第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
一、教学目标
1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．
2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
二、教学重点及难点
重点：设计活动方案，自制仪器．
难点：运用直角三角形的边角关系解决问题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习三角函数》动画，《侧倾器测量倾斜角》动画，，，，，，.
五、教学过程
【复习引入】
回忆以前学过的三角函数公式.
【知识点解析】解直角三角形应用举例，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用.
师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾并回答问题．
答：在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，cos A=，tan A=．
今天我们主要来研究怎样利用三角函数来测量高度．
设计意图：通过复习前面学过的三角函数公式，为本节课的学习作知识准备．
【探究新知】
做一做 制作测倾器.
师生活动：教师出示问题，学生讨论、分析，小组合作制作测倾器．
答：如图所示，首先使（1）支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线重合，（2）度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线互相垂直，然后用螺钉、螺母把刻度盘和支杆固定在一起即可制作出一个测倾器．
设计意图：学生亲自动手制作测倾器，极大地激发了学生的学习兴趣，培养学生的动手能力与合作精神，体会到生活中处处有数学．
活动一：测量倾斜角
测量倾斜角可以用测倾器，使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？根据测量数据，你能求出测量目标的仰角或俯角吗？说说你的理由．
师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．
答：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
1．把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．
2．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．
根据测量数据，就能求出目标M的仰角或俯角．测量仰角利用的是“同角的余角相等”；测量俯角利用的是“对顶角相等”“同角的余角相等”．
设计意图：培养学生的动手操作能力，通过动手操作，加深对知识的印象．
活动二：测量底部可以到达的物体的高度
怎样测量底部可以到达的物体的高度呢？
师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．
教师解释：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
答：如图，要测量物体MN的高度，可以按如下步骤进行：
1．在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α．
2．量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l．
3．量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．
根据测量数据就可求出物体MN的高度，即MN=ME+EN=ltanα+a．
设计意图：经历方案设计、实地测量、数据处理的活动流程，培养学生的科研能力与科学精神．
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．
怎样测量底部不可以到达的物体的高度呢？
师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．
教师解释：所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
答：如图，要测量物体MN的高度，可以按如下步骤进行：
1．在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α．
2．在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β．
3．量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．
根据测量数据就可求出物体MN的高度，即，
解得．所以MN=ME+EN=．
设计意图：复习巩固解直角三角形的知识，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【典例精析】
例 在距山坡脚B 100米的测点A处测出山顶上高压输电铁塔顶端M的仰角为34°42′，测出底端N的仰角为28°36′，求铁塔的高（精确到0.1米，如图所示）．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．
解：在Rt△ABN中，有BN=AB·tan28°36′≈100×0.545 2=54.52，
在Rt△ABM中，有BM=AB·tan34°42′≈100×0.692 4=69.24，
所以，铁塔的高度为MN=BM-BN≈69.24-54.52=14.72≈14.7（米）．
答：铁塔的高约为14.7米．
注意：∠MAN不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角．
设计意图：让学生应用刚刚学过的知识及前面学过的解直角三角形的知识解决实际问题．
【课堂练习】
1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树的高度是（ ）．
A． m B． m C． m D．4 m
2．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为________米(结果保留根号)．
3．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为__________米．
4．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测倾器（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．A．2．(10+)．3．．
4．解：由题设可知，∠ECD=∠DEC=15°．∴DE=CD=23(米)．
在Rt△EFD中，∠EDF=30°，∴EF=ED=11.5(米)．
∴EG=EF+GF=11.5+1.5=13(米)．
答：旗杆EG的高度为13米．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．使用测倾器测量倾斜角的步骤：
（1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；
（2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数．
根据测量数据，就能求出目标的仰角或俯角．
2．测量底部可以到达的物体高度的步骤：
如图，要测量物体MN的高度，
（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
（3）量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．
根据测量数据就可求出物体MN的高度．
3．测量底部不可以到达的物体高度的步骤：
如图，要测量物体MN的高度，
（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；
（3）量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．
根据测量数据就可求出物体MN的高度．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.6 利用三角函数测高
1．利用三角函数测高
课件22张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.6 利用三角函数测高 学习目标1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．
2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.
4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.复习导入回忆以前学过的三角函数公式.在Rt△ABC中，∠C=90°，【知识点解析】解直角三角形应用举例，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用.探究新知做一做 怎样制作测倾器呢？（1）支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线重合，
（2）度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线互相垂直，然后用螺钉、螺母把刻度盘和支杆固定在一起即可制作出一个测倾器．探究新知活动一：测量倾斜角
测量倾斜角可以用测倾器，使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？根据测量数据，你能求出测量目标的仰角或俯角吗？说说你的理由．答：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：探究新知1．把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．探究新知2．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数．根据测量数据，就能求出目标M的仰角或俯角．测量仰角利用的是“同角的余角相等”；测量俯角利用的是“对顶角相等”“同角的余角相等”．探究新知活动二：测量底部可以到达的物体的高度
怎样测量底部可以到达的物体的高度呢？所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．探究新知1．在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α．
2．量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l．
3．量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．
根据测量数据就可
求出物体MN的高度，
即MN=ME+EN=ltanα+a．
探究新知活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．
怎样测量底部不可以到达的物体的高度呢？所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．探究新知1．在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α．
2．在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β．探究新知3．量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．典例精析例 在距山坡脚B 100米的测点A处测出山顶上高压输电铁塔顶端M的仰角为34°42′，测出底端N的仰角为28°36′，求铁塔的高（精确到0.1米，如图所示）．典例精析解：在Rt△ABN中，有
BN=AB·tan28°36′≈100×0.545 2=54.52，
在Rt△ABM中，有
BM=AB·tan34°42′≈100×0.692 4=69.24，
所以，铁塔的高度为MN=BM-BN
≈69.24-54.52=14.72≈14.7（米）．
答：铁塔的高约为14.7米．课堂练习1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树的高度是（ ）． A． m B． m
C． m D．4 mA课堂练习2．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，
旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面
的高度为________米(结果保留根号)．课堂练习3．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为__________米．课堂练习4.课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测倾器（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．课堂练习解：由题设可知，∠ECD=∠DEC=15°．
∴DE=CD=23(米)．
在Rt△EFD中，∠EDF=30°，
∴EF= ED=11.5(米)．∴EG=EF+GF=11.5+1.5=13(米)．
答：旗杆EG的高度为13米．课堂小结（1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；
（2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数．
根据测量数据，就能求出目标的仰角或俯角．1．使用测倾器测量倾斜角的步骤：课堂小结2．测量底部可以到达的物体高度的步骤3．测量底部不可以到达的物体高度的步骤再见
