，可考虑利用:①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
知1－练
1
③
(中考·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________．(只填写序号)
知1－练
2
C
(中考·遵义)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
知1－练
3
A
(中考·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，DE＝2，则四边形OCED的面积( )
A．2 B．4
C．4 D．8
知1－练
4
A
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
2
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
知2－讲
判定方法：
(对角线)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
要点精析：
若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分．
知2－讲
例1 如图，在? ABCD中，AC=8，BD
=6，AB=5，求AD的长.
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA= AC=4，OB= BD=3.
又∵AB=5，满足AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，及OA⊥OB.
∴ ? ABCD是菱形，AD=AB=5.
知2－讲
例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.
求证：四边形BEDF是菱形．
知2－讲
导引：若要证明四边形BEDF是菱形，需要先证明四边形BEDF是平行四边形，而DE∥BF，只需要证明DE＝BF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE＝BF可通过证明△OED≌△OFB.
知2－讲
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．
知2－讲
证明一个四边形是菱形的方法：若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边形是平行四边形．
1
知2－练
AC⊥BD
(中考·齐齐哈尔)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当
的条件________________使其
成为菱形(只填一个即可)．
答案不唯一
2
知2－练
D
下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3
知2－练
B
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
4
知2－练
A
在?ABCD中，下列结论不一定正确的是( )
A．AC＝BD
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．AB＝CD
判定一个四边形是菱形的方法：
(1)若已知邻边相等要证明一个四边形是菱形，有两条
路可走：①证明四条边都相等；②先证明该四边形
是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边
形是菱形证明．
判定一个四边形是菱形的方法：
(2)若条件中出现两条对角线，要证明一个四边形是菱
形，可考虑利用：①对角线互相垂直且平分的四边
形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
请完成对应习题。
