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2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
目标定位 重点难点
1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程
2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程
3．掌握点的轨迹的求法 重点：椭圆的定义及标准方程
难点：椭圆标准方程的推导过程及应用；点的轨迹的求法
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________________的点的轨迹叫作椭圆，这__________叫作椭圆的焦点，________________叫作椭圆的焦距．
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
2．椭圆的标准方程
其中a，b，c之间的关系是____________．
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
椭 圆 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准
方程
焦 点
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【答案】D
应用椭圆的定义解题
8
椭圆的定义是解决椭圆问题的出发点，它是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，可对一些距离进行有效的转化，因此在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点距离时，先想到利用定义进行求解，会有事半功倍之效．
【解题探究】用待定系数法求椭圆方程．
求椭圆的标准方程
8
运用待定系数法求椭圆的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型，再定量，若焦点位置不确定时，考虑是否有两解．有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，避免讨论，应掌握这种设法上的技巧．
【示例】已知x2sin α－y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．
忽视椭圆方程的条件致误
【错因分析】忘记考虑在椭圆中存在关系a2>b2>0.
1．求椭圆方程的方法：
(1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用待定系数法或定义法求得．
(2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方程．
2．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维，简化解题过程．
(1)数形结合思想：根据平面几何知识，通过观察发现各量之间的关系，将位置关系转化为代数数量关系进而转化为坐标关系，从而建立关系式．
(2)转化思想：根据题目条件转化为椭圆定义或坐标关系，简化解题步骤．
【答案】3
(共31张PPT)
2.1.2 椭圆的简单几何性质
目标定位 重点难点
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
2．掌握标准方程中的a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e的关系 重点：椭圆的几何性质
难点：椭圆的几何性质的应用
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 －a≤x≤a
－b≤y≤b －b≤x≤b
－a≤y≤a
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
【答案】D
【例1】 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
【解题探究】先将椭圆方程化成标准形式，再求值．
椭圆的简单几何性质
8
确定椭圆的几何性质，应先将椭圆方程化成标准形式，确定焦点的位置，再根据a，b的值，求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
【解题探究】求椭圆的标准方程，就是用待定系数法求a，b.
利用椭圆的几何性质求标准方程
8
由椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②构造方程，求a，b的值；③写出标准方程.
忽视焦点位置的讨论致误
【错因分析】仅根据椭圆的离心率不能确定焦点位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，没有对焦点的位置进行讨论．
【警示】椭圆的几何性质分为两类：第一类是与坐标系无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；第二类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标．仅根据第一类的性质不能确定焦点的位置，必须分类讨论．
1．深刻理解椭圆的标准方程中几何量a，b，c，e等之间的关系和几个量的本质含义．
2．讨论椭圆的几何性质时，要分清焦点所在的坐标轴．
【答案】1
【解析】设|PF1|＝r，则|PF2|＝4－r,1≤r≤3.|PF1|·|PF2|＝r(4－r)＝－r2＋4r，当r＝1或3时，(|PF1|·|PF2|)min＝3；当r＝2时，(|PF1|·|PF2|)max＝4.∴|PF1|·|PF2|的最大值和最小值之差为1.
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2.1.3 椭圆习题课
目标定位 重点难点
1.提升对椭圆定义、标准方程的理解，进一步巩固椭圆的简单几何性质
2．掌握如何解决直线与椭圆位置关系的相关问题 重点：椭圆的几何性质
难点：直线与椭圆的关系
【解题探究】利用根与系数的关系法或点差法求解．
直线与椭圆的位置关系
8
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
8
与椭圆有关的综合问题
【解题探究】(1)设出点的坐标，联立方程组求解；(2)配方法求最值．
8
解决与椭圆有关的最值问题，一般有三种思路：(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围．
忽略Δ＞0出错
【错因分析】此解忽视了直线与椭圆有两个不同交点的条件：Δ>0，而m＝2时，Δ＝0，不符合题意．
研究直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般转化为一元二次方程问题，利用判别式Δ和根与系数的关系来处理，我们习惯上称为“设而不求”，对于中点弦，通常采用“点差法”求解．
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2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
目标定位 重点难点
1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程
2．能根据条件确定双曲线的标准方程 重点：双曲线的定义及标准方程
难点：求双曲线的标准方程
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于________)的点的轨迹叫作双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为_________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹________．
|F1F2|
以F1，F2为端点的两条射线
不存在
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1，F2叫作______________，两焦点间的距离叫作______________．
双曲线的焦点
双曲线的焦距
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F1(________)，F2(________)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是___________________，焦点F1(________)，F2(________)．
(3)双曲线中a，b，c的关系是___________．
－c,0
c,0
0，－c
0，c
c2＝a2＋b2
(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为Ax2＋By2＝1(A·B____0)．
(5)双曲线的标准方程中，若x2项的系数为正，则焦点在____轴上；若y2项的系数为正，则焦点在____轴上．
<
x
y
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
【答案】B
双曲线定义的应用
8
【答案】11
求双曲线的标准方程
8
忽视焦点所在位置致误
【错因分析】只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．
【警示】通过双曲线的标准方程可以判断焦点的位置，其方法是看x2，y2的系数的符号，哪个系数为正，焦点就在哪个坐标轴上．本题不能确定x2，y2的系数的符号，必须分类讨论．
1．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．
2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或进行分类讨论．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】D
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2.2.2 双曲线的简单几何性质
目标定位 重点难点
1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质
2．掌握直线与双曲线的位置关系，能用坐标法解决一些与双曲线有关的几何问题 重点：双曲线的几何性质
难点：直线与双曲线的位置关系
1.双曲线的几何性质
2a
2b
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】C
求双曲线的标准方程
8
【例2】 求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率．
【解题探究】根据渐近线方程和焦点坐标求a，b，c.
双曲线的几何性质的应用
8
与双曲线几何性质有关问题的解题策略：(1)求双曲线的离心率(或范围)，依据题设条件，将问题转化为关于a，c的方程(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程，依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
【例3】 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？试求弦AB的长．
【解题探究】联立直线与双曲线的方程，转化为根与系数的关系来解决．
与弦长、中点有关的问题
8
与弦长、中点有关的问题，常联立直线与曲线的方程，利用根与系数的关系求解．在解题时，要注意灵活转化．
忽视焦点所在位置对渐近线方程的影响
【错因分析】虽然已知双曲线的渐近线方程，但是不能确定双曲线的焦点就一定在x轴上，而应讨论焦点在x轴和y轴上，对两种情况求解．
1．求双曲线的方程的方法
(1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用待定系数法或定义法求方程．
(2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方程．
2．求有关弦的问题，先联立方程组得一元二次方程，再利用方程根与系数关系进行整体处理，简化解题运算量．
3．重视数学思想方法的运用，优化解题思维，简化解题过程．
(1)方程思想：解析几何题目大部分以方程形式给出直线和圆锥曲线，把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用方程根与系数关系进行整体处理，简化解题运算过程．
(2)函数思想：对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度构成函数关系．
(3)对称思想：双曲线有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少变量和未知量，简化计算．
(4)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系，从而建立关系式．
(共30张PPT)
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
目标定位 重点难点
1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程
2．能根据条件确定抛物线的标准方程 重点：抛物线的方程
难点：抛物线的方程
1．抛物线的定义
平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)__________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的____________．
距离相等
焦点
准线
2．抛物线标准方程的几种形式
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
1．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
【答案】D
3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为( )
A．x2＝16y或y2＝12x
B．x2＝12y或y2＝16x
C．x2＝－12y或y2＝16x
D．x2＝16y或y2＝－12x
【答案】C
4．抛物线y2＝2x的焦点坐标是________，准线方程是________．
【例1】 动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
【解题探究】根据抛物线的定义来解答．
【答案】D
抛物线的定义的考查
【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线．故选D.
8
抛物线定义的考查有两个层次：一是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线；二是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，涉及距离、最值、弦长等．
【例2】 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和实数m的值；
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
【解题探究】点M的横坐标小于0且焦点在x轴上，故可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，再利用M与焦点距离关系列方程组并求解．
求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
8
焦点位置不同，抛物线标准方程的形式不同，对应的开口方向、焦点坐标、准线方程也不同．
2．已知抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．
【例3】 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求取最小值时P点坐标．
【解题探究】利用抛物线定义及两点间距离公式求解．
抛物线的应用
8
与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，本题运用抛物线的定义“化折(线)为直”，充分体现了数学中的转化思想．
考虑问题不全面致误
1．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只须求出p的值即可，常用待定系数法．用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)．
2．求最值问题：数形结合，利用抛物线的定义转化为几何知识求解．
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－4，则p的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】D
3．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上且恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
【答案】B
【解析】直线x＋2＝0为抛物线的准线，∴动圆过抛物线的焦点(2,0)．故选B.
【答案】x＝－2
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2.3.2 抛物线的简单几何性质
目标定位 重点难点
1.掌握抛物线的几何性质
2．能运用抛物线的几何性质解决与抛物线有关的问题 重点：抛物线的几何性质
难点：抛物线的几何性质的应用
抛物线的几何性质
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
y轴
原点(0,0)
e＝1
3．若抛物线y2＝2px上一点的横坐标为6，这点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为抛物线上一点，则以线段PF为直径的圆与y轴的位置关系为( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
【答案】C
【例1】 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径．求顶点在原点且通径长为8的抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．
【解题探究】焦点位置不确定，须分四种情况讨论．
抛物线的简单几何性质的应用
③当焦点在y轴正半轴上时，设方程为x2＝2py(p>0)，由题意得2p＝8，∴x2＝8y，焦点坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.
④当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，由题意得2p＝8，∴x2＝－8y，焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y＝2.
8
在四种标准方程下，抛物线的通径长都为2p，这是标准方程中系数2p的一种几何意义．对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用要做到准确熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．
【例2】 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【解题探究】分类讨论斜率存在情况，画草图找解题思路．
【解析】(1)若直线斜率不存在，则过P(0,1)的直线方程为x＝0.直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
直线与抛物线的位置关系
8
若直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个公共点；若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切，也可能是平行于对称轴.
2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)作一直线与抛物线交于P1，P2两点且使线段P1P2恰好被点P平分，求P1，P2所在的直线方程及|P1P2|.
不会用抛物线的定义致误
【错解】先求出点M的坐标后，用两点间的距离公式求|MF|，由于计算中变量较多，关系复杂，从而无法算出最后结果．
【错因分析】不会用抛物线的定义．
【警示】重视抛物线的定义在解题中的作用，利用定义实现点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，可方便快速地解决问题．
解决圆锥曲线的几何性质问题要注重数形结合思想方法的应用．数形结合思想其实是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合．通过对图形的认识，数形的转化，使问题化难为易，化抽象为具体．
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
【答案】B
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
4．抛物线y2＝4x与直线ax＋y－2a－2＝0有且只有一个交点，则实数a的值为______．
【答案】0
【解析】直线ax＋y－2a－2＝0过定点(2,2)，而点(2,2)在抛物线内，∴当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有且只有一个交点．∴a＝0.
(共4张PPT)
本章的主要内容是椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系．
1．求曲线方程是解析几何的常见题型，其方法也较多，如直接法、定义法、代入法、待定系数法等，不论哪种方法，虽然出发角度不同，但解决的问题是统一的，最终得到的答案是一致的.
2．椭圆、双曲线、抛物线是满足某些条件的点的轨迹，由条件可求标准方程，通过标准方程可研究几何性质．
3．求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是定义法和待定系数法．
4．掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，相应的图形，相应的几何性质及处理圆锥曲线问题的通性通法，坚持数形结合的思想的应用．
5．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线方程的公共解的问题，体现了方程的思想．对于直线与抛物线、双曲线要注意，它们有唯一公共点并不能说明直线与抛物线、双曲线相切，数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法．
6．学习时应重视：(1)定义在解题中的作用；(2)平面几何知识在解题中的简化功能；(3)根与系数关系在解题中“设而不求”的意义；(4)曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．
第二童圆锥曲线与方耀
内容概述
章导学
学法指导
(共36张PPT)
章末归纳整合
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
专题一 定义的应用
方法点评：利用双曲线的定义寻找等量关系，从而求得双曲线方程，利用定义使问题简便易行．遇到椭圆或双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题还要注意整体代换和余弦定理的运用．
变式训练1.过抛物线y2＝4x的焦点的一条直线交抛物线于A，B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则△ABC的边长是( )
A．8 B．10
C．12 D．14
【答案】C
圆锥曲线的最值与范围问题属一类问题，解法是统一的，主要有几何与代数法，其中包括数形结合法、函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等，主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思维能力．
专题二 圆锥曲线中的最值
【方法点评】求已知两线段和或差的最值和范围可以通过三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解．
一般地，求轨迹方程有直接求法和间接求法，直接求法主要是定义法，间接求法包括转移法、参数法、代换法等．
专题三 轨迹问题的探求方法
【方法点评】运用设而不求法求直线斜率时一定要注意分x1≠x2和x1＝x2两种情况讨论，同时注意对结果进行检验，一般是用“Δ>0”．
【例4】设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
【方法点评】对于求轨迹方程问题，要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型．求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上．
圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，注意在知识交汇处的命题．
