微专题二：单线段最值+双动点型
考法指导
解决双动点问题的核心时，常借助六种方法把双动点问题转化为上述单动点型问题。
利用等量代换实现转化
利用线段和差实现转化
利用勾股定理实现转化
利用三角形图形之间关联及边角关系（构造全等，相似，中位线及直角三角形斜边上的中线）实现转化
利用添加“隐圆”实现转化
利用轴对称实现转化
技法1借助等量代换实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·河北省）如图，中，，，，点D是AC上的任意一点，过点D作于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值是_________．
【答案】2.4
【详解】
解：连接BD
四边形BEDF是矩形
当时，BD取最小值，
在中，，，根据勾股定理得AC=5，
所以EF的最小值等于BD的最小值为2.4.
故答案为2.4
【针对训练】
1．（2018·周南实验中学初二期中）已知：如图，已知直线 AB 的函数解析式为 y 2x 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B ．
（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）若点 P m, n为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE x 轴于 E ， PF y轴于点 F ，连接 EF ，问：
①若PEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 3时 P 点的坐标；
②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（4，0），B（0，8）；（2）①；②存在；EF的最小值=OP=.
【详解】
解：（1）令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则-2x+8=0，
∴x=4，
∴A（4，0），
（2）①∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，
∴-2m+8=n，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴0＜m＜4
∵PF=m，PE=-2m+8
∴=PF×PE=×m×（-2m+8）=，（0＜m＜4）；
②存在，如图
理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB=
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OP，
，
∴EF的最小值=OP=.
2．（2020·晋江市三民中学初三月考）如图，点A在抛物线上，直线⊥y轴于点M，AC⊥于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，若点M的坐标为(0，6)，则BD的取值范围是_______．
【答案】
【详解】
∵=-(x+1)(x-3)，
∴顶点坐标为（1，4），与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0），
∵0≤x≤3，
∴当A与顶点重合时，AC最短，
当x=1时，y=-1+2+3=4，
∴AC=6-4=2；
当A在轴上时，AC最长，此时AC=6，
∴2≤AC≤6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴BD的取值范围是．
故答案为：
3．（2017·四川中考在真题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
4．（2017·辽宁中考真题）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
【详解】
解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．
（2）如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF= =，∴BD=CE=BF﹣DF=，∴FH=EC=．
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=BD，∴△GFH的周长=3GF=BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
技法2借助隐圆实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·黄陂区）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．
【答案】
【详解】
如图，过点B作BG⊥AC，过点A作AH⊥BC，连接AD，
∵AB=5，∠BAC=60°，BG⊥AC，
∴AG=，BG=AG=，
∵AC=8，AG=，
∴GC=，
∴BC===7，
∵S△ABC=?BC?AH=?AC?BG，
∴AH=，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴∠AED+∠AFD=180°，
∴点A，点E，点D，点F四点在以AD为直径的圆上，设圆心为O，连接OE，OF，
∴∠EOF=120°，
∴EF=2?OE?cos30°，
∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小，
∴AD与AH重合时，EF最小，
∴EF最小值为
【针对训练】
1．（2019·湖北省初三月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．
【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值为
【详解】
（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2×=，
∴BC=2 BM=2×=3；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt?BDF与Rt?BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴?OEF是等边三角形，
∴EF=OF=BD，
∵∠C=∠EBF =30°，
∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，
∴EF的最小值=BD =×=．
2．（2018·武汉市初二期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y满足．
（1）矩形的顶点B的坐标是 ．
（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连BE并延长BE交y轴于Q点．
①求证：四边形DBOQ是平行四边形．
②求△OEQ面积．
（3）如图2，在（2）的条件下，若R在线段AB上，AR＝4，P是AB左侧一动点，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？
【答案】（1）点B（﹣4，6）；（2）①见解析；②S△EOQ＝；（3）PQ的最大值为2+
【详解】
解：（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0
∴x＝4，
∴y＝6
∴点A（﹣4，0），点C（0，6）
∴点B（﹣4，6）
故答案为（﹣4，6）
（2）①∵D是AB中点，
∴AD＝BD
∵折叠
∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE
∴∠DBE＝∠DEB
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB
∴∠ADO＝∠DBE
∴OD∥BQ，且AB∥OC
∴四边形BDOQ是平行四边形，
②如图，过点D作DF⊥BQ于点F，
∵AD＝3，AO＝4
∴DO＝＝5
∵四边形BDOQ是平行四边形，
∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，
∴CQ＝CO﹣OQ＝3
∵AB∥CO
∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°
∴△BFD∽△QCB
∴
∵DE＝BD，DF⊥BQ
，
∴S?BDOQ＝12
∴S△EOQ＝S?BDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝
（3）如图，连接RO，以RO为直径作圆H，作HF⊥OQ于点F，
∵RA＝4＝AO
∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝
∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°
∴点A，点P，点R，点O四点共圆
∴点P在以点H为圆心，RO为直径的圆上，
∴点P，点H，点Q三点共线时，PQ值最大，
∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，
∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝
∴HF＝OF＝2，
∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1
∴HQ＝
∴PQ的最大值为.
技法3 借助三角形图形之间关联及边角关系实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·江苏省初三期末）如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为_____．
【答案】6
【详解】
解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，
由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为(4，3)，
∴OD＝＝5，
∵Rt△ABO中，OE＝AB＝×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于6，
故答案为：6．
【针对训练】
1．（2019·山东省初三期中）如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则的最大值是_______．
【答案】
【详解】
解：∵点分别是的中点，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2019·贵州中考真题）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．
【答案】
【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，
∵四边形DEFG是矩形，
∴AQ⊥DG，GF=PQ，
设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，
由DG∥BC知△ADG∽△ABC，
∴，即，
则EF=DG=（4﹣x），
∴EG===，
∴当x=时，EG取得最小值，最小值为，
故答案为：.
3．（2018·河南省初三期中）如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是，的中点，则长度的最大值为___．
【答案】．
【详解】
解：如图，连结，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
，
当点与点重合时，的值最大即最大，
在中，
，，，
，
的最大值．
故答案为：．
4．（2019·广东中考真题）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为.
【详解】
（1）证明：连接，则：
∵为直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
∵轴
∴
∴
∴直线为的切线.
（2）①如图1，当位于上时：
∵
∴
∴设，则
∴
∴，解得：
∴
即
如图2，当位于的延长线上时：
∵
∴设，则
∴
∴
解得：
∴
即
②如图，作于点，
∵是直径
∴
∴
∴
∵半径
∴
∴的最大值为.
技法4 借助轴对称实现转化
【典例精析】
1．（2020·南山期末）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
【答案】14
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
技法5 借助线段和差实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·河北省初三）如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，
尝试：
（1）点P′在所在的圆 （填“内”“上”或“外”）；
（2）AB＝ ．
发现：
（1）PD的最大值为 ；
【答案】尝试：（1）上；（2）2；发现：（1）3；
【详解】
尝试：（1）∵点P′与P关于直线OA对称，
∴点P′在所在的圆上，
故答案为：上；
（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，
连接BE，则∠ABE＝90°，
∵∠AOB＝152°，OB＝OA，
∴∠BAO＝∠ABO＝14°
∵OA＝4，
∴AE＝2OA＝8，
∴AB＝AE?cos14°＝8×＝2，
故答案为：2；
发现：（1）∵PD=OP-PD,OP为定值，当OD值最小时，PD值最大，当OP⊥AB时，点D到直线AB的距离最小，故此时PD有最大值，
∵在Rt△AOD中， OA＝4，cos∠OAD＝，
∴AD＝，
∴OD＝＝1，
∴PD＝4﹣1＝3，
∴PD的最大值为3，
故答案为：3；
【针对训练】
1．（2020·晋江初三月考）如图，在中，，，P是以BC为直径的上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】
如图，连接AM、PM，利用勾股定理可求出AM的长，根据AP+PM≥AM可得A，P，M三点共线时，AP的长最小，根据线段的和差关系即可求出此时AP的长．
【详解】
如图，连接AM、PM，
∵BC为的直径，BC=16，
∴CM=8，
在中，，
∵AP+PM≥AM，
∴当A，P，M三点共线时，AP的长最小，此时AP=AM-PM=AM-CM=17-8=9．
故答案为：9
微专题二：单线段最值+双动点型
考法指导
解决双动点问题的核心时，常借助六种方法把双动点问题转化为上述单动点型问题。
利用等量代换实现转化
利用线段和差实现转化
利用勾股定理实现转化
利用三角形图形之间关联及边角关系（构造全等，相似，中位线及直角三角形斜边上的中线）实现转化
利用添加“隐圆”实现转化
利用轴对称实现转化
技法1借助等量代换实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·河北省）如图，中，，，，点D是AC上的任意一点，过点D作于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值是_________．
【针对训练】
1．（2018·周南初二期中）已知：如图，已知直线 AB 的函数解析式为 y 2x 8 ，与 x 轴交于点 A ，与 y轴交于点 B ．
（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）若点 P m, n为线段 AB 上的一个动点（与 A 、B 不重合），作 PE x 轴于 E ， PF y轴于点 F ，连接 EF ，问：
①若PEF 的面积为 S ，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S 3时 P 点的坐标；
②是否存在点 P ，使 EF 的值最小？若存在，求出 EF 的最小值；若不存在，请说明理由．
2．（2020·晋江初三月考）如图，点A在抛物线上，直线⊥y轴于点M，AC⊥于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，若点M的坐标为(0，6)，则BD的取值范围是_______．
3．（2017·四川中考在真题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2017·辽宁中考真题）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
技法2借助隐圆实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·黄陂区）在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠BAC＝60°，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为_____．
【针对训练】
1．（2019·湖北省初三月考）如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．
2．（2018·武汉市初二期中）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y满足．
（1）矩形的顶点B的坐标是 ．
（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连BE并延长BE交y轴于Q点．
①求证：四边形DBOQ是平行四边形．
②求△OEQ面积．
（3）如图2，在（2）的条件下，若R在线段AB上，AR＝4，P是AB左侧一动点，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？
技法3 借助三角形图形之间关联及边角关系实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·江苏省初三期末）如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB＝4，点D坐标为（4，3），点A关于点D的对称点为点C，连接BC，则BC的最小值为_____．
【针对训练】
1．（2019·山东省初三期中）如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别是，的中点，则的最大值是_______．
2．（2019·贵州中考真题）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．
3．（2018·河南省初三期中）如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是，的中点，则长度的最大值为___．
4．（2019·广东中考真题）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.
（1）求证：直线是的切线；
（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：
①当时，求所有点的坐标 （直接写出）；
②求的最大值.
技法4 借助轴对称实现转化
【典例精析】
1．（2020·南山期末）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
【答案】14
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
技法5 借助线段和差实现转化
【典例精析】
例题1．（2019·河北省初三）如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，
尝试：
（1）点P′在所在的圆 （填“内”“上”或“外”）；
（2）AB＝ ．
发现：
（1）PD的最大值为 ；
【针对训练】
1．（2020·晋江初三月考）如图，在中，，，P是以BC为直径的上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值为_______．
