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旋转体及简单组合体的结构特征
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 两个圆锥
2．下列说法正确的是( )
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A. 一个棱柱中挖去一个棱柱
B. 一个棱柱中挖去一个圆柱
C. 一个圆柱中挖去一个棱锥
D. 一个棱台中挖去一个圆柱
4．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0.5
6．下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; ④球面上任意三点可能在一条直线上; ⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ①④⑤
7．在正方体ABCD-A'B'C'D'中, P为棱AA'上一动点, Q为底面ABCD上一动点, 且线段PQ的长为一常数，M是PQ的中点. 当点P, Q在运动时,点M构成的点集是一个空间几何体, 则这个几何体是( )
A. 圆柱的一部分 B. 圆锥的一部分
C. 圆台的一部分 D. 球的一部分
二、填空题
8．已知一个圆锥的母线长为6, 底面半径为3, 用该圆锥截一圆台, 截得圆台的母线长为4, 则圆台的另一底面半径为 .?
9．圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
10．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:
①由一个长方体割去一个四棱柱所构成的;
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的;
③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的;
④由一个长方体与两个四棱台组合而成的.
其中说法正确的序号是 .?
三、解答题
11. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
12. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
绳子的最短长度的平方f(x)；
绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
f(x)的最大值.
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旋转体及简单组合体的结构特征（解析版）
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 两个圆锥
解析：连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
解析：对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．
对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．
对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．
答案：C
3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A. 一个棱柱中挖去一个棱柱
B. 一个棱柱中挖去一个圆柱
C. 一个圆柱中挖去一个棱锥
D. 一个棱台中挖去一个圆柱
解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱.
答案：B
4．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.
答案：B
5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0.5
解析：如图所示，
∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝eq \r(R2－r)，d2＝eq \r(R2－r)，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
答案：B
6．下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; ②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径; ③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; ④球面上任意三点可能在一条直线上; ⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ①④⑤
解析：本题主要考查球的概念与性质,正确理解球的有关性质是解题的关键.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确.
答案：C
7．在正方体ABCD-A'B'C'D'中, P为棱AA'上一动点, Q为底面ABCD上一动点, 且线段PQ的长为一常数，M是PQ的中点. 当点P, Q在运动时,点M构成的点集是一个空间几何体, 则这个几何体是( )
A. 圆柱的一部分 B. 圆锥的一部分
C. 圆台的一部分 D. 球的一部分
解析：连接AQ，则△PAQ为直角三角形，点M为斜边PQ的中点，则AM=PQ，为一常数. A为定点，M为一动点，由于点M到点A的距离始终为一定值，所以点M构成的点集为球的一部分.
答案：D
二、填空题
8．已知一个圆锥的母线长为6, 底面半径为3, 用该圆锥截一圆台, 截得圆台的母线长为4, 则圆台的另一底面半径为 .?
解析：作轴截面如图,则.解得r=1.
答案：1
9．圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
解析：如图所示，作出轴截面，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9 cm，
∴S梯形ABCD＝×(4＋10)×9＝63(cm2).
答案：63
10．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:
①由一个长方体割去一个四棱柱所构成的;
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成的;
③由一个长方体挖去一个四棱台所构成的;
④由一个长方体与两个四棱台组合而成的.
其中说法正确的序号是 .?
解析：如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故说法①②正确.
答案：①②
三、解答题
11. 已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
解析：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽VMN，
所以＝，即＝，
所以hx＝2rh－2rx，
即x＝.
故这个正方体的棱长为.
12. 如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
绳子的最短长度的平方f(x)；
绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
f(x)的最大值.
解析：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4).
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
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