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第18章 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
课堂讲解
课时流程
1
2
勾股定理的逆定理
勾股数
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1.勾股定理：直角三角形的两条________的平方____
等于______的_______，即___________.
2.填空题
(1)在Rt△ABC，∠C=90°，a=8， b=15，则c= .
(2)在Rt△ABC，∠B=90°，a=3， b=4，则c= .
（如图）
3.直角三角形的性质
(1)有一个角是 ；
(2)两个锐角 ，
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方;
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的
_______边是 边的一半．
知1－导
1
知识点
勾股定理的逆定理
据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根
绳子上连续打上等 距离的13个结，
然后，用钉子将第1个与第13个结
钉在一起，拉紧绳子, 再在第4个
和第8个结处各钉上一个钉子，如
图. 这样围成的三角形中，最长
边所对的角就是直角.
思考
知1－导
2. 用圆规、直尺作 △ABC, 使AB =5 , AC = 4,
BC = 3, 如图, 量一量∠C，它是90°吗？
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定
是直角三角形呢？
知1－讲
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
知1－讲
要点精析：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a，b，c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形同样是直角三角形；只是这时a为斜边．
根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1)a=7，b=24，c=25；
(2)a=7，b=8，c =11.
例1
知1－讲
知1－讲
(1)∵最大边是c=25，c2=625，
a2+b2=72 +242 =625 ，
∴ a2+b2＝c2
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
解：
(2) ∵最大边是c=11，c2=121，
a2+b2=72 +82 =113 ，
∴ a2+b2 ≠ c2
∴△ABC不是直角三角形 .
判断三条线段能否组成直角三角形的方法：
先确定最长线段，再看最长线段的平方是否等于其他两条线段的平方和，若相等，则这三条线段可以组成直角三角形，否则不能组成直角三角形．
知1－讲
知1－讲
〈易错题〉已知a，b，c为△ABC的三边长，且满
足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
先将等式两边同时分解因式，然后通过对分解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
例2
导引：
知1－讲
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2，
∴△ABC是直角三角形．
解：
知1－讲
(2)当a2－b2＝0，即a＝b时，
若a2＋b2－c2≠0，则△ABC是等腰三角形；
若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形
或等腰直角三角形．
知1－讲
两个因式的积为0，有只有一个因式为0和两个因式都为0两种情况；判断三角形的形状时，不仅要考虑直角三角形，还要考虑等腰三角形．本题易丢掉情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边同时除以一个可能为0的数，从而导致了错误．
知1－练
1
不是
判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a= 2，b = 3, c =4. ( )
(2) a= 9，b = 7，c = 12. ( )
(3) a= 25，b =20，c = 15. ( )
不是
是
知1－练
2
C
(中考·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
知1－练
A
3
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
知1－练
C
4
五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
2
知识点
勾股数
知2－讲
1．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
知2－讲
要点精析：
(1)勾股数组有无数个；
(2)一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数．
知2－讲
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
知2－讲
已知：在△ABC中，三条边长分别为a = n2 -1, b=2n，c = n2 +1(n＞1). 求证： △ABC为直角三角形
例3
∵a2＋b2＝(n2-1)2 ＋ (2n)2
＝n4 -2n2 + 1 + 4n2
＝n4 + 2n2 + 1
＝(n2 +1)2
＝c2,
∴ △ABC为直角三角形. (勾股定理的逆定理)
证明：
知2－讲
根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．A. 62＋72≠82，不能构成勾股数，故错误；B. 52＋82≠132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；D. 212＋282＝352，能构成勾股数，故正确．故选D.
例4 下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35
D
导引：
知2－讲
确定勾股数的方法：
首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度．
除3, 4, 5外，再写出3组勾股数.
在△ABC中，三边长a，b，c满足(a+c)(a-c)=b2,则△ABC是什么三角形
知2－练
5，12，13；8，15，17；7，24，25
1
2
直角三角形
知2－练
B
3 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它的三边长分别是( )
A．3，4，5 B．6，8，10
C．3，4，6 D．4，6，8
知2－练
B
4
下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6 B．12，16，20
C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数), 其中是勾股数的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5
D
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要工具，不能机械的认为c边所对的角必是直角.
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数 注意的条件：(1)这些数是正整数；(2)有且只有三个数；(3)满足a2+b2=c2.
方法规律总结：
我们学过的识别直角三角形的方法有：
(1)两锐角互余的三角形是直角三角形；
(2)有一个角是直角的三角形；
(3)勾股定理的逆定理.
请完成《点拨训练》P48-49对应习题。
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第18章 勾股定理
18.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理和勾股定理的逆定理的区别和联系：
联系：两者都与三角形的________有关．
区别：勾股定理是以一个三角形是直角三角形为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系a2＋b2＝c2；勾股定理的逆定理则是以一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判断一个三角形是否是直角三角形的一个方法 .
三边
1．(蚌埠期末)要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3 m，顶端离地面4 m，则梯子的长度为( )
A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m
D
1
知识点
实际应用
2．如图，一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间
是( )
小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
C
点拨：
∵走私船在A处的南偏东60°方向上，∴∠ABD＝30°，∵走私船在B处沿南偏西30°方向行驶，∴∠CBD＝60°，∴∠CBA＝90°.设追上走私船所需时间是t小时，则(20t)2＋122＝(25t)2，解得t＝－
(不合题意，舍去)或t＝ .故选C.
3．(巢湖月考)图甲是我国古代著名的“赵爽
弦图”的示意图，它是由四个全等的直
角三角形围成的．在Rt△ABC中，直角
边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________．
76
点拨：
设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122＋52＝169，所以x＝13，所以“数学风车”的周长是(13＋6)×4＝76.
4．(中考·枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式．即：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则
该三角形的面积为S＝ ，已知
△ABC的三边长分别为 ，2，1，则△ABC的面积为
________．
1
点拨：
方法一：把 ，2，1代入三角形的面积公式得S＝
＝1.
方法二：
由△ABC的三边长分别为 ，2，1，根据勾股定理
的逆定理得△ABC是直角三角形，故其面积为 ×
2×1＝1.
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且c＋a＝2b，c－a＝ b，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．锐角三角形
A
2
知识点
几何应用
点拨：
∵c＋a＝2b，c－a＝ b，∴c＝ b，a＝ b，∴a2＋b2＝ ＋b2＝ b2，∵c2＝ ＝ b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
6．如图，四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为( )
A．36 cm2 B．22 cm2
C．18 cm2 D．12 cm2
A
点拨：
连接BD，∵∠A＝90°，AB＝3 cm，AD＝4 cm，∴BD
＝ ＝5(cm)，∵52＋122＝132，∴BD2＋CD2＝CB2，∴∠BDC＝90°，∴S△DBC＝ ×DB×CD＝ ×5×12＝30(cm2)，S△ABD＝ ×AB×AD＝ ×3×4＝6(cm2)，∴四边形ABCD的面积为30＋6＝36(cm2)，故选A.
7．(中考·重庆A卷)如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2 厘米，则△ABC的边BC＝________厘米．
点拨：如图，过点E作EM⊥AG于点M，则由AE＝EG，得AG＝2MG. ∵∠AGE＝30°，EG＝2 厘米，∴EM＝ EG
＝ 厘米．在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝
＝3(厘米)，从而AG＝6厘米．由折叠可知，BE＝AE＝2 厘米，GC＝AG＝6厘米．∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 ＋2
＋6＝4 ＋6(厘米)．
8．(灵璧月考)在△ABC中，AB＝AC＝17 cm，BC＝16 cm，AD⊥BC于点D，则AD＝________．
15 cm
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)、B(－2，3)，则∠OAB＝________ .
45°
点拨：
连接OB，则OA＝ ，OB＝ ，
AB＝ .∵( )2＋( )2＝( )2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°.
10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________．
点拨：
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE.在△ADC与△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝BE＝13.在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，∴AB2＋AE2＝BE2，∴∠BAE＝90°.在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝6，∴BD＝ ，∴BC＝2 .
11．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：
a2＋b2＝c2.
证明：由题意知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.
又∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°，∴∠C′AC＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，
∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c2.
∴(a＋b)2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
12．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100 m回
到家A处．问小明在河边B处取水后是
沿哪个方向行走的？并说明理由．
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，∴AB2＋BC2＝AC2.
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
13．如图是由边长为1的小正方形组成的网格．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．
解：(1)如图，将四边形ABCD分成4个小直角三角形，发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即 ×52＝12.5.
(2)AD⊥CD.理由如下：
在△ADC中，因为AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，
AC2＝52＝25，
所以AD2＋CD2＝AC2，
所以△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.
14．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海．晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测，AC＝10 n mile，AB＝6 n mile，BC＝8 n mile.若该
可疑船只的速度为12.8 n mile/h，则该可
疑船只最早何时进入我国领海？
解：∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又S△ABC＝ AC·BD＝ AB·BC，
∴ ×10·BD＝ ×6×8，
解得BD＝4.8.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82，解得CD＝6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.
点拨：
此类问题，需要先将实际问题抽象成数学问题，然后选择相应的数学知识解决．
