第一章整式的乘除
1.2幂的乘方与积的乘方
第2课时
一、教学目标
1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．
2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．
二、教学重点及难点
重点：理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则．
难点：运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【复习回顾】
1．同底数幂的乘法的运算性质：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．幂的乘方的运算性质：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
设计意图：通过复习旧知，进一步巩固、理解同底数幂的乘法、幂的乘方,为本节课的学习作铺垫.
【问题情境】
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为km，它的体积大约是多少立方千米？（已知：球的体积公式是）．
（）
如何计算，它是幂的乘方吗？有怎样的结构特征？
这节课我们就来共同研究和探索积的乘方．
设计意图：对于球的体积的计算公式前面已经接触过，在实际的计算过程中，会遇到积的乘方的计算问题，使学生感受到探索和掌握新知识的必要性，同时也可感受到数学无处不在，它源于生活，又服务于生活．
板书：1.2积的乘方
【探究新知】
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果能发现什么规律？
（1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；
（2）(ab)4＝ ＝ ＝a( )b( )；
（3）(ab)n＝ ＝ ＝a( )b( )．
解析：（1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝34×54；
其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出（2）、（3）题；
（2）(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a·a)·(b·b·b·b)＝a4b4；
（3）．
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：（n是正整数）．
3．解决导入中地球体积中的计算问题．
球体的体积 ， (6×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
(6×103)3＝63×(103)3＝63×103×3＝63×109＝2.16×1011（km3）．
通过上述探究，我们发现积的乘方的运算法则：
（n是正整数）．
积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？
学生讨论后得出结论：
三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即（n是正整数）．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
积的乘方的运算法则可以进行逆运算．即（n是正整数）．
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于（n是正整数）的证明如下：
设计意图：通过乘方运算，乘法的交换律和结合律，解决新问题，实现从旧知向新知的迁移，得出同指数幂的乘法运算法则．
【典型例题】
例1．计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
设计意图：通过不同方法的对比，进一步加深对幂的意义和相关性质的理解，让学生将自己的思考过程展现出来，进行交流、讨论，形成比较规范而简洁的解题格式，同时也不失多样性和特殊性，可根据实际情况灵活选择，体现学为主体的精神．
例2．计算：(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2；
(3)(－ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2．
分析：直接运用积的乘方法则计算即可．
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；
(3)(－ab2c3)3＝(－)3a3b6c9＝－a3b6c9；
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m．
例3．计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3．
分析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0．
设计意图：通过复合运算让学生熟悉运算顺序，先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项．
例4．计算：()2018×()2019．
分析：将()2019转化为()2018×，再逆用积的乘方公式进行计算．
解：原式＝()2018×()2018×＝(×)2018×＝．
设计意图：对公式an·bn＝(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算．
例5．试比较大小：213×310与210×312．
解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，又∵23＜32，∴213×310＜
210×312．
设计意图：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．
【随堂练习】
1．（1）下列运算中，正确的是（ ）．C
A．a＋a＝a2 B．a·a2＝a2 C．(2a)2＝4a2 D．(a3)2＝a5
（2）计算－(－3a)2的结果是（ ）．B
A．－6a2 B．－9a2 C．6a2 D．9a2
（3）计算的结果是（ ）．B
A． B． C． D．
（4）计算－(－3a2b3)4的结果是（ ）．D
A．81a8b12 B．12a6b7 C．－12a6b7 D．－81a8b12
（5）下列计算正确的是（ ）．D
A． B．
C． D．
（6）下列各种运算错误的是（ ）．D
A． B．
C． D．
（7）计算结果正确的是（ ）．C
A．1 B． C． D．－1
2.（1）；（2）；（3）；（4）(3×102)3×(－103)4．
分析：（1）（2）（3）是积的乘方运算，计算时，正确运用法则即可，（4）中既有积的乘方运算，又有同底数幂相乘，还有幂的乘方，计算时，一要注意运算顺序，二要注意正确运用各运算法则进行计算．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（5）原式＝33×(102)3×1012＝27×106×1012＝27×1018＝2.7×1019．
设计意图：加深学生对同指数幂的运算法则的理解，同时熟练应用来做题．
3.计算下列各题：
（1）(－2x2y3)4；（2）－(－2x3y4)3；（3）(－2a2b2)2·(－2a2b2)3．
解：（1）原式＝(－2)4(x2)4(y3)4＝16x8y12．
（2）原式＝－(－2)3(x3)3(y4)3＝－(－8)x9y12＝8x9y12．
（3）原式＝(－2a2b2)5＝(－2)5(a2)5(b2)5＝－32a10b10．
设计意图：通过练习，巩固积的乘方运算法则的应用．
4．计算：
（1）a2·(－a)3·(－a2)4； （2）(3x4y2)2＋(－2x2y)4； （3）．
解：（1）原式＝a2·(－a3)·a8＝－a2·a3·a8＝－a13．
（2）原式＝9x8y4＋16x8y4＝25x8y4．
（3）原式＝
＝
＝．
5.（1）已知xn＝5，yn＝3，求(－xy)2n的值．
（2）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，那么a，b，c是否满足a＋c＝2b的关系？请说明理由．
解：（1）(－xy)2n＝x2n·y2n＝(xn)2·(yn)2＝52×32＝225．
（2）满足a＋c＝2b的关系．
理由：由2a＝3，2c＝12，得＝2a×2c＝3×12＝36．
又2b＝6，
所以22b＝(2b)2＝62＝36．
所以2a+c＝22b，即a＋c＝2b．
设计意图：通过拓展练习，开阔学生视野，培养学生在不同类型试题中灵活运用知识的能力．
6.（1）若x3＝－8a6b9，则x＝________．－2a2b3
（2）若am＝2，bn＝5，则________．400
（3）已知xn＝5，yn＝3，则(－xy)2n= ．225
设计意图：灵活运用法则进行计算.
六、课堂小结
1．积的乘方的运算性质：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
用符号语言叙述便是：（n是正整数）．
2．三个或三个以上因式的积的乘方的性质，（n是正整数）．
3．积的乘方的运算法则可以进行逆运算．即（n是正整数）．
设计意图：通过梳理本节内容，强化学生记忆，同时提炼出主意知识点，加深对本课知识的理解．
七、板书设计
(
1.2积的乘方
一、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（
n
是正整数）．
（
n
是正整数）．
二、练习：
)
(共25张PPT)
第一章整式的乘除
1.2幂的乘方与积的乘方
第2课时
学习目标
1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．
2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．
1．同底数幂的乘法的运算性质：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．幂的乘方的运算性质：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
复习回顾
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为 km，它的体积大约是多少立方千米？（已知：球的体积公式是 ）．
如何计算 ，它是幂的乘方吗？ 有怎样的结构特征？
问题情境
探究新知
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果能发现什么规律？
（1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；
（2）(ab)4＝ ＝ ＝a( )b( )；
（3）(ab)n＝ ＝ ＝a( )b( )．
解：（2）(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a·a)·(b·b·b·b)＝a4b4；
4
4
n
n
n
n
n
n
n
探究新知
2.把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是： （n是正整数）．
探究新知
3．解决导入中地球体积中的计算问题．
球体的体积 ， (6×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
(6×103)3＝63×(103)3＝63×103×3
＝63×109＝2.16×1011（km3）．
探究新知
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？
（n是正整数）．
左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
探究新知
例1．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
典型例题
例2．计算
(1)(-5ab)3
(2) -(3x2y)2
(3)(- ab2c3)3
(4)(-xmy3m)2
＝(-5)3a3b3＝-125a3b3；
＝-32x4y2＝-9x4y2；
＝(- )3a3b6c9＝- a3b6c9；
＝(-1)2x2my6m＝x2my6m．
典型例题
例3．计算
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3
＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
＝－8a9＋16a9－125a9
＝－117a9
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3
＝a6b12－a6b12
＝0
典型例题
例4．计算：( )2018×( )2019．
＝( )2018×( )2018×
＝( × )2018×
＝
( )2018×( )2019．
典型例题
例5．试比较大小：213×310与210×312．
解：∵213×310＝23×(2×3)10，
210×312＝32×(2×3)10，
又∵23＜32，
∴213×310＜210×312．
典型例题
随堂练习
1．（1）下列运算中，正确的是（ ）．
A．a＋a＝a2 B．a·a2＝a2
C．(2a)2＝4a2 D．(a3)2＝a5
（2）计算－(－3a)2的结果是（ ）．
A．－6a2 B．－9a2
C．6a2 D．9a2
（3）计算 的结果是（ ）．
A． B． C． D．
C
B
B
随堂练习
（4）计算-(-3a2b3)4的结果是（ ）．
A．81a8b12 B．12a6b7 C．-12a6b7 D．-81a8b12
（5）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
（6）下列各种运算错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
（7）计算 结果正确的是（ ）．
A．1 B． C． D．－1
D
D
D
C
2．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）(3×102)3×(－103)4
＝33×(102)3×1012＝27×106×1012＝27×1018
＝2.7×1019
随堂练习
3.计算下列各题：
（1）(－2x2y3)4
＝(－2)4(x2)4(y3)4
＝16x8y12
（3）(－2a2b2)2·(－2a2b2)3
＝(－2a2b2)5
＝(－2)5(a2)5(b2)5
＝－32a10b10
（2）－(－2x3y4)3
＝－(－2)3(x3)3(y4)3
＝－(－8)x9y12
＝8x9y12
随堂练习
4．计算：
（1）a2·(－a)3·(－a2)4； （2）(3x4y2)2＋(－2x2y)4；
（3）
＝a2·(－a3)·a8
＝－a2·a3·a8
＝－a13
＝9x8y4＋16x8y4
＝25x8y4
随堂练习
5.（1）已知xn＝5，yn＝3，求(－xy)2n的值．
解：（1）(－xy)2n
＝x2n·y2n
＝(xn)2·(yn)2
＝52×32
＝225
（2）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，那么a，b，c是否满足a＋c＝2b的关系？请说明理由．
随堂练习
（2）满足a＋c＝2b的关系．
理由：由2a＝3，2c＝12，得2a+c＝2a×2c＝3×12＝36．
又2b＝6，
所以22b＝(2b)2＝62＝36．
所以2a＋c＝22b，即a＋c＝2b．
随堂练习
随堂练习
6.（1）若x3＝-8a6b9，则x＝________．
（2）若am＝2，bn＝5，则 ________．
（3）已知xn＝5，yn＝3，则(-xy)2n= ．
－2a2b3
400
225
1．积的乘方的运算法则：
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
用符号语言叙述便是： （n是正整数）．
2．三个或三个以上因式的积的乘方的法则，
（n是正整数）．
3．积的乘方的运算法则可以进行逆运算．即 （n是正整数）．
课堂小结
再见
