2020年重点中学数学素养与能力检测数学试题3（附答案解析）

2020年重点中学数学素养与能力检测3
数学试题
1.若实数x，y满足| x+y |<| x―y |，则点M (x,y) 所在的象限为（ ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
2．已知（ ）
A． 　　　 B． 　　　 C． 　　 D．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
4．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；
②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；
③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）
5．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．
其中正确的结论（　　）
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
6．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　 　（结果保留根号）．

7．如图，点B，O，O/，C，D在一条直线上，BC是半圆O的直径，OD是半圆O/的直径，两半圆相交于点A，连结AB，AO/，若∠BAO/=67.2O，则∠AO/C＝ ．


8．直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与 B（0，-3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB相切。

9．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为　 　．
10．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点． （1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．






11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）求点C的坐标； （2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．



2020年普通高中保送生模拟考试三
数学试题答案
1.若实数x，y满足| x+y |<| x―y |，则点M (x,y) 所在的象限为（ B ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
2．已知（ D ）
A． 　　　 B． 　　　 C． 　　 D．
3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（　　）
A．1 B． C． D．2

解：作DE⊥AB于E，∵tan∠DBA==，∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE，∴BE=5AE，
又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，
∴在等腰直角三角形ADE中，由勾股定理得AD=2，故选（D）
4．在平面直角坐标系中，对于平面任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①f（a，b）=（﹣a，b），如，f（1，3）=（﹣1，3）；
②g（a，b）=（b，a），如，g（1，3）=（3，1）；
③h（a，b）=（﹣a，﹣b），如，h（1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以下变换有：f（g（2，﹣3））=f（﹣3，2）=（3，2），那么f（h（5，﹣3））等于（　　）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，﹣3） C．（5，3） D．（﹣5，3）
解：f（h（5，﹣3））=f（﹣5，3）=（（5，3），故选：C．
5．如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．
其中正确的结论（　　）
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°． ∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM=CN，
∵，
∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．
③过点F作FP∥AE于P点．∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=1：6=FG：BG，即 BG=6GF．故选D．

6．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于　 　（结果保留根号）．

解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=，∵AB=2AD，S△ABC=，∴S△ADE=，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，∴AH=HF，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x．又∵S△ADE=，作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，∴×AB×CM=，
∠BCM=30°，设AB=2k，BM=k，CM=k，∴k=1，AB=2，∴AE=AB=1，∴x+x=1，
解得x==．∴S△AEF=×1×=．故答案为：．

7．如图，点B，O，O/，C，D在一条直线上，BC是半圆O的直径，OD是半圆O/的直径，两半圆相交于点A，连结AB，AO/，若∠BAO/=67.2O，则∠AO/C＝


8．直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与 B（0，-3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB相切。

9．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为　 　．

解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，
∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，
由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，解得，
所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．
10．已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）．

解：（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，∴AO=2PO．∴==2，
∵PO=CO，∴．∵∠COA=∠BOC，∴△CAO∽△BCO；
（2）解：设OP=x，则OB=x﹣1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，∴x2=（x﹣1）（x+m），∴x=．
即OP=，∴OB=，∵OP是OA，OB的比例中项，即=，∵OP=OC，∴．
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵∠AOC=∠COB，∴△CAO∽△BCO，∴=，∴===m．
当点C与点P或点Q重合时，可得=m，∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别为（5，0）和（3，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3，
∵∠COD=90°，∴OC==4．∴点C的坐标是（0，4）；
（2）∵AB=OC=4，设AE=x，则DE=BE=4﹣x，AD=OA﹣OD=5﹣3=2，
在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2．∴（4﹣x）2=22+x2．解之，得x=，即点E的坐标是（5，）．
设DE所在直线的解析式为y=kx+b，
∴解之，得∴DE所在直线的解析式为y=x﹣；
（3）∵点C（0，4）在抛物线y=2x2+bx+c上，∴c=4．即抛物线为y=2x2+bx+c．
假设在抛物线y=2x2+bx+c上存在点G，使得△CMG为等边三角形，
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．
设点G的坐标为（m，n），
∴m=﹣，n==，即点G的坐标为（﹣，）．
设对称轴x=﹣b与直线CB交于点F，与x轴交于点H．则点F的坐标为（﹣b，4）．
∵b＜0，∴m＞0，点G在y轴的右侧，
CF=m=﹣，FH=4，FG=4﹣=．（*）∵CM=CG=2CF=﹣，
∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2，（﹣）2=（﹣）2+（）2．解之，得b=﹣2．
∵b＜0∴m=﹣b=，n==．
∴点G的坐标为（，）．
∴在抛物线y=2x2+bx+c（b＜0）上存在点G（，），使得△CMG为等边三角形．
在（*）后解法二：Rt△CGF中，∠CGF=×60°=30度．