2020年重点中学数学素养与能力检测数学试题2（附答案解析）

2020年重点中学数学素养与能力检测2
数学试题
1.设二次函数f(x)=ax2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a的值为( )
(A)-3 (B)-5 (C)-7 (D)-9
2.已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是( )
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
3.如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )
(A) (B) (C) (D)

4.如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使∠MBN=135°.则MN的最小值是( )
(A)1+ (B)2+ (C)3+ (D)2
5.设△ABC的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分别为ha、hb、hc，满足ha+hb+hc=9r.则△ABC的形状( )
(A)一定是钝角三角形 (B)一定是等边三角形
(C)一定不是锐角三角形 (D)不一定是直角三角形
6.当x=时，代数式x4+5x3-3x2-8x+9的值是 .
7.已知△ABC的三边长分别为：AB=2，BC=，AC=，其中a>7.则△ABC的面积为 .
8.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD= AB.则∠FEG的度数是 .

9.如图,半径为,圆心角为90O的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 .

10．若一直角三角形两直角边的长a、b(a≠b)均为整数，且满足.试求这个直角三角形的三边长.







11．如图，两条平行线l1、l2之间的距离为6，l1、l2间有一半径为1的定圆⊙O切直线l2于点A，P是直线l1上一动点.过P作⊙O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l2于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.








2020年普通高中保送生模拟考试二
数学试题答案
1.设二次函数f(x)=ax2+ax+1的图像开口向下，且满足f(f(1))=f(3).则2a的值为( ).
(A)-3 (B)-5 (C)-7 (D)-9
【答案】B.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a+1)2+(2a+1)=12.所以,2a+1=3或-4.因a<0,故2a=-5.
2.已知实数a、b、c满足.则代数式ab+ac的值是( ).
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
【答案】A.题设等式化为4(ab+1)(ac+1)+(ab-ac)2=0，
即 (ab+ac)2+4(ab+ac)+4=0，亦即[(ab+ac)+2]2=0.故ab+ac=-2.
3.如图，Rt△ABC的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB、AC为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )
(A) (B) (C) (D)

【答案】C.记两圆公共部分的面积为S.如图,易知S=S扇形EAD+S扇形FAD-S四边形AEDF = .

4.如图，ABCD是边长为1的正方形，对角线AC所在的直线上有两点M、N，使∠MBN=135°.则MN的最小值是( ).
(A)1+ (B)2+ (C)3+ (D)2
【答案】B.设AM=x.易证△ABM∽△CNB.所以，AB/CN=AM/CB，即1/CN=x/1，亦即CN=1/x.
故MN=AM+AC+CN=
5.设△ABC的内切圆半径为r，BC=a，AC=b，AB=c，且其上的高分别为ha、hb、hc，满足ha+hb+hc=9r.则△ABC的形状( ).
(A)一定是钝角三角形 (B)一定是等边三角形
(C)一定不是锐角三角形 (D)不一定是直角三角形
【答案】B.ha+hb+hc=2S△ABC().因为S△ABC= r(a+b+c)，ha+hb+hc=9r，
则有(a+b+c) ()=9，即a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2=0，
所以，(a-b)2=(b-c)2=(c-a)2=0.故a=b=c.
6.当x=时，代数式x4+5x3-3x2-8x+9的值是 .
【答案】. x=是方程x2+3x-5=0的根,
7.已知△ABC的三边长分别为：AB=2，BC=，AC=，其中a>7.则△ABC的面积为 .
【答案】168.注意到AB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a-7)2+242.
如图,以AB为斜边,向△ABC一侧作直角△ABD,使BD=2a,AD=48,∠ADB=90°.
在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a-7,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.
因BC21=BE2+EC21=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a-7)2+242=AC2,故点C与点C1重合.而S△ABD=48a,S△CBD=24a,S△ACD=24(a-7),则S△ABC=S△ABD-S△CBD-S△ACD=168.
8.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD= AB.则∠FEG的度数是 .

【答案】120°.如图，联结AG、BF、FG，过点E作EP⊥FG于点P.
设AB=2a，则CD= AB=2 a.
因为OA=AD，G是OD的中点，于是，AG⊥OD.
所以，∠AGB=90°.同理，∠AFB=90°.
因此，A、B、F、G四点共圆，其直径为AB、圆心为E.
又F、G分别是OC、OD的中点，所以，FG=CD= 3a=2asin∠FEG.
故∠FEG=60°，∠FEG=120°.
9.如图,半径为,圆心角为90O的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设ΔOPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为 .

【答案】

10．若一直角三角形两直角边的长a、b(a≠b)均为整数，且满足.试求这个直角三角形的三边长.
【答案】因为a、b为正整数，所以，m也为正整数.从而，a、b是关于x的方程x2-(m+2)x+4m=0
的两个不等整数解.
所以，Δ=m2-12m+4必为完全平方数.
不妨设m2-12m+4=k2(k为正整数)，即m2-12m+4-k2=0.①
由此知关于m的方程①应有整数解，则Δ′==4(32+k2)
也必为完全平方数.于是，32+k2为完全平方数.
令32+k2=(k+n)2(n为正整数).
则32=(k+n)2-k2=n(2k+n).
显然，n<2k+n.
又32=1×32=2×16=4×8，于是，分三种情况讨论:
(1)n(2k+n)=1×32=1×(2k+1)，知k无整数解;
(2)n(2k+n)=2×16=2(2k+2)，知k=7，m=15，直角三角形的三边长分别为5，12，13;
(3)n(2k+n)=4×8=4(2k+4)，知k=2，m=12，直角三角形的三边长分别为6，8，10.
综上，直角三角形的三边长分别为5，12，13或6，8，10.

11．如图，两条平行线l1、l2之间的距离为6，l1、l2间有一半径为1的定圆⊙O切直线l2于点A，P是直线l1上一动点.过P作⊙O的两条切线PB、PC，切点分别为B、C，分别交直线l2于点M、N.试问AM·AN是一个定值吗?若是，求出该定值;若不是，说明理由.

【答案】如图，过点P作PD⊥l2于点D，联结OA、OB、OC、OM、ON、OP.则PD=6，OA=OB=OC=1.
设AM=m，AN=n，PC=p，DN=x，则DM=m+n-x.
由题意知，⊙O是△PMN的内切圆，所以，BM=AM=m，CN=AN=n，PB=PC=p;
OA⊥MN，OB⊥PM，OC⊥PN.
又S△PMN=S△OMN+S△ONP+S△OPM=MN·OA+PN·OC+PM·OB
= (MN+PN+PM)=m+n+p，S△PMN=MN·PD=3(m+n)，
则m+n+p=3(m+n).故p=2m+2n.①
在Rt△PDN和Rt△PDM中，由勾股定理得：PD2+DN2=PN2，PD2+MD2=PM2，
即 62+x2=(p+n)2， ②　　　　　　62+(m+n-x)2=(m+p)2. ③
②-③得
(m+n)(2x-m-n)=(n-m)(m+n+2p)=5(n-m)(m+n)，即 x=3n-2m.④
把式④代入式②得36+(3n-2m)2=(2m+3n)2，即 36=24mn.
从而，mn=1.5，即AM·AN=1.5.因此，AM·AN为定值，且定值为1.5.