第一章 整式的乘除
1.2幂的乘方与积的乘方
第1课时
一、教学目标
1．理解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算．
2．在探索幂的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力．
二、教学重点及难点
重点：掌握幂的乘方的运算法则，能利用法则进行计算．
难点：幂的乘方法则的探究过程．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍；地球、木星、太阳可近似看作是球体；木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？
（木星为地球的103倍；太阳为地球的（102）3倍）．
那么你知道（102）3等于多少吗？102是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方．这节课我们就来研究幂的另一个运算----幂的乘方．
设计意图：从地球、木星、太阳的半径关系入手有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们的求知欲望，从而顺利导入新课．
【探究新知】
活动1．探索等于多少？（鼓励学生大胆猜想）
学生会出现以下几种可能结果：①；②；③．
那到底谁的猜想是正确的呢？小组合作讨论（老师提示：根据幂的意义和同底数幂的乘法的运算性质）．
师生共同得出结果：
．
即：．
活动2．填空：
（1）．
即：．
让学生思考后再次完成填空．
（2）．
即：．
活动3. ．
即：．
于是我们得到：（m，n都是正整数）．
教师补充解释m，n都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，最后师生共同用精炼的文字概括表述幂的乘方的运算性质：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
这一性质可以推广到多重乘方的情况：．
设计意图：让学生感受寻找幂的乘方运算规律的必要性，激发了学习动机，先将底数改成字母a，再将指数依次改为字母m，n．这里从具体数字到一般字母，循序渐进，符合学生的认知规律，最后探究得出幂的乘方的运算性质：（m，n都是正整数），即幂乘方，底数不变，指数相乘．
【典型例题】
例1计算：
(1)(102)3； (2)(b5)5； (3)(an)3； (4)－(x2)m； (5)(y2)3·y； (6)2(a2)6－(a3)4．
解：(1)(102)3＝102·102·102＝102＋2＋2＝102×3＝106．
(2)(b5)5＝b5·b5·b5·b5·b5＝b5＋5＋5＋5＋5＝b5×5＝b25．
(3)(an)3＝an·an·an＝an＋n＋n＝a3n．
(4)－(x2)m表示(x2)m的相反数，
所以－(x2)m＝＝＝－x2m．
(5)(y2)3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，
所以(y2)3·y＝(y2·y2·y2)·y＝y2×3·y＝y6·y＝y6＋1＝y7．
(6)2(a2)6－(a3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．
所以2(a2)6－(a3)4＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12．
设计意图：由数的乘方运算，升华得到幂的乘方，实现自然过渡．
例2．直接写出结果：
(1)(102)3＝ (2)(y6)2＝ (3)－(x3)5＝ (4)(an)6＝
答案：(1)106 (2)y12 (3)－x15 (4)a6n
例3.填空：
（1）a2·a3＝______； （2）(xn)4＝______； （3）xn＋xn＝______；
（4）(a2)3＝______； （5）xn·x4＝______； （6）a3＋a3＝______．
答案：（1）a5； （2）x4n； （3）2xn； （4）a6； （5）xn＋4； （6）2a3．
设计意图：通过练习，巩固幂的乘方运算法则的应用．
例4．（1）已知：a2x＝2，求a8x的值．
（2）已知：a2x＝3，求(a3x)4的值．
解：（1）a8x＝(a2x)4＝24＝16．
（2）(a3x)4＝a12x＝(a2x)6＝36＝729．
例5.已知：，求x的值．
解：∵
∴
例6． 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，则代数式x＋y的值为________．
解析：由221＝8y+1，9y＝3x-9得221＝23(y+1)，32y＝3x-9，则21＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10．故答案为10．
设计意图：拓展幂的乘方在解决问题中的应用，根据幂的乘方的逆运算进行转化得到x和y的方程组，求出x、y，再计算代数式．
【随堂练习】
1．（1）下列计算正确的是( )．B
A．x2·x4＝x8 B．(x2)4＝x8 C．x8－x2＝x6 D．x4＋x4＝x8
（2）下列计算正确的是（ ）．C
A． B．
C． D．
（3）下列各式中不正确的是（ ）．D
A． B．
C． D．
（4）若a2n＝3，则a6n＝__________；若x3n＝5，y2n＝3，则x6ny4n＝__________．
答案：27， 225．
2.（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
设计意图：运用幂的乘方的性质进行计算．
3．计算
（1）(xn+1)3； （2）－[(x－y)4]3； （3）(a2)m·am-2； （4）(－a2)2n-1(n为正整数)；
（5）a3·a5·a4＋(a3)4＋4(a6)2； （6）－2(x3)4＋x4·(x4)2．
（7）
答案：
（1）x3n＋3；（2）－(x－y)12；（3）a3m－2；（4）－a4n－2；（5）6a12；（6）－x12．
（7）
4．已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
分析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8．
设计意图：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
5.比较2100与375的大小，请看下面的解题过程：
∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，∴2100＜375．
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
分析：首先理解题意，然后可得3100＝(35)20，560＝(53)20，再比较35与53的大小，即可求得答案．
解：∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560．
方法总结：此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．
6．（1）若2x＋4y－4＝0，求9x·81y的值．
（2）已知x＝2n＋1，y＝2＋4n，试用x的代数式表示y．
（3）已知，求x的值．
解：（1）9x·81y＝32x＋4y＝34＝81．
（2）y＝2＋(x－1)2．
（3）∵，
∴3×22x＝48．∴22x＝16．
∴22x＝24．∴2x＝4．∴x＝2．
设计意图:法则的灵活应用.
六、课堂小结
1．幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．幂的乘方的逆运算amn＝(am)n＝(an)m．
3.比较幂的乘方的运算性质与同底数幂的乘法的运算性质的区别，理解运算性质的实际意义．
4.幂的乘法法则的拓展应用，这里的底数可以是数，可以是字母，也可以是单项式或多项式．
设计意图:通过梳理本节知识，加深对幂的乘方运算及幂的乘法法则拓展应用的理解.
七、板书设计
(
1.2（1）幂的乘方
一
、
幂的乘方法则
：
（
m
，
n
都是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
二
、
练习
：
)
(共19张PPT)
第一章整式的乘除
1.2幂的乘方与积的乘法
第1课时
学习目标
1．理解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算；
2．探索幂的乘方的运算法则，发展推理能力和有条理的表达能力.
如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍；地球、木星、太阳可近似看作是球体；木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？
木星为地球的103倍；
太阳为地球的（102）3倍
问题情境
1．探索 等于多少？
2．填空：
(1)
(2)
4
4
4
4
8
8
m
m
m
m
2m
2m
探究新知
3.
n
n
mn
mn
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
多重乘方可以重复运用上述法则：
（p是正整数）．
探究新知
(1)(102)3
(2)(b5)5
(3)(an)3
(4)－(x2)m
(5)(y2)3·y
(6)2(a2)6－(a3)4
例1.计算：
＝102·102·102＝102＋2＋2＝102×3＝106
＝b5·b5·b5·b5·b5＝b5＋5＋5＋5＋5＝b5×5＝b25
＝an·an·an＝an＋n＋n＝a3n
＝(y2·y2·y2)·y＝y2×3·y＝y6·y＝y6＋1＝y7
＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12
典型例题
例2．直接写出结果：
(1)(102)3＝ (2)(y6)2＝ (3)－(x3)5＝ (4)(an)6＝
例3．填空：
（1）a2·a3＝______； （2）(xn)4＝______；
（3）xn＋xn＝______； （4）(a2)3＝______；
（5）xn·x4＝______； （6）a3＋a3＝______．
106
y 12
-x15
a6n
a5
x4n
2xn
a6
xn＋4
2a3
典型例题
典型例题
例4．（1）已知：a2x＝2，求a8x的值．
（2）已知：a2x＝3，求(a3x)4的值．
解：（1）a8x＝(a2x)4＝24＝16．
（2）(a3x)4＝a12x＝(a2x)6＝36＝729．
典型例题
例5.已知： ，求x的值．
解：∵
∴
典型例题
例6． 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，则代数式 值为________．
解析：由221＝8y+1，9y＝3x-9得221＝23(y+1)，32y＝3x-9，则21＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式 ＝7＋3＝10．故答案为10．
10
随堂练习
1．（1）下列计算正确的是( )．
A．x2·x4＝x8 B．(x2)4＝x8 C．x8－x2＝x6 D．x4＋x4＝x8
（2）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
（3）下列各式中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
B
C
D
随堂练习
（4）若a2n＝3，则a6n＝__________；
若x3n＝5，y2n＝3，则x6ny4n＝__________．
27
225
2.
（1）
（2）
（3）
（4）
随堂练习
随堂练习
3．计算
（1）(xn+1)3； （2）－[(x－y)4]3； （3）(a2)m·am-2；
（4）(－a2)2n-1(n为正整数)；
（5）a3·a5·a4＋(a3)4＋4(a6)2； （6）－2(x3)4＋x4·(x4)2．
（7）
解：（1）x3n＋3；（2）－(x－y)12；（3）a3m－2；（4）－a4n－2；
（5）6a12；（6）－x12．
（7）
4．已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
分析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8．
随堂练习
5. 比较2100与375的大小，请看下面的解题过程：
∵2100＝(24)25，375＝(33)25，又∵24＝16，33＝27，16＜27，
∴2100＜375．
请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小，并总结本题的解题方法．
解：∵3100＝(35)20，560＝(53)20，又∵35＝243，53＝125，243＞125，即35＞53，∴3100＞560．
此题考查了幂的乘方的性质的应用．注意理解题意，根据题意得到3100＝(35)20，560＝(53)20是解此题的关键．
随堂练习
6．（1）若2x＋4y－4＝0，求9x·81y的值．
9x·81y＝32x＋4y＝34＝81
（2）已知x＝2n＋1，y＝2＋4n，试用x的代数式表示y．
y＝2＋(x－1)2
随堂练习
（3）已知 ，求x的值．
∴3×22x＝48．∴22x＝16．
∴22x＝24．∴2x＝4．∴x＝2．
∵
1．幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．幂的乘方的逆运算amn＝(am)n＝(an)m．
3.比较幂的乘方的运算性质与同底数幂的乘法的运算性质的区别，理解运算性质的实际意义．
4.幂的乘法法则的拓展应用，这里的底数可以是数，可以是字母，也可以是单项式或多项式．
课堂小结
再见
