人教版数学八年级下册同步练习：18.2.3正方形（含详细答案）

人教版八年级下册同步练习：18.2.3正方形
一．选择题（共8小题）
1．矩形各内角的平分线能围成一个（　　）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
2．在下列说法中不正确的是（　　）
A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
B．两条对角线相等的菱形是正方形
C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
3．在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是（　　）
A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
4．如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
5．如图，已知矩形ABCD中，下列件能使矩形ABCD成为正方形的是（　　）

A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）

A．BD＝AB B．AC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝AC
7．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　）

A．AC＝BD，AB∥CB，AD∥BC B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
8．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）

A．30 B．34 C．36 D．40
二．填空题（共6小题）
9．正方形ABCD中，AC＝4，则正方形ABCD面积为　 　．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，要使ABCD是正方形，则需增加一个条件是　 　（不加字母和辅助线）．

11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为　 　度．

12．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为　 　cm．

13．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD；③AB＝CD；④AC⊥BD中的哪两个　 　（填代号）．
14．如图，四边形ABCD是正方形，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于　 　．

三．解答题（共6小题）
15．如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．

16．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F．求证：四边形CEDF是正方形．

17．在正方形ABCD中，M、N分别是边CD、AD的中点，连接BN，AM交于点E．求证：AM⊥BN．

18．如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．

19．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．

20．如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE⊥DH于E，BF⊥AE于F，CG⊥BF于F，DH⊥CG于H，且∠ABF＝∠BCG＝∠CDH＝∠DAE＝30°．
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）求正方形EFGH的面积．



























参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°
又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，
所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．
故选：D．
2．【解答】解：A、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
B、两条对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
C、两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；
D、应是两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故选D．
4．【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），
∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．
故选：B．
5．【解答】解：A、当AC＝BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
C、矩形ABCD的对边AD＝BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；
D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
6．【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．
即∠ABC＝90°或AC＝BD．
故选：C．
7．【解答】解：A、两组对边平行，对角线相等可能是矩形，故本选项错误；
B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可能是矩形，故本选项错误；
C、对角线互相平分，邻边相等的四边形有可能是菱形．故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确；
故选：D．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．【解答】解：∵AC的长为4，
∴正方形ABCD的面积为×42＝8，
故答案为：8．

10．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD；
故答案为：AC＝BD．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵△ABE是等边三角形
∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°
∴AD＝AE，∠DAE＝150°
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°
∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°
故答案为：45．
12．【解答】解：如图1，2中，连接AC．

在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝40°，
∴AB＝BC＝20，
在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝20，
故答案为：20，
13．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
若AB＝AD，
则四边形ABCD为正方形；
若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．
故填：①②或①④．

14．【解答】解：作NF⊥BC于F．
则在直角△BEC和直角△FMN中，∠B＝∠NFM＝90°，
∴在Rt△BEC和Rt△FMN中，
∴，
∴△BEC≌△FMN
∴∠MNF＝∠MCE＝35°
∴∠ANM＝90°﹣∠MNF＝55°
故答案是：55°

三．解答题（共6小题）
15．【解答】解：四边形EFGH是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CG＝GH，
∴AH＝DG＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．
∴四边形EFGH是菱形．
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°．
∴∠EHG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．

16．【解答】证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F，
∴EC＝ED，FC＝FD，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴ED＝EC＝CF＝FD，
∴四边形CEDF为菱形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF为正方形．
17．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAN＝∠ADM＝90°，
∵M、N分别是边CD、AD的中点，
∴AN＝AD，DM＝CD，
∴AN＝DM，
在△ABN和△DAM中，，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠ABN＝∠DAM，
∵∠DAM+∠BAE＝90°，
∴∠ABN+∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AM⊥BN．
18．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF＝DE＝DN，
∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，
∴AB＝10，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF＝DE＝DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，
故EC＝＝2．

19．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，

（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．

20．【解答】解：（1）∵AE⊥DH，DH⊥CG，
∴AE∥CG，
同理：BF∥DH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AE⊥DH，
∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，BF＝AE
同理：AF＝BG
∴FG＝FE，
∴矩形EFGH是正方形
（2）在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，AB＝2，
∴AF＝1，BF＝，
同理：AE＝，
∴EF＝AE﹣AF＝﹣1，
∴正方形EFGH的面积＝EF2＝（﹣1）2＝4﹣2．