第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
一、教学目标
1．了解解直角三角形的含义．
2．经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法．
二、教学重点及难点
重点：直角三角形的解法．
难点：灵活运用三角函数的知识解直角三角形．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习三角函数》动画.
五、教学过程
【复习引入】
【情景演示】锐角三角函数引入，本课件资源与《锐角三角函数引入》微课内容类似，教师可以根据需要，自行修改修改内容，使用形式多样，更为灵活好用。
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角．
在直角三角形中有6个元素，分别是三条边、三个角，请根据所学知识写出它们之间的关系.
师生活动：教师提出问题，引导学生思考，然后让学生讨论，尝试回答．
答：能，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
正弦：；余弦：；正切：．
那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这节课我们就来探究这个问题．
设计意图：回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系为本节课的学习作准备．
【探究新知】
【知识点解析】解直角三角形（一），本微课资源讲解了由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素，并通过讲解实例巩固所学的知识点.
做一做 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个三角形的其他元素．
师生活动：教师出示问题，学生思考并完成解题过程．
解：在Rt△ABC中，∵a2+b2=c2，a=，b=，
∴c=．
在Rt△ABC中，sin B=，∴∠B=30°．∴∠A=60°．
归纳：在直角三角形中，如果已知其中两边的长，那么就能求出这个三角形的其他元素．
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
设计意图：通过探究让学生明白在直角三角形中，如果已知其中两边的长，那么就能求出这个三角形的其他元素．鼓励学生结合勾股定理、三角形内角和定理以及锐角三角函数的知识进行初步的解直角三角形的探索.
想一想 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．
师生活动：教师出示问题，学生思考并完成解题过程．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，∴∠A=65°．
∵sin B=，b=30，∴c=．
∵tan B=，b=30，∴a=．
归纳：在直角三角形中，如果已知一边和一个锐角，那么就能求出这个三角形的其他元素．
设计意图：通过探究让学生明白在直角三角形中，如果已知一边和一个锐角，那么就能求出这个三角形的其他元素．求解方法另外有很多，可引导学生思考各种求解方法之间的差异与共性.
结论：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来．
总结 解直角三角形的类型及方法
（1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系．在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据．
设计意图：通过总结让学生明白解题方法和规律．
【典例精析】
例 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A=60°，c=20，解这个直角三角形．
师生活动：教师出示例题，学生思考并完成本题．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°．
∵sin B=，即sin 30°=，c=20，∴b=c·sin30°=．
由勾股定理，得a=．
设计意图：通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解决问题的能力．
【课堂练习】
1．在下列所给出的直角三角形中，不能求解的是（ ）．
（1）已知一直角边和所对锐角；（2）已知两锐角；（3）已知两直角边；（4）已知斜边和一锐角；（5）已知一直角和斜边．
A．仅（2） B．（2）（3）
C．（2）（4） D．（2）（5）
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）．
A．7sin 35° B．
C．7cos 35° D．7tan 35°
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=cm，则BC=________cm.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=，则AC=________．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°）；
（1）已知a=4，b=8；（2）已知b=10，∠B=60°；（3）已知c=20，∠A=60°．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．．4．
5．解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=8，
由勾股定理，得c2=a2+b2．
∴c=．
又∵tan A=，∴∠A≈27°．
∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A≈63°．
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A+∠B=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°．
又∵tan B=，b=10，
∴tan60°=．
∴a=．
∵sin A=，即sin 30°=，
∴c=2a，∴c=．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°．
∵sin B=，即sin 30°=，c=20，
∴b=c·sin30°=．
由勾股定理，得a=．
设计意图：通过学生自主练习，可以查看学生答题的情况，统计差错及目标达成率，也可以让学生真正地动手、动脑，从而达到很好地掌握知识的目的．
六、课堂小结
【知识点解析】解直角三角形的类型及解法，本资源主要讲解《解直角三角形的类型及解法》的知识，加深了学生对于知识的理解和掌握。
1．解直角三角形的概念
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的类型及方法
（1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系．在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.4 解直角三角形
1．解直角三角形的概念
2．解直角三角形的类型及方法
课件23张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形 学习目标1．了解解直角三角形的含义．
2．经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法．复习导入在直角三角形中有6个元素，分别是三条边、三个角，
请根据所学知识写出它们之间的关系.【情景演示】锐角三角函数引入，本课件资源与《锐角三角函数引入》微课内容类似，教师可以根据需要，自行修改修改内容，使用形式多样，更为灵活好用。复习导入如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；ACBabc复习导入ACBabc那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这节课我们就来探究这个问题．探究新知【知识点解析】解直角三角形（一），本微课资源讲解了由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素，并通过讲解实例巩固所学的知识点.探究新知做一做 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个三角形的其他元素．∴∠B=30°∴∠A=60°． 探究新知归纳
在直角三角形中，如果已知其中两边的长，那么就能求出这个三角形的其他元素．
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．探究新知想一想 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，∴∠A=65．探究新知在直角三角形中，如果已知一边和一个锐角，那么就能求出这个三角形的其他元素．结论 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来．归纳 探究新知总结 解直角三角形的类型及方法
（1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系．在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据．典例精析例 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A=60°，c=20，解这个直角三角形解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°．课堂练习1．在下列所给出的直角三角形中，不能求解的是（ ）
（1）已知一直角边和所对锐角；（2）已知两锐角；
（3）已知两直角边；（4）已知斜边和一锐角；
（5）已知一直角和斜边．
A．仅（2） B．（2）（3）
C．（2）（4） D．（2）（5）
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）．
A．7sin 35° B． C．7cos 35° D．7tan 35°DC课堂练习3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD= cm，则BC=________cm.课堂练习4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB= ，则AC=________．课堂练习5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1°）；
（1）已知a=4，b=8；
（2）已知b=10，∠B=60°；
（3）已知c=20，∠A=60°．课堂练习解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，
a=4，b=8，由勾股定理，得c2=a2+b2．∴c= ．
又∵tan A= ，
∴∠A≈27°．
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°-∠A≈63°．课堂练习（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A+∠B=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°．课堂练习（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∵∠A+∠B=90°，∴∠B=90°-∠A=30°．∵sin B= ，即sin 30°= ，c=20，
∴b=c·sin30°= ．课堂小结1．解直角三角形的概念
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．课堂小结【知识点解析】解直角三角形的类型及解法，本资源主要讲解《解直角三角形的类型及解法》的知识，加深了学生对于知识的理解和掌握。课堂小结2．解直角三角形的类型及方法
（1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系．在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切），宁乘勿除，尽量采用原始数据．再见
