(共21张PPT)
1．1 简单旋转体
1．关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱
B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台
D．图⑤是圆台
[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
[答案] D
2．下列命题正确的个数为( )
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；
②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；
③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]
序号 正误 理由
① √ 圆柱的轴是旋转轴，过上、下底面圆的圆心
② √ 绕矩形的任意一条边所在直线旋转，都可得到圆柱
③ × 应是绕矩形的任意一条边所在直线旋转，否则不一定围成圆柱，如绕矩形的对角线所在直线旋转，围成的几何就不是圆柱
[答案] B
3．球的直径有( )
A．一条 B．两条 C．三条 D．无数
[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．
[答案] D
4．关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．
[答案] ②③④
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1．1 简单旋转体
1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．
2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．
在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．
圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．
3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )
(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )
(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )
(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )
(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
题型一旋转体的结构特征
【典例1】 给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．
其中说法正确的是________．
[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．
[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；
②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；
④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；
⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．
[答案] ①②③⑤
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成．
②明确旋转轴是哪条直线．
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
[针对训练1] 下列命题：
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.
[答案] C
题型二旋转体的有关计算
【典例2】 已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．
[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．
[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.
由＝，得SA′＝·SA＝×12＝6(cm)，
于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，
故这个圆台的母线长为6 cm.
旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．
[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.
[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得＝，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.
[答案] 9
1．关于下列几何体，说法正确的是( )
A．图①是圆柱
B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台
D．图⑤是圆台
[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
[答案] D
2．下列命题正确的个数为( )
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；
②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；
③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]
序号 正误 理由
① √ 圆柱的轴是旋转轴，过上、下底面圆的圆心
② √ 绕矩形的任意一条边所在直线旋转，都可得到圆柱
③ × 应是绕矩形的任意一条边所在直线旋转，否则不一定围成圆柱，如绕矩形的对角线所在直线旋转，围成的几何就不是圆柱
[答案] B
3．球的直径有( )
A．一条 B．两条 C．三条 D．无数
[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．
[答案] D
4．关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．
[答案] ②③④
课后作业(一)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．下列说法：
①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；
②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.
[答案] B
2．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．
[答案] C
3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )
A．10 B．12 C．20 D．15
[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S＝×2×3×＝12，故选B.
[答案] B
4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有2πr＝·2πl.∴2r＝l，
即△ABC为等边三角形，故顶角为60°.
[答案] C
5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )
A．8 B. C. D.
[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面面积为.
[答案] B
6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．
[解析] 作轴截面如图，则
＝＝，
∴r＝1.
[答案] 1
7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．
[解析] 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
[答案] 2
8．有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；
②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
③球的直径是球面上任意两点间的连线；
④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确的序号是________．
[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．
[答案] ①②
9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.
[解] 设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝.
所以此圆柱的底面半径为.
10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．
[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，
∴圆锥的底面圆的直径为12，
∴半径R＝6，
∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝＝6.
应试能力等级练(时间25分钟)
11．下面说法正确的是( )
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.
[答案] C
12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )
[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．
[答案] C
13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．
[答案] B
14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.
[解析] 如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.
由球的性质，OO1⊥CD.
在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，
所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·(O1C)2＝9π.
[答案] 9π
15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S;
(2)当x为何值时，S最大？
[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm，则由＝，得r＝，
∴S＝－x2＋4x(0(2)由S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，
∴当x＝3时，Smax＝6 cm2.
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(共34张PPT)
1．2 简单多面体
1．下列几何体中，不属于多面体的是( )
A．立方体 B．三棱柱 C．长方体 D．球
[解析] 利用多面体的定义：由平面多边形围成的几何体，很容易能判定出来．
[答案] D
2.如图所示的几何体是( )
A．五棱锥 B．五棱台
C．五棱柱 D．五面体
[解析] 由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．
[答案] C
3．下列几何体中棱柱有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
[解析] 由棱柱的定义及几何特征可知，①③为棱柱．
[答案] D
4．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
[解析] 根据棱柱、棱锥、棱台的特征可知，一定不是棱柱、棱锥．
[答案] D
多面体表面距离最短问题
表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决．
【示例】 如图①所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．
[思路分析] 把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小．
[解] 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图②所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，
取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.
[题后反思] 有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法：(1)函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值．(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解．
[针对训练] 某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．
(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；
(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？
[解] (1)该几何体的表面展开图如图所示
(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.
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1．2 简单多面体
1．多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．
2．棱柱
(1)棱柱的有关概念
两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．
两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点．
(2)棱柱的分类
①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
②按侧棱与底面是否垂直：
3．棱锥
(1)定义
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．如右图棱锥记作：三棱锥S—ABC.
(2)正棱锥
如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….
4．棱台
(1)定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．如右图棱台记作：三棱台ABC—A1B1C1.
(2)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台．
(3)分类
按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….
1．给出下列图片：
观察这些图片中的物体，你能得到什么样的空间几何体？请与下面轮廓图对应，并将它们进行分类．
[答案] 图片中展示的几何体有：柱体、锥体、台体、球体四类.
可作两种不同的分类：
2．正棱锥的侧面是什么样的三角形？正棱台的侧面呢？
[答案] 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；正棱台的侧面是全等的等腰梯形．
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )
(2)棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点．( )
(3)棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形．( )
(4)棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．( )
(5)多面体至少有四个面．( )
(6)三棱锥也叫作四面体．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
题型一棱柱的几何特征
【典例1】 如图所示的直八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：
(1)这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？
(2)这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
(3)沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
[思路导引] 棱柱的表面分为底面与侧面，底面可以是任意的平面多边形，而侧面只可以是平行四边形；棱柱的棱分为底棱和侧棱，侧棱相互平行，相对底棱相互平行．
[解] (1)这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面；上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同．
(2)这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其他棱长是5厘米．
(3)将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8＝40(厘米)，宽为6厘米，所以面积是40×6＝240(平方厘米)．
[针对训练1] 下列对棱柱的叙述中正确的是( )
A．由面围成的几何体叫做棱柱
B．至少有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱
C．每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫做棱柱
D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱
[解析] 由棱柱的定义可知，D正确．
[答案] D
题型二棱锥、棱台的几何特征
【典例2】 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？
(2)如图所示的多面体是不是棱台？
[思路导引] 根据棱锥与棱台的几何特征判定．
[解] (1)该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．
(2)根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是否是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图(1)中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不是棱台；图(2)中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图(3)中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．
棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
[针对训练2] 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A.
[答案] A
题型三多面体的识别和判断
【典例3】 如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
[思路导引] 根据棱柱的定义及分类判定．
[解] 截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置．
[针对训练3] 如图所示，关于该几何体的正确说法有________．
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
[解析] ①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示．
[答案] ①③④⑤
1．下列几何体中，不属于多面体的是( )
A．立方体 B．三棱柱 C．长方体 D．球
[解析] 利用多面体的定义：由平面多边形围成的几何体，很容易能判定出来．
[答案] D
2.如图所示的几何体是( )
A．五棱锥 B．五棱台
C．五棱柱 D．五面体
[解析] 由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．
[答案] C
3．下列几何体中棱柱有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
[解析] 由棱柱的定义及几何特征可知，①③为棱柱．
[答案] D
4．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
[解析] 根据棱柱、棱锥、棱台的特征可知，一定不是棱柱、棱锥．
[答案] D
多面体表面距离最短问题
表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决．
【示例】 如图①所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中(底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心)，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．
[思路分析] 把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小．
[解] 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图②所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，
取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.
[题后反思] 有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法：(1)函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值．(2)转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解．
[针对训练] 某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．
(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；
(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？
[解] (1)该几何体的表面展开图如图所示
(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.
课后作业(二)
(时间45分钟)
学业水平合格练(时间20分钟)
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
[解析] 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
[答案] C
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
[解析] 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是棱锥．故选C.
[答案] C
3．下列图形中，是棱台的是( )
[解析] 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
[答案] C
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
[解析] 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
[答案] D
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
[解析] C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
[答案] C
6．面数最少的棱柱为________棱柱，共有________个面围成．
[解析] 棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有五个面围成．
[答案] 三 5
7．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为________．
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.
[答案] 3
8．下列说法正确的是________．
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
[解析] ①正确．②不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不等．③不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．
[答案] ①④
9．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
10.如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
[解] 依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．
展开后，A，C1两点间的距离分别为：
＝ (cm)，
＝4 (cm)，
＝3 (cm)，
三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．
应试能力等级练(时间25分钟)
11．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是( )
A．底面为正多边形
B．各侧棱都相等
C．各侧面与底面都是全等的正三角形
D．各侧面都是等腰三角形
[解析] 正棱锥的底面是正多边形，且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上．故底面为正多边形的棱锥不一定是正棱锥；各侧棱都相等(或各侧面都是等腰三角形)的棱锥不一定是正棱锥；各侧面与底面都是全等的正三角形的棱锥是正三棱锥．
[答案] C
12．下列说法正确的是( )
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．四面体一定是三棱锥
C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥
D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
[解析] 对于A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，错误；B显然正确；对于C，举反例，如图所示，在棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，错误；对于D，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，错误．
[答案] B
13．下列几种说法中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②棱台的侧面一定不会是平行四边形；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[解析] 必须用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；棱台的侧面一定是梯形，故②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，因为各条侧棱不一定相交于一点，故③不正确．
[答案] B
14．正五棱台的上、下底面面积分别为1 cm2、49 cm2，平行于底面的截面面积为25 cm2，那么截面到上、下底面的距离的比值为________．
[解析] “还台于锥”，利用相似比求．
[答案] 2
15．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图①所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图②所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.
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