沪科版八上数学15.2线段的垂直平分线教学课件（43张）

(共43张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第2节 线段的垂直平分线
课堂讲解
课时流程
1
2
线段垂直平分线的画法
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的判定
逐点
导讲练
课堂小结
课后
作业
1
知识点
线段垂直平分线的画法
知1－讲
怎样作出线段的垂直平分线?
问 题
知1－讲
通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一条线段AA'，折纸，使A与A'重合，得到的折痕l是线段 AA'的垂直平分线（如图).
步骤1
步骤2
步骤3
知1－讲
也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.
知1－讲
下面介绍用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A，B为圆心，大于
交于点E，F.
2.过点E，F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直
平分线（如图).
2
知识点
线段垂直平分线的性质
知2－讲
思考
为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，你能给出证明吗？
知2－讲
线段的垂直平分线的性质：
1.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，
点P在l上，则AP＝BP.
2.作用：可用来证明两线段相等．
知2－讲
例1 (山东临沂)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD， 垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　　　　
B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
C
知2－讲
导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，结合三角形全等对四个选项进行逐一验证．
∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝DC，
又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，
∴∠BCA＝∠DCA.
又∵BC＝DC，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC，∴选项A，B，D成立．
知2－讲
平面几何图形问题的解决方法：分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可．
知2－讲
例2 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
知2－讲
导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．
知2－讲
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
知2－讲
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
知2－讲
例3 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是________．
10°
知2－讲
导引：在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°.
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，AE＝CE.又∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠DCE＝∠A＝40°.
∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
知2－讲
利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定∠DCA的度数，根据角度差解决问题．
知2－练
1
(中考·义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
B
知2－练
(中考·临沂)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　 B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD　 D．△BEC≌△DEC
2
C
知2－练
3
(中考·遂宁)如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，若△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(　　)
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
C
知2－练
(中考·荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，
AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E
点，若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，
24 cm，则AB＝________．
4
16cm
3
知识点
线段垂直平分线的判定
知3－讲
思考
你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题 吗？如果是真命题，请给出证明.
知3－讲
线段的垂直平分线的判定：
1．定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
(1)条件：点到线段两端距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
(2)表达方式：如图，∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
知3－讲
(3)作用：①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
2．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心．
知3－讲
例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．
导引：根据角平分线的定义可得
∠BAD＝∠CAD，结合已知条件可证△ADE≌△ADC，所以DE＝DC，AE＝AC，所以点D、A都在CE的垂直平分线上，从而就能证明结论．
知3－讲
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ACB＝90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，AC＝AE，
∴点D、A都在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
知3－讲
利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线．因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线．注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义．
知3－讲
例5 已知：如图，△ABC的边AB, AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在BC的垂直平分线上.
知3－讲
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB, AC的垂直平分线上,（已知）
∴PA = PB, PA = PC.(线段垂直平分线
上的点到线段两端的距离相等）
∴PB = PC.(等量代换）
∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
知3－讲
例6 如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，求证：
(1)BE＝DE；
(2)∠ABE＝∠ADE.
知3－讲
导引：(1)连接BD，要证BE＝DE，只要证明E点是线段BD的垂直平分线上的点即可．由AB＝AD，说明A点是线段BD的垂直平分线上的点，由BC＝DC，说明C点也是线段BD的垂直平分线上的点，所以AC是线段BD的垂直平分线，而已知E是AC上一点，问题得以解决．(2)要证明角相等，只需证明△ABE≌△ADE即可．
知3－讲
证明：(1)连接BD，如图，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴A，C两点均在线段BD的垂直平分线上．
∴AC是线段BD的垂直平分线．
又∵E是AC上一点，
∴BE＝DE.

知3－讲
证明： (2)在△ABE和△ADE中，
∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE(SSS)，
∴∠ABE＝∠ADE.
知3－讲
由线段的垂直平分线的判定定理确定AC是线段BD的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得BE＝DE，这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用．
知3－讲
例7 如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心
应建于何处，才能使得它到
三个小区的距离相等？
知3－讲
导引：本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等．首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点．
知3－讲
解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图.
知3－讲
解决作图选点性问题：若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找．
知3－练
锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC(　　)
A．三条角平分线的交点　
B．三条中线的交点
C．三条高的交点　　
D．三边垂直平分线的交点
1
D
知3－练
如图，点D在三角形ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　)的垂直平分线上．
A．AB B．AC
C．BC D．不确定
2
B
1．线段的垂直平分线的性质和判定的“两点作用”：
(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需直线满足垂直、平分即可；
(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的相等关系．
2．应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离．
请完成对应习题。