2019-2020学年江苏省南师附中江宁分校高一（下）周测数学试卷（orderw解析版）

2019-2020学年江苏省南师附中江宁分校高一（下）周测
数学试卷
一．单选题（12题，每题5分）
1．（5分）已知点A（1，0），B（2，），则直线AB的倾斜角是（　　）
A．60° B．120° C．30° D．150°
2．（5分）过直线l外两点作与l平行的平面，则这样的平面（　　）
A．不存在 B．只能作一个
C．能作无数个 D．以上都有可能
3．（5分）过点（﹣2，1）作圆x2+y2＝5的切线l，则切线l的方程为（　　）
A．2x﹣y+5＝0 B．2x+y﹣5＝0
C．2x﹣y+5＝0或2x﹣y+5＝0 D．2x+y﹣5＝0或x+2y﹣5＝0
4．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与BC1所成角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（5分）已知直线l1：2x﹣y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，若l1⊥l2，则a的值为（　　）
A．8 B．2 C．﹣ D．﹣2
6．（5分）若sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．（5分）直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：2x+2y﹣3＝0的距离是（　　）
A．2 B． C． D．
8．（5分）已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则sinα＝（　　）
A． B． C．﹣ D．
9．（5分）设A（﹣2，3），B（1，2），若直线ax+y﹣1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足A＝，cos2B﹣cos2C﹣sin2A＝﹣sinAsinB，则角B＝（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）设α＝70°，若β∈（0，），且tanα＝，则β＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．（5分）如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为（　　）

A．3 B．4 C． D．2
二．多选题（共4小题，每题5分）
13．（5分）已知直线a、b和平面α，下列说法中不正确的有（　　）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥b，b∥α，则a∥α
C．若a∥α，b?α，则a∥b
D．若a∥α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
14．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　　）
A． B．
C． D．
15．（5分）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（　　）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
16．（5分）下列选下选项中，值为的是（　　）
A．2cos72°cos36° B．sinsin
C．+ D．﹣cos215°
三．填空题（共4小题，每题5分）
17．（5分）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　 　．
18．（5分）过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的两条切线，设切点分别为M，N，则线段MN的长为　 　．
19．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有　 　．
①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线
②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线
③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线
④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线

20．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x＝上存在点B使∠APB＝60°，则t的取值范围是　 　．
四．解答题（共3小题）
21．（15分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点．
（1）在DM上取一点G，过点G和AP作一平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
（2）∠PDC＝∠PDA＝90°，PD＝DC＝DA＝2，∠DAB＝60°，求PA，DM所成角的余弦值．

22．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足+＝．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．
23．（20分）已知直线x+y+2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长|AB|＝，求直线AB的斜率的值；
（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量和是否共线？请说明理由．


2019-2020学年江苏省南师附中江宁分校高一（下）周测数学试卷
参考答案与试题解析
一．单选题（12题，每题5分）
1．【分析】由题意利用直线的斜率公式，斜率和倾斜角的关系，求得直线AB的倾斜角．
【解答】解：∵点A（1，0），，则直线AB的斜率为k＝＝，
故它的倾斜角为60°，
故选：A．
2．【分析】过直线l外两点作与l平行的平面，根据两点所在的直线与已知直线的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过直线l外两点作与l平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；
如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；
如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．
因此只有D正确．
故选：D．
3．【分析】根据题意，设点（﹣2，1）为点P，分析可得点P在圆x2+y2＝5上，计算可得直线OP的斜率，进而可得切线l的斜率，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设点（﹣2，1）为点P，则点P在圆x2+y2＝5上，
则kOP＝＝﹣，则切线l的斜率k＝2，
则有y﹣1＝2（x+2），变形可得2x﹣y+5＝0；
故选：A．
4．【分析】由异面直线所成的角的作法可得：∠A1C1B为所求，在正三角形A1C1B中，∠A1C1B＝60°．
【解答】解：由图可知，∠A1C1B为所
在正三角形A1C1B中，∠A1C1B＝60°；
故选：C．

5．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵直线l1：2x﹣y﹣2＝0，l2：ax+4y+1＝0，l1⊥l2，
∴2a﹣1×4＝0，
解得a＝2．
故选：B．
6．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求值得解．
【解答】解：∵，
∴＝cos[﹣（2α+）]＝cos（2α﹣）＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（）2＝．
故选：A．
7．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：2x+2y﹣3＝0是平行线，
所以它们之间的距离为：＝．
故选：D．
8．【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，
∵2sin2α＝cos2α﹣1，
∴4sinαcosα＝﹣2sin2α，可得2cosα＝﹣sinα，
又∵sin2α+cos2α＝1，
∴sin2α+（﹣sinα）2＝1，
∴sinα＝．
故选：D．
9．【分析】直线ax+y﹣1＝0经过定点P（0，1），根据直线ax+y﹣1＝0与线段AB相交，可得﹣a≥kPA，或﹣a≤kPB．
【解答】解：直线ax+y﹣1＝0经过定点P（0，1），
kPA＝＝﹣1，kPB＝＝1．
∵直线ax+y﹣1＝0与线段AB相交，
∴﹣a≥1或﹣a≤﹣1，
则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：C．
10．【分析】利用同角的三角函数关系和正弦余弦定理，求出C的值，即可得出角B的值．
【解答】解：△ABC中，cos2B﹣cos2C﹣sin2A＝﹣sinAsinB，
所以1﹣sin2B﹣1+sin2C﹣sin2A＝﹣sinAsinB，
即sin2B+sin2A﹣sin2C＝sinAsinB，
所以b2+a2﹣c2＝ab；
所以cosC＝＝＝；
又C∈（0，π），
所以C＝，
所以角B＝π﹣A﹣C＝π﹣﹣＝．
故选：C．
11．【分析】根据两角和差的三角公式以及三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：由得，sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，，
因为，α＝70°，所以，，
由，得，
所以β＝50°．
故选：A．
12．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB?AC?sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【解答】解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．
∵BD＝3DC，，∴S△ABD＝S△ABC，
∴，
∴，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），
∴S△ABC＝＝
＝
＝（其中tanφ＝），
∵0＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，
∴．
故选：C．
二．多选题（共4小题，每题5分）
13．【分析】选项A得出的a，b的关系为：平行，相交和异面，从而A正确；选项B得出的a与α的关系为：a?α，a∥α，从而B正确；选项C得出的a，b的关系为：a∥b，a，b异面，从而C正确，而显然选项D的说法正确，从而可得出正确的选项．
【解答】解：A．a∥α，b∥α时，a，b可能相交，可能异面，可能平行，∴该说法错误；
B．a∥b，b∥α时，a可能在平面α内，a可能与平面α平行，∴该说法错误；
C．a∥α，b?α时，a可能与b平行，可能与b异面，∴该说法错误；
D．a∥α时，显然a平行于平面α内的无数条直线，∴该说法正确．
故选：ABC．
14．【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，

∴AB∥平面MNP，故A成立；
B若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，
∴AB与面MNP不平行，故B不成立；

C过M作ME∥AB，则E是中点，
则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，
∴AB与面MNP不平行，故C不成立；

D连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立．

故选：AD．
15．【分析】通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
【解答】解：对于A：sin2A＝sin2B，∴A＝B?△ABC是等腰三角形，或2A+2B＝π?A+B＝，即△ABC是直角三角形．故A不对；
对于B：由sinA＝cosB，∴A﹣B＝或A+B＝．∴△ABC不一定是直角三角形；
对于C：sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，∴a2+b2＜c2．∴△ABC为钝角三角形，C正确；
对于D：由正弦定理，得
sinC＝＝．而c＞b，∴C＝60°或C＝120°．∴A＝90°或A＝30°．
∴S△ABC＝bcsinA＝或．D正确．
故选：CD．
16．【分析】利用倍角公式、诱导公式及同角三角函数基本关系式逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sin sin ＝sin cos ＝，故B正确；
对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；
对于D，﹣cos215°＝﹣（2cos215°﹣1）＝﹣cos 30°＝﹣，故D错误．
故选：AB．
三．填空题（共4小题，每题5分）
17．【分析】分类：直线过原点可得斜率，可得方程；直线不过原点，可设截距式方程，代点可得a值，进而可得方程．
【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为＝2，
故直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0
当直线不过原点时，设方程为+＝1，
代入点（1，2）可得，解得a＝﹣1，
故方程为x﹣y+1＝0
故所求直线方程为：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0
故答案为：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．
18．【分析】先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos∠OCM，二倍角公式求出cos∠MCN，三角形MCN中，用余弦定理求出|MN|．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0 可化为 （x﹣3）2+（y﹣4）2＝5，
圆心C（3，4）到原点的距离为5．故cos∠OCM＝，
∴cos∠MCN＝2cos2∠OCM﹣1＝﹣，
∴|MN|2＝（）2+（）2+2×（）2×＝16．∴|MN|＝4．
故答案为：4
19．【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．
【解答】解：对于①，GH和MN是平行直线，但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；
对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；
对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；
对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误；
综上，错误的命题序号是①③④．
故答案为：①③④．
20．【分析】把曲线方程变形，作出图形，分别求出B为曲线与y轴交点时满足体积的P的纵坐标t的值，数形结合可得t的取值范围．
【解答】解：由曲线x＝，得x2+y2＝3（0≤x≤）
作出图象如图，
取B（0，）时，由P（，t），
得kPB＝，
∵∠APB＝60°，∴kPB＝，
解得t＝1+，
利用圆的对称性可得，
取B（0，﹣）时，t＝﹣1﹣．
∴若曲线x＝上存在点B使∠APB＝60°，则t的取值范围是[﹣1﹣，0）∪（0，1+]．
故答案为：[﹣1﹣，0）∪（0，1+]．

四．解答题（共3小题）
21．【分析】（1）连接AC交BD于O，连接MO，证明PA与平面DMB平行，然后证明AP∥GH．
（2）说明PA，DM所成角的余弦值，就是∠DMO的余弦函数值，通过求解三角形求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接MO，M是PC的中点．
底面ABCD为平行四边形，所以OM∥PA，PA?平面MDB，MO?平面DMB，所以
PA∥平面DMB，在DM上取一点G，过点G和AP作一平面交平面BDM于GH．
所以AP∥GH．
（2）由（1）可知OM∥PA，PA，DM所成角的余弦值，就是∠DMO的余弦函数值，∠PDC＝∠PDA＝90°，PD＝DC＝DA＝2，∠DAB＝60°，PA＝PC＝2，PM＝，
所以DM＝，OM＝，DO＝1，cos∠DMO＝＝＝．
PA，DM所成角的余弦值为：．

22．【分析】（1）根据题意，由正弦定理可得，变形可得，进而可得cosB的值，分析可得B的值；
（2）根据题意，由余弦定理可得，变形可得（a﹣c）2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，△ABC中，有，则有，
变形可得，
又由sin（A+B）＝sinC≠0，则cosB＝，
又由B∈（0，π），则B＝；
（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，
由余弦定理可得，
故ac＝a2+c2﹣ac，变形可得（a﹣c）2＝0，得a＝c＝1，
故△ABC为正三角形，
故．
23．【分析】（1）由直线x+y+2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切．求出圆半径r＝＝，由此能求出圆O的方程．
（2）设直线AB的斜率为k．则直线AB的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，圆心O（0，0）到直线的距离为d＝，由弦长|AB|＝，能求出k．
（3）设QM：y﹣1＝k1（x﹣1），则QN：y﹣1＝﹣k1（x﹣1），由，得（1+）x2+2k1（1﹣k1）x+（1﹣k1）2﹣2＝0．从而．同理可得，由此能求出向量和共线．
【解答】解：（1）∵直线x+y+2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切．
∴圆半径r＝＝，
∴圆O的方程为x2+y2＝2．
（2）设直线AB的斜率为k．则直线AB的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离为d＝，
∵弦长|AB|＝，∴（）2＝（）2+（）2，
解得k＝2或k＝．
（3）向量和共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y﹣1＝k1（x﹣1），则QN：y﹣1＝﹣k1（x﹣1），
由，得（1+）x2+2k1（1﹣k1）x+（1﹣k1）2﹣2＝0．
∵点Q的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得．
同理可得，
∴kMN＝＝＝＝1＝kOQ ，
∴向量和共线