(共33张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
正方形及其性质
课堂讲解
课时流程
1
2
正方形的性质
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
如图①所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．
如图②所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．
图①中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图②中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？
知1－讲
知识点
正方形的性质
正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切
性质，即：①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行．
要点精析：
正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形.
知1－讲
例1 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
导引：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．
知1－讲
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
解：
知1－讲
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝( －1)cm，∴BE＝( －1)cm.
解：
知1－讲
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．
知1－讲
正方形的角的性质
1. 角：四个角都是直角；
2. 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
3. 是轴对称图形，有4条对称轴；
4. 面积为边长的平方或对角线平方的一半．
要点精析：
正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形的特殊性质：
①正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
②周长相等的四边形中，正方形的面积最大．
知1－讲
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求证：EF∥AB.
导引：要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
即需证∠OEF＝45°，
由于∠EOF＝90°，即要证明OE＝OF，
而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
AO＝DO，∠OBA＝45°. 又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.
知1－讲
知1－讲
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
知1－讲
例3 (黑龙江)四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F.
(1)当点F与点C重合时，如图①，
易证：DF＋BE＝AF(不需证明)．
知1－讲
(2)当点F在DC的延长线上时，如图②，当点F在CD的延长线上时，如图③，线段DF，BE，AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
知1－讲
导引：对于图②和图③，先从直观上判断，得到结论DF＋BE＝AF和BE－DF＝AF，在图②中，延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，易证
△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB＝∠EAD，即可得出∠B′AE＝∠DAG，则∠GAF＝∠DAE，则∠AGD＝∠GAF，即可得出BE＋DF＝AF.图③的证明与图②的证明类似．
知1－讲
解：(2)图②的结论：DF＋BE＝AF；
图③的结论：BE－DF＝AF；
图②的证明：如图，延长CD到点G，
使DG＝BE，连接AG，
知1－讲
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠G＝∠AEB，∠GAD＝∠EAB.
∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD.
∵∠BAE＝∠B′AE，
∴∠B′AE＝∠GAD，∴∠GAF＝∠DAE，
∴∠G＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE＋DF＝AF.
知1－讲
证明线段的和、差问题的基本方法是截长补短法，即在长的线段上截取，将短的线段延长，转化为线段相等的问题．
知1－讲
例4 (中考·鄂州)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
知1－讲
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.
∵三角形ADE为等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.
∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
∴△BAE≌△CDE.
∴BE＝CE.
知1－讲
(2)解：∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE. ∴∠ABE＝∠AEB.
又∵∠BAE＝∠BAD＋∠EAD＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°.
同理可得∠CED＝15°，
∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°.
1
B
知1－练
下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2
D
知1－练
下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形
3
D
知1－练
已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
4
B
知1－练
正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
5
A
知1－练
(中考·十堰)如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝3 ，且∠ECF＝45°，则CF的长为( )
A．2 B．3
C. D.
6
90°
知1－练
(中考·怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度数是________．
7
65°
知1－练
(中考·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED的度数是________．
8
C
知1－练
如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于( )
A．45° B．55°
C．60° D．75°
正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，
因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对
角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对
角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质
为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
请完成对应习题。
(共33张PPT)
第19章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
正方形的判定
课堂讲解
课时流程
1
2
正方形的判定
正方形性质与判定的灵活应用
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1. ____________________________叫做平行四边形，
__________________________________叫做矩形，
__________________________________叫做菱形.
2. 做一做：用一张长方形的纸片怎样折出一个正方形？
问题
什么样的四边形是正方形？
知1－讲
1
知识点
正方形的判定
判定方法：(1)从四边形出发：
①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
知1－讲
(3)从矩形出发：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形．
知1－讲
例1 如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
知1－讲
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA.
又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D.
∵∠A= ∠B =∠C =∠D=90°，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴ A′B′=B′C′=C′D′=D′A′. ∴四边形A′B′C′D′ 是菱形.
又∵∠1＝∠3，∠1+∠2=90°，
∴ ∠2+∠3=90°. ∴ ∠D′A′B′=90°.
所以四边形A′B′C′D′ 是正方形.
知1－讲
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形．
导引：要证四边形CFDE是正方形，
首先要确定这个正方形建立
在哪种四边形的基础上，即先证它是什么四边
形；再证这种四边形是正方形需要补充的条件.
知1－讲
证法一：∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，∴四边形CFDE是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴?CFDE是菱形．
∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．
知1－讲
证法二：
∵由条件易得∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°.
∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴矩形CFDE是正方形．
知1－讲
证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：
方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”；
方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；
方法4：证：“菱形＋一个直角”．
知1－讲
说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是建立在矩形或菱形的基础上，采用方法3、方法4进行证明；如本例中的证法一、证法二；本例也可采用方法1、方法2去证明，请读者去试一试．
知1－讲
例3 如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
导引：
证明： (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
证明： (2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
证明一个四边形是正方形的方法：结合条件选择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，然后找一个角是直角或对角线相等．
知1－练
1
∠BAD＝90°
(中考·兰州)?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：______________，使得?ABCD为正方形．
答案不唯一
知1－练
2
D
(中考·益阳)下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
知1－练
3
B
(中考·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
知1－练
4
C
下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形(对角线交于点O)的是( )
A．AB CD，AB＝AD，∠BAD＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝90°
C．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2
知识点
正方形性质与判定的灵活应用
知2－讲
正方形面积的性质：
面积为边长的平方或对角线平方的一半．
知2－讲
例4 (山西)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N. 若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分(四边形EMCN)的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
D
知2－讲
∵过点E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易
证△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积
等于正方形PCQE的面积求解．具体解法如下：
过点E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，如图，
导引：
知2－讲
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°.
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴EP∥CQ，EQ∥PC，∠PEQ＝90°，
∴四边形EPCQ是矩形，∠PEM＋∠MEQ＝90°.
导引：
知2－讲
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ.
易知CA是∠BCD的平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，∴四边形PCQE是正方形．
在△EPM和△EQN中，
∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM.
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积．
知2－讲
∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，
∴EC＝ a，∴EP＝ EC＝ a，
∴正方形PCQE的面积＝ a· a为 a2，
∴四边形EMCN的面积为 a2.
知2－讲
本例的解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的图形集中到一个正方形中去，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．
1
知2－练
D
如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( )
A．4 B.
C．2 D．2
2
知2－练
B
将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为( )
A．2 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．8 cm2
正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．
请完成对应习题。
