第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
一、教学目标
1．经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．发展数学应用意识和解决问题的能力.
二、教学重点及难点
重点：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．
2．发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．
难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《货轮航行》动画，《测量塔高》动画.
五、教学过程
【情境引入】
【情景演示】游轮航行，本视频资源演示游轮出港的情形。
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行．
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论解决问题的方法．
设计意图：通过实际问题引入本课激发学生学习本节课的兴趣．
【探究新知】
1．请同学们根据题意画出上面问题的示意图，并将相关数据标注在图上．
答：
2．货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
教师分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则货轮无触礁的危险，如果小于10 n mile，则货轮有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥直线BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10 n mile比较．
3．如何求AD呢？
解：过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，
从而BD=AD·tan 55°，CD=AD·tan 25°．由BD-CD=BC，BC=20 n mile，得
AD·tan 55°- AD·tan 25°=20，AD(tan 55°-tan 25°)=20，
AD=(n mile)．
∵AD≈20.79 n mile＞10 n mile，∴货轮继续向东行驶没有触礁的危险．
想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）
【教学图片】测量塔高，本资源为《测量塔高》教学图片，可以形象生动的展示本节课相关内容，激发学生的学习兴趣，为教师的教学提供有效的参考素材。
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论解决问题的方法，师生共同完成解题过程．
解：在Rt△ACD中，tan 30°=，即AC=．
在Rt△BCD中，tan 60°=，即BC=．
∵AC-BC=AB=50 m，∴=50．解得CD≈43(m)．
答：该塔的高度为43 m．
教师引申：如果考虑小明的身高呢？
如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、尝试画出示意图并完成解答．
答：画出示意图如下：
由前面的解答过程可知CC'≈43 m．所以CD≈43+1.6=44.6(m)，即如果考虑小明的身高，塔的高度约为44.6 m．
【典例精析】
例 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01 m）
师生活动：教师出示问题，学生思考、尝试画出示意图并完成解题过程．
教师点拨：调整前后楼梯的高度是一个不变量．
解：画出示意图如下图所示．
由题中条件可知，在Rt△ABC中，sin 40°=，即AB=4sin 40° m，
原楼梯占地长BC=4cos 40° m．
调整后，在Rt△ADB中，sin 35°=，即AD=m．
楼梯占地长BD=m．
所以调整后楼梯加长AD-AC=，
楼梯比原来多占DC=DB-BC=-4cos 40°≈0.61(m)．
设计意图：让学生独立思考、尝试画出示意图，尝试把实际问题中的已知和求解转化为数学问题中的已知和求解，从而更熟练地运用解直角三角形的知识与方法解决实际问题．
【课堂练习】
1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）．
A．海里 B．海里
C．50海里 D．25海里
2.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5 m．在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0.01 m）
3．如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD=6 m，坡长CD=8 m，坡底BC=30 m，∠ADC=135°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．
2．解：在Rt△CBD中，∵BC=DB·tan∠CDB=5tan40°≈4.195(m)，
∴EB=EC+CB≈2+4.195=6.195(m)．
在Rt△EBD中，ED=．
答：钢缆ED的长度约为7.96 m．
3．（1）17°8′21″；（2）10 182.34 m3．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出示意图，转化为解直角三角形的问题）；
2．根据问题中的条件，解直角三角形；
3．得到数学问题的答案；
4．得到实际问题的答案．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.5 三角函数的应用
1．三角函数的应用
课件19张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用学习目标1．经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．发展数学应用意识和解决问题的能力.情境引入【情景演示】游轮航行，本视频资源演示游轮出港的情形。情境引入 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续向东航行，途中会有触礁的危险吗？探究新知1．请同学们根据题意画出上面问题的示意图，并将相关数据标注在图上．探究新知分析：小岛四周10 n mile内有暗礁，货轮如果到A的最短距离大于10 n mile，无触礁的危险，小于10 n mile，有触礁的危险．
过A作AD⊥直线BC，D为垂足，
即AD的长度．我们需根据题意，计
算出AD的长度，然后与10 n mile比较2．货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？探究新知3．如何求AD呢？解：过A作BC的垂线，交直线BC于点D，
得到 Rt△ABD和Rt△ACD，
从而BD=AD·tan 55°，CD=AD·tan 25°．
由BD-CD=BC，BC=20 n mile，得
AD·tan 55°- AD·tan 25°=20，
AD(tan 55°-tan 25°)=20，探究新知3．如何求AD呢？∵AD≈20.79 n mile＞10 n mile，
∴货轮继续向东行驶没有触礁的危险．探究新知想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）探究新知解得CD≈43(m)．答：该塔的高度为43 m．探究新知答：画出示意图如图：
由前面的解答过程可知CC'≈43 m．
所以CD≈43+1.6=44.6(m)，即
如果考虑小明的身高，塔的高度约为44.6 m．如果考虑小明的身高呢？
如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？60°30°DC'CB'BA'A典例精析例 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01 m）典例精析解：画出示意图如下图所示．AB=4sin 40°m，原楼梯占地长BC=4cos 40°m．典例精析课堂练习1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，
在C处观测灯塔A位于北偏东60°
方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）．A． 海里 B． 海里
C．50海里 D．50海里D课堂练习1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5 m．在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果精确到0.01 m）课堂练习3．如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD=6 m，坡长CD=8 m，坡底BC=30 m，∠ADC=135°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）17°8′21″10 182.34 m3课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出示意图，转化为解直角三角形的问题）；
2．根据问题中的条件，解直角三角形；
3．得到数学问题的答案；
4．得到实际问题的答案．再见
